中考数学《反比例函数》专项练习（附答案解析）

中考数学《反比例函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．已知：如图1，函数 和 的图象相交于点 和点 . （1）求点 和点
的坐标（用含 的式子表示）； （2）如图2，点 的坐标为 ，点 是第一象限内函数 的图象上的动点，且在点 的右侧，直
线 、 、 、 分别与 轴相交于点 、 、 、 . ①判定 的形状，并说明理由；②点 在运动的过程中，
和 的度数和是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，求出 和 的度数和.2．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标相等的点
叫“梦之点”，例如点（1，1），（－2，－2），（ ， ），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个. （1）若点P（2，m
）是反比例函数 （n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； （2）函数y＝3kx＋s－1（k，s为常
数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由.3．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数
图象上一点，点B在x轴上， ，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数 图象于点E. （1）平行四边形BCD的面积等于　
；（2）设D点横坐标为m，试用m表示点E的坐标；（要有推理和计算过程）（3）求 的值；（4）求 的最小值.4．如图，一次函数y
=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积． 5．已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点
，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；（2）若AB=，
求k的值；（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）6．已知反比例函数 ( 为常
数)的图象在一、三象限. （1）求m的取值范围.（2）如图，若该反比例函数的图象经过 ABCD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0
，3)，(-2，0). ①求出反比例函数表达式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为▲ .若以D，O
，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为▲ .7．绘制函数 的图象，我们经历了如下过程：确定自变量x的取值范围是
x≠0； 列表﹣﹣描点﹣﹣连线，得到该函数的图象如图所示． x…-4-3-2-11234…y…2…观察函数图象，回答下列问题：（
1）函数图象在第　象限；（2）函数图象的对称性是　A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是
轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形（3）在x＞0时，当x＝　时，函数y有最　（大，小）值，且这个
最值等于　；在x＜0时，当x＝　时，函数y有最　（大，小）值，且这个最值等于　；（4）方程 是否有实数解？说明理由． 8．菱形
ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，
CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过点H，
则k=　；（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．9．设 是 轴上的一个动点，它与原点的距离为 ．（1）求 关于 的函数解析式，并画出这个函
数的图象；（2）若反比例函数 的图象与函数 的图象相交于点 ，且点 的纵坐标为2． ①求 的值；②结合图象，当 时，写
出 的取值范围．10．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工
厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，
工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第 个月的利润为 万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后， 与 的函数表达式．（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元
？（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？11．（如图，四边形ABCD在平面直角坐标
系的第一象限内，其四个顶点分别在反比例函数y1＝ 与y2＝ 的图象上，对角线AC⊥BD于点P，AC⊥x轴于点N（2，0） （1
）若CN＝ ，试求n的值；（2）当n＝2，点P是线段AC的中点时，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）直线AB与y轴相
交于E点．当四边形ABCD为正方形时，请求出OE的长度．12．如图点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，A
O=CD=2，AB=DA= ，反比例函数y= （k＞0）的图象过CD的中点E．（1）求证：△AOB≌△DCA；（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．13．如图所示，一次
函数 的图象与 轴、 轴分别交于点A、B，且与反比例函数 的图象在第二象限交于点C， 轴，垂足为点D.若 . （1）求
一次函数与反比例函数的解析式；（2）若两函数图象的另一个交点为E，连结DE，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式 ≤ 的解集
.14．某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数 与 在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程：
操作猜想：（1）如图①，当 ， 时，在 轴的正方向上取一点 作 轴的平行线交 于点 ，交 于点 .当 时， 　
， 　， 　；当 时， 　， 　， 　；当 时，猜想 　（2）在 轴的正方向上任意取点 作 轴的平行线，交 于点 、
交 于点 ，请用含 、 的式子表示 的值，并利用图②加以证明. （3）如图③，若 ， ，在 轴的正方向上分别取点
、 作 轴的平行线，交 于点 、 ，交 于点 、 ，是否存在四边形 是正方形？如果存在，求 的长和点
的坐标；如果不存在，请说明理由. 15．如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点M，过M
作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2． （1）求H点的坐标及k的值；（2）点P在y轴上，使△AMP是以AM为腰的等腰三角形，
请直接写出所有满足条件的P点坐标；（3）点N（a，1）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的点，点Q（m，0）是x轴上的动点，当△
MNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值．16．如图，双曲线y1＝ 与直线y2＝ 的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为
（4，1），点P（a，b）是双曲线y1＝ 上的任意一点，且0＜a＜4． （1）分别求出y1、y2的函数表达式；（2）连接PA、
PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；（3）当点P在双曲线y1＝ 上运动时，设PB交x轴于点E，延长PA交x轴于
点F，判断PE与PF的大小关系，并说明理由．参考答案与解析1．【答案】（1）解：由题意，联立 ，解得 或 ， 点 在第
一象限，点 在第二象限，且 ，（2）解：① 是等腰直角三角形，理由如下： 设直线 的解析式为 ，将点 代入得： ，解
得 ，则直线 的解析式为 ，当 时， ，解得 ，即 ，同理可得：点 的坐标为 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角
形；②由题意，设点 的坐标为 ，则 ， 是等腰直角三角形， ， ，设直线 的解析式为 ，将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，当 时， ，解得 ，即 ，同理可得：点 的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即
与 的度数和不变，度数和为 2．【答案】（1）解：根据题意，“梦之点”就是有关函数图象与直线 的交点，其坐标就是对应的方程组
的解. 由题意可得： 由点 在反比例函数 图象上，可得 故所求的反比例函数的解析式为 （2）解：由题意可得： （Ⅰ）当 时
， ，此时“梦之点”的坐标为 .（Ⅱ） 显然，此方程的解的情况决定函数 的图象上“梦之点”的存在情况，当 时，方程无解，
不存在“梦之点”；当 时，方程有无数个解，此时存在无数个“梦之点”，“梦之点”的坐标可表示为 （ 为任意实数）；当 时，得
，即“梦之点”的坐标为 3．【答案】（1）12（2）解：由题意 ， 由（1）可知 ，∵四边形 是平行四边形，∴ ，∴ .
∵ ， ，∴直线 的解析式为 ，由 ，解得 或 （舍弃），∴ ；（3）解：作 轴于 ， 轴于 . ∵ ，∴ ；
（4）解：∵∴ ，要使得 最小，只要 最小，∵ ，∴ 的最小值为 ，∴ 的最小值为 .4．【答案】（1）解：将A（﹣3，m
+8）代入反比例函数y= 得， =m+8，解得m=﹣6，m+8=﹣6+8=2，所以，点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析
式为y=﹣ ，将点B（n，﹣6）代入y=﹣ 得，﹣ =﹣6，解得n=1，所以，点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），
B（1，﹣6）代入y=kx+b得， ，解得 ，所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；（2）解：设AB与x轴相交于点C， 令﹣2
x﹣4=0解得x=﹣2，所以，点C的坐标为（﹣2，0），所以，OC=2，S△AOB=S△AOC+S△BOC，= ×2×3+ ×
2×1，=3+1，=4．5．【答案】（1）解：当k=-1时，l1：y=﹣x+2，联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，解得：x1=﹣
1，x2=+1，设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=?2?（x2﹣x1）=2；（2）解：
根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，∴x1
、x2 是方程的两根，∴①，∴AB====，将①代入得，AB==（k＜0），∴=，整理得：2k2+5k+2=0，解得：k=﹣2，或
k=；（3）解：∵直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F,∴ F（，）. 如图：设P（x，），则M（﹣+，），则PM=x+
﹣==，∵PF==，∴PM=PF．∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，由（
1）知P（﹣1，+1），∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2．6．【答案】（1）解：根据题意，得 ，解得 ，
的取值范围是 .（2）解：① 四边形ABCD是平行四边形， ， . 把 代入 ，得 . 反比例函数表达式为 ；②(
3，2)或(-2，-3)或(-3，-2)；47．【答案】（1）一、三（2）C（3）1；小；2；；大；（4）解：方程x＋ ＝﹣2x
＋1没有实数解，理由为：y＝x＋ 与y＝﹣2x＋1在同一直角坐标系中无交点．8．【答案】（1）解：x2﹣9x+18=0， （x﹣
3）（x﹣6）=0，x=3或6，∵CD＞DE，∴CD=6，DE=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=EC= =3
，∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，Rt△DEM中，∠DEM=30°，∴DM= DE= ，∵OM⊥AB，∴S菱形ABCD=
AC?BD=CD?OM，∴ =6OM，OM=3 ，∴D（﹣ ，3 ）（2）解： （3）解：如图1， ①∵DC=BC，∠D
CB=60°，∴△DCB是等边三角形，∵H是BC的中点，∴DH⊥BC，∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，∵FC
=FB，∴∠FCB=∠FBC=30°，∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，∴AB⊥BF，CP⊥AB，Rt△A
BF中，∠FAB=30°，AB=6，∴FB=2 =CP，∴P（ ， ）；②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，∴CQ∥PH
，由①知：PH⊥BC，∴CQ⊥BC，Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，∴∠BQC=30°，∴CQ=6 ，连接QA，∵A
E=EC，QE⊥AC，∴QA=QC=6 ，∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，∴∠QAB=90°，∴Q（﹣ ，6
），由①知：F（ ，2 ），由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣ ﹣3，6 ﹣ ），即P（﹣ ，5 ）
；③如图3，四边形CQFP是平行四边形，同理知：Q（﹣ ，6 ），F（ ，2 ），C（ ，3 ），∴P（ ，﹣ ）
；综上所述，点P的坐标为：（ ， ）或（﹣ ，5 ）或（ ，﹣ ）．9．【答案】（1）解：由题意 ． 函数图象如图所
示：（2）解：①当点 在第一象限时，由题意 ， ， ．同法当点 在第二象限时， ，②观察图象可知：当 时， 时，
或 时， ．当 时， 时， 或 时， ．10．【答案】（1）解：由题意得，设前5个月中y= ，把x=1，y=100
代入得，k=100，∴y与x之间的函数关系式为y= （ ，且 为整数），把x=5代入，得y=20，由题意设5月份以后y与x的
函数关系式为y=10x+b，把x=5，y=20代入得，20=10×5+b，解得：b=-30，∴y与x之间的函数关系式为y=10x-
30（ 且 为整数）；（2）解：在函数 中，令 ，得 解得： 答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．（3）
解：在函数 中，当 时， ，∵ ， 随 的增大而减小，∴当 时， 在函数 中，当 时，得 解得： ∴ 且 为整数
；∴ 可取3，4，5，6，7；共5个月． 答：该化工厂资金紧张期共有5个月．11．【答案】（1）解：∵点N的坐标为（2，0），CN
⊥x轴，且CN＝ ， ∴点C的坐标为（2， ）．∵点C在反比例函数y1＝ 的图象上，∴n＝2× ＝1．（2）解：四边形AB
CD为菱形，理由如下： 当n＝2时，y1＝ ＝ ，y2＝ ＝ ．当x＝2时，y1＝ ＝1，y2＝ ＝4，∴点C的坐标为
（2，1），点A的坐标为（2，4）．∵点P是线段AC的中点，∴点P的坐标为（2， ）．当y＝ 时， ＝ ， ＝ ，解得
：x＝ ，x＝ ，∴点B的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），∴BP＝2﹣ ＝ ，DP＝ ﹣2＝ ，∴B
P＝DP．又∵AP＝CP，AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．（3）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AC＝BD，且点P为线段AC
及BD的中点．当x＝2时，y1＝ n，y2＝2n，∴点A的坐标为（2，2n），点C的坐标为（2， n），AC＝ n，∴点P的
坐标为（2， n）．同理，点B的坐标为（ ， n），点D的坐标为（ ， n），BD＝ ．∵AC＝BD，∴ n＝ ，∴
n＝ ，∴点A的坐标为（2， ），点B的坐标为（ ，2）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（2， ），B（
，2）代入y＝kx+b，得： ，解得： ，∴直线AB的解析式为y＝x+ ．当x＝0时，y＝x+ ＝ ，∴点E的坐标为
（0， ），∴当四边形ABCD为正方形时，OE的长度为 ．12．【答案】（1）证明： ∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象
限内，DC⊥x轴，∴∠AOB=∠DCA=90°，在Rt△AOB和Rt△DCA中，AO=CD，AB=DA∴Rt△AOB≌Rt△DCA
（HL）（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= ，∴AC= =1，∴OC=OA+AC=2+1=3，∴D点坐标为（3，2），∵
点E为CD的中点，∴点E的坐标为（3，1），k=3×1=3（3）解：点G在反比 例函数的图象上．理由如下：∵△BFG和△DCA关于
某点成中心对称，∴△BFG≌△DCA，∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，而OB=AC=1，∴OF=OB
+BF=1+2=3，∴G点坐标为（1，3），∵1×3=3，∴G（1，3）在反比例函数y= 的图象上13．【答案】（1）解：∵∴∴把
分别代入 得： ，解之得： ∴一次函数的解析式为 令 ，则 ∴把 代入 得：∴反比例函数的解析式为 ；（2）解：解方
程组 得： ∴∴（3）解：如图：当x＜-4时， 的图象在 的下方，即 ＞ ； 当 ≤ 时， 的图象在 的上方，即
≤ ；当0＜x＜10时， 的图象在 的下方，即 ＞ ；当 ≥10时， 的图象在 的上方，即 ≤ ；综上可得
，不等式 ≤ 的解集为 ≤ 或 ≥10.14．【答案】（1）2；4；2；；；2；2 数学思考：（2）证明：∵ ， ，∴
，∴ .推广应用：（3）解：若四边形 是正方形，设点 的坐标为 （ ， ），则有 ， ， ，∴点 的坐标为
.∵ ， ，∴ ，解得： .∵点 在 图象上，点 在 图象上，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，点 的坐标为 .
15．【答案】（1）解：由y＝2x+2可知A（0，2），即OA＝2， ∵tan∠AHO＝2， ∴OH＝1， ∴H（1，0）， ∵M
H⊥x轴，∴点M的横坐标为1， ∵点M在直线y＝2x+2上，∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），∵点M在y＝ 上，∴k＝1×4＝
4；（2）解：①当AM＝AP时， ∵A（0，2），M（1，4）， ∴AM＝ ，则AP＝AM＝ ，∴此时点P的坐标为（0，2﹣
）或（0，2+ ）； ②若AM＝PM时，设P（0，y），则PM＝ ，∴ ＝ ， 解得y＝2（舍）或y＝6，此时点P的坐标为
（0，6），综上所述，点P的坐标为（0，6）或（0，2+ ），或（0，2﹣ ）；（3）解：∵点N（a，1）在反比例函数y＝
（x＞0）图象上， ∴a＝4，∴点N（4，1），延长MN交x轴于点C，设直线MN的解析式为y＝mx+n， 则有 解得 ， ∴直
线MN的解析式为y＝﹣x+5．∵点C是直线y＝﹣x+5与x轴的交点，∴点C的坐标为（5，0），OC＝5，∵S△MNQ＝3， ∴S△
MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝ ×QC×4﹣ ×QC×1＝ QC＝3，∴QC＝2，∵C（5，0），Q（m，0），∴|m﹣5|＝2，∴m＝7或3， 故答案为7或3．16．【答案】（1）解：把点A（4，1）代入双曲线 得 ，∴双曲线的解析式为 ；把点A（4，1）代入直线 得 ，∴直线的解析式为 （2）解：∵点P（ ， ）在 的图象上，∴ ，∵ ，∴ ，则 ，∵ ，∴ ，∴点P的坐标为（1，4），又∵双曲线 与直线 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（4，1），∴点B的坐标为（ ， ），过点P作PG∥y轴交AB于点G，如图所示，把 代入 ，得到 ，∴点G的坐标为（1， ），∴PG ，∴ PG（ （3）解：PE=PF．理由如下： ∵点P（ ， ）在 的图象上，∴ ，∵点B的坐标为（ ， ），设直线PB的表达式为 ，∴ ，∴ ，∴直线PB的表达式为 ，当 时， ，∴E点的坐标为（ ，0），同理：直线PA的表达式为 ，当 时， ，∴F点的坐标为（ ，0），过点P作PH⊥x轴于H，如图所示，∵P点坐标为（，∴H点的坐标为（ ，0），∴EH ，FH ，∴EH=FH，∴PE=PF． 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 26 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司