整式运算 情系中考 整式运算是初中代数的基础，于是中考的重要内容之一，本文就考题中常见的主要考点举例剖析如下，供同学们复习时参考. 考点1
对运算性质的考查 【例1】（2007年·成都市）下列运算正确的是（ ） A.4a2-（2a）2=2a2 B.（－a2）a3=a6
C.（－2x）3=-8x3 D.（－x）2÷x=-x 【思考与分析】 对A应先算积的乘方，再算加减运算，结果为0，对于B通过
运算可知应为－a5，对于C是考查的积的乘方，它是正确的，对于D应注意它的运算顺序，应为x. 解：答案为C. 【小结】我们对课本知识
要熟悉，掌握牢固才能做到准确无误. 考点2 整式的加减运算 【例2】（2007山东改编）已知（x－3）２＋∣x－2y＋5∣＝0，化
简－3x２y－2［3x２y－2（x y＋x２y）］－3x y的值为＿＿＿＿＿． 【思考与分析】本题是一个典型的代数式求值题，题中条
件需利用非负数原理（若干个非负数的和为零，则每个非负数均为零）解决． 解： －3x２y－2［3ｘ2y－2（x y＋ｘ２y）］－3x
y ＝－3x２y－6x２y＋4x y＋4x２y－3x y ＝－5x２y＋x y， 又因为（x－3）２＋∣ｘ－2y＋5∣＝0， 所
以x－3＝0 且 ｘ－2y＋5＝0， 所以x＝3 且y＝4． 所以－5x２y＋x y ＝－5×3２×4＋3×4＝－180＋12 ＝
－168． 考点3 直接考查公式 【例3】（2007年深圳市）将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件
的三个整式： ， ， . 【思考与分析】本题是一个要求熟悉完全平方公式是三项组成，两个是平方项，一个是积的2倍，从这个题目上可以看
出x2、４可以是平方项，也可以４是平方项，x2是积的2倍，当是第一种情况时，可以加上4x、-4x 使得变为完全平方公式，是第二种情
况时，要加上x4使得变为完全平方公式. 解：4x、-4x、x4. 【小结】本题是一个开放性的题目，主要考查的是同学们对完全平方公式
的特点的把握，只有把握住了它的特点，就可以解这样的题目. 【反思】同学们再想想看还有哪种情况，若我们加上-x2或-4可以吗？ 考点
4 求值计算 【例4】（2007年泉州市）先化简下面的代数式，再求值：a（1－a）＋（a－1）（a＋1），其中 a=1. 【思考与
分析】从题目的要求是先化简再求值，这样计算简便，运算量小. 解：原式＝a－a2＋a2－1＝a-1. 把a=1代入上式，原式＝0 【
小结】本题是比较常见的题型，主要考查学生对公式的掌握，及运算能力 考点5 利用公式解决面积问题 【例5】（2007年湖北）在边
长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开, 如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的
面积关系，表明下列式子成立的是（ ）. A.（a+b）（a-b）＝a2-b2 B.（a+b）2=a2+2ab+b2 C.（a-
b）2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=（a-b）2 【思考与分析】从这个题目的条件中可以看出，把（1）图形经过剪切成为第（2
）图形，得到一个等腰梯形，它的面积为（上底+下底）×高÷2，上底为2b，下底为2a，高为a-b，所以面积为：（2b+2a）（a-b
）÷2＝a2-b2，所以答案为：A. 解：A. 【小结】利用割补图形和乘法公式来验证图形的面积，要求同学们有较强思维意识和对一些特
殊图形面积公式的充分掌握. 考点6 新定义运算 【例6】（2007·黔东南州）现规定一种运算：a※b＝ab+a－b，其中a，b为
实数，则a※b+（b－a）※b等于（ ）. A.a2－b B.b2－b C.b2 D.b2－a 【思考与分析】要化简代
数式a※b+（b－a）※b，只要我们模仿a※b＝ab+a－b这一新定义的运算，将（b－a）看成一个整体，再利用我们平时学过的整式运
算即得. 解：因为a※b＝ab+a－b， 所以a※b+（b－a）※b＝ab+a－b+（b－a）b+（b－a）－b ＝ab+a－b+
b2－ab+b－a－b ＝b2－b. 故应选B. 【小结】求解只要弄清楚新规定的运算程序,使之化归到我们平时所学过的知识上来,问题
就能容易求解. 考点7 考查探索规律 【例7】（2007年·福建）观察下面的单项式：x，-2x2，4x3，-8x4，….根据你发现
的规律，写出第7个式子 是＿＿＿＿＿. 【思考与分析】 这个题是以整式的概念为背景的一个探索规律，仔细观察这个式子的特点，查找它的
规律. 解：64x7. 【小结】探索规律题目在每个章节都有类似的问题，知识面比较广，是中考的一个热点，我们应加强这方面的能力. 【
例8】 （2007年·安徽）老师在黑板上写出三个算式： 52-32= 8×2，92-72 =8×4，152-32=8×27，王华接
着又写了两个具有同样规律的算式：112－52 =8×12，152-72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述
规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性． 【思考与分析】 如果我们分别用2m+1和2n+
1表示两个奇数，则利用平方差公式，有（2m +1）2-（2n+1）2=［（2m+1）+（2n+1）］［（2m+1）-（2n+1）］
=（2m+2n+2）（2m-2n）=4（m+n+1）（m-n）. 解：（1） 答案不唯一.132-52＝8×18，172-92＝8
×26； （2） 任意两个奇数的平方差等于8的倍数， （3） 证明：设m，n为整数，则2m+1，2n+1为奇数，由上面的规律得 （
2m+1）2-（2n+1）2＝4（m-n）（m+n+1） 当m，n同时是奇数或偶数时，4（m-n）是8的倍数； 当m，n一个是奇数
一个是偶数时，（m+n+1）偶数，所以4（m+n+1）是8的倍数. 所以，任意两个奇数的平方差都是8的倍数. 【小结】本题是逆用平
方差公式进行探索的题目，这就需要我们对公式的认真掌握，以及对公式的灵活运用. 考点8 开放型考题【例9】（2007·陕西）将多项
式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式:________、________、__________
_. 【思考与分析】 由完全平方和和完全平方差公式我们很容易想到x2+4+4x=（x+2）2或x2+4-4x=（x-2）2，观察其
特征，我们是否可以添一个x的次数是四次的式子呢？ 解：按照完全平方公式可得x2+4+4x=（x+2）2或x2+4-4x=（x-2）
2；或x2+4+x4＝（x2+2）2，只要肯动点脑筋，还可得x2+4-4=x2；或x2+4-x2=4=22. 考点9 判断说理题
【例10】（2006·南通）已知Ａ＝a+2，Ｂ＝a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a>2. （1）求证：Ｂ－Ａ>0，并指出Ａ
与Ｂ的大小关系； （2）指出Ａ与Ｃ哪个大？说明理由. 【思考与分析】（1）中给出我们判断两个代数式大小的方法，用此方法我们可以解决
（2）. 解：（1）B－A＝（a-1）2+2>0，所以B>A. （2）C－A＝（a+7）（a-3），因a>2，所以a+7>0，从而
当2C；当a=3时，A＝C；当a>3时，A 程序计算，把答案写在表格内： （1）填写表格： （2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简. 【思考与分析】按照运算程
序可以直接计算出当n分别等于和－2对应的值，进而可以探索出运算的一般规律，即代数式. 解：（1）当n＝时，答案为1，当n＝－2时，
1. （2）代数式为：（n2+n）÷n－n，化简结果为1. 【点评】这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的
答案.另外，本题中得到的代数式化简的结果是一个定值. 考点11 解释公式的几何意义 【例12】（2007·青海改编）如图1，阴影部
分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即＿＿＿＿＿.a2－b2； 若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影
部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.从而验证了平方差公式：＿＿＿＿＿.（a+b）（a－b）＝a2－b
2. 如图2，大正方形的面积可以表示为＿＿＿＿，（a+b）2，也可以表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝＿＿＿＿，a2
+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式：＿＿＿＿＿（a+b）2＝a2+2ab+b2. 【思考与分析】本题考
查利用图形解释平方差和完全平方公式，体现数形几何思想。 如图1，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－
b2； 若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.从而验
证了平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2. 如图2，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可以表示为S＝SⅠ+ SⅡ+
SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2. 考点1
2 整式在生活的应用 【例13】（2006江西改编）某玩具厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a＞0）个成品，且每
个车间每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名质检员星期一、星期二检验其中两个车间原有和这两天生产的所有成品，然后星期三至星
期五检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品.假定每个检验员每天检验的成品数相同. （1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含
a、b的代数式表示） （2）试求用b表示a的关系式； （3）若1名质检员1天能检验b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ 【思
考与分析】在这个问题中，要注意每个车间原来都有成品，每个车间每天都生产成品，要注意变量之间的关系，用代数式表达出检验员1天检验的成品数，然后建立等量关系. 解：（1）这若干名检验员1天能检验=a+2b或或2（a+5b）-2（a+2b）=3b×2. （2）依题意得：=，化简得：a=4b. 另解：＝3b×2 ，化简得：a=4b. （3）÷b＝7.5（名）. 另解：（3b×2）÷b＝7.5（名）. 所以质检科至少要派出8名检验员.紫妍数学堂——为你提供学习平台 为你学习保驾护航紫妍数学堂——为你提供学习平台 为你学习保驾护航 |
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