“互余、互补、对顶角”知识应用技巧互为余角、互为补角以及对顶角的概念和性质，是我们需要掌握的重要的几何基础知识，它对我们今后继续学习与应用几
何知识有着非常重要的作用.以下分别举例和同学们一起讨论 它们的应用 .一、基本应用1 . “互余、互补”知识的应用例1 如图1中
，（1）哪些角互为余角？哪些角互为补角？（2）∠ADC与∠BDC互余吗？为什么？（3）∠ADF与BDE有什么关系？为什么？分析：根
据图形中的条件结合互余互补的性质来判断这些关系 .解：（1）∠1与∠ADC互余，∠1与∠ADF互补，∠EDC与∠FDC互补，∠2与
∠BDC互余，∠2与∠EDB互补，∠1与∠BDC互余，∠1与∠EDB互补，∠2与∠ADC互余，∠2与∠ADF互补 .（2）∠ADC
与∠BDC相等 . 这是因为∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2 的余角，且∠1＝∠2，根据等角的余角相等，可知∠ADC＝∠BDC
.（3）∠ADF与∠BDE相等 . 这是因为∠ADF是∠1 的补角，∠BDE是∠2 的补角，且∠1＝∠2，根据等角的补角相等，可
知∠ADF＝∠BDE .2 . 对顶角知识的应用例2 如图2所示，AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC＝120. 求
： ∠BOD和∠AOE的度数 .分析：由∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数，由于∠AOD与∠AOC互补，可
知∠AOD的度数，又OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数 .[解：因为∠BOD与∠AOC是对顶角，根据对顶角相等，可知∠BOD＝1
20 .图2由∠AOD是∠AOC的补角，可知∠AOD＝60，又因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠AOD＝30 . 说明：当问题
中给出了某一个角的度数时，可根据互余、互补以及对顶角的性质求得其它角的度数 .二、综合应用例3 如图3所示，直线AB、CD相交
于点O，OE⊥OD，OF⊥AB，若∠AOC＝40，求∠BOD、∠DOE、和∠COF的度数 . 分析：根据对顶角的性质，可求得∠BO
D的度数；由垂直关系或互余求∠DOE的度数；和∠COF的度数 . 解：因为 AOC和∠BOD是对顶角，所以∠BOD＝∠AOC＝40
；因为OE⊥OD，所以∠COE和∠DOE互补，即∠COE＝∠DOE＝90；因为OF⊥AB，所以∠AOF＝90，又∠AOC和∠COF
互余，所以∠COF＝90－∠AOC＝90－40＝50 .说明：当已知图中某一个角的度数，可根据其它角与这个角的关系，运用互余、互补
、对顶角的性质求相关角的度数 .三、创新应用例4 如图4所示的是长方形台球桌面上一次击球路线，如果∠1＝∠2，∠1＝30，那么∠
3＝等于多少度？∠1与∠3 是什么关系？∠AOC是多少度？它与∠3 是什么关系？分析：因为球E沿EO方向撞击边框CD后，沿OA方向
进袋，根据原理可知∠EOC＝∠AOB，又OF⊥于BC，由此可得出要求的结论 .解：因为∠2＋∠3＝90，所以∠3＝90－∠2，因为
∠1＝∠2，所以∠3＝90－∠1＝90－30＝60.所以∠1与∠3互余 . 因为∠AOC＋∠3＝180，所以∠AOC＝180－60
＝120 .所以∠AOC与∠3互补 .说明：在判断实际问题中角的关系或计算实际问题中角的度数时，要根据实际问题中所因含的垂直、相等等进行分析、判断或计算 . |
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