思维点拨：相交线与平行线【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？【思考与
分析】观察图形我们可知，∠AOE与∠BOE是邻补角，所以∠BOE的度数可求，又由OE是∠BOD的角平分线可求得 ∠BOD=2∠BO
E，而∠AOC与∠BOD是对顶角，故∠AOC可求.解：∵ AB是直线（已知）， ∴ ∠AOE与∠BOE 是邻补角（邻补角定义） ∴
∠AOE+∠BOE=180°（补角定义）. 又∠AOE=150°（已知）， ∴ ∠BOE=180°-∠AOE=180°－150°
=30°（等式性质） ∵ OE平分∠BOD（已知）， ∴ ∠BOD=2∠BOE（角平分线定义）. 即 ∠BOD=2×30°＝60°
. ∵ ∠AOC与∠BOD是对顶角（由图可知）， ∴ ∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）. ∴ ∠AOC＝60°. 反思：在思考过程
中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.?【例2】 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1
=15°30′，则下列结论中不正确的是（????? ）. A.∠2=45° B.∠1=∠3 C.∠AOD与∠1互为补角 D.∠1的
余角等于75°30′ 思考与解: ∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°. ∵OF平分∠AOE， ∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3
.∴B正确. ∵∠AOD与∠1互为补角.∴C正确. ∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不
正确.故选D.【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突.【例3】已知，如图，直线A
B、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度数吗？ 【思考与分析】我们由AB⊥CD可知∠AO
C＝90°，因此，∠AOE与∠EOC 互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角，于是∠EOC=32°，于是∠AOE可求.?解法一：∵
直线CD与EF交于O（已知）， ∴ ∠EOC=∠DOF （对顶角相等）. ∵ ∠DOF＝32°（已知）， ∴ ∠EOC=32°（等
量代换）. ∵AB、CD互相垂直（已知）， ∴ ∠AOC＝90°（垂直定义）. ∴ ∠AOE+∠EOC=90°. ∴ ∠AOE=9
0°-∠EOC=90°-32°=58°. 解法二：∵直线AB、CD互相垂直（已知）， ∴ ∠BOD＝90°（垂直定义）. ∴ ∠B
OF+∠DOF=90°. ∵ ∠DOF＝32°（已知）， ∴ ∠BOF=90°-∠DOF=58°. ∵直线AB与直线EF交于点O（
已知）， ∴ ∠AOE=∠BOF（对顶角相等）. ∴∠AOE＝58°. 反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用
对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.【例4】 如图3，直线AB与CD相交于点F，EF⊥CD，则∠AFE与∠
DFB之间的关系是_______.[中国~#教育出&版网^%] 【思考与分析】我们由所给的条件EF⊥CD，得∠CFE=90°，也
就是说∠AFE＋∠AFC=90°，又根据对顶角相等，得∠AFC＝∠DFB，所以∠AFE＋∠DFB=90° .本题也可利用平角的定义
来解，即由 ∠AFE＋∠DFB＋∠EFD=180°，又因为∠EFD=90°，所以∠AFE＋∠DFB=90°. 解： ∠AFE与∠D
FB互为余角（或∠AFE＋∠DFB=90°）. 【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，
寻找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.【例5】 平行直线AB
和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（????? ）对. A. 4对?? B. 8对??? C. 12对?? D.
16对 【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“
直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所
截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对
，因此选择D. 【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”. 【例题】（1）如图1，在△ABC中，∠A
BC=90°， ∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是 °. （2）已知：如图2，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD
于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P．你能说明∠P=90°吗？[来源@#:^中国教育出&版网~] （3）如
图3，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为? . 【思考与解】（1）解法一：由题意我们知BD∥AC.所以∠
ABD+∠BAC=180°.所以∠CBD=180°-50°-90°=40°. 解法二：由题意我们知∠C=90°-∠A=90°-50
°=40°. 又因为BD∥AC.? 所以∠CBD=∠C=40°. （2）因为AB∥CD. 所以根据平行线的性质得：∠BEF+∠E
FD=180°. 又因为EP、FP分别平分∠BEF和∠EFD. 所以∠P=180°-（∠1+∠2）= 180°-90°=90°.
（3）因为AB∥CD.? 所以∠BFE=∠C=75°. 所以∠AFE=180°-∠BFE= 180°-75°=105°. 所以∠
E=180°-∠A-∠AFE=180°-25°-105°=50° 反思：我们在做这类题的时候，一定要想是不是这样做最简单，是不是只
有这一种解法？【例6】如图1，如果∠B＝∠1=∠2＝50°，那么∠D＝??? . 【思考与分析】我们通过观察图形，由∠B＝∠1=∠
2＝50°可得AB∥DC、AD∥BC，再利用其性质同旁内角互补可得∠D的度数. 解：因为∠B＝∠1，所以AB∥DC， 所以∠B＋∠
BCD=180°，∠BCD=130°. 又因为∠B＝∠2，所以AD∥BC， 所以∠BCD＋∠D=180°，∠D=50°. 反思：我
们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用∠D＝∠1＝∠B＝50°.也可以利用∠D＝∠2＝∠B＝50°.大家可以试一试. 【例7】
如图2，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4＝125°，则∠3＝?????? . 思
考与解：因为∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补， 所以∠1＋∠2＝180°. 所以l1∥l2. 所以∠3＝∠5＝180°－∠4＝
55°. 反思：我们难以理解的是为什么∠1＋∠2＝180°？我们可由题意列式∠1＋∠3＝90°，90°－∠3＋∠2＝180°.两个
式子相加可得∠1＋∠2＝180°.在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的
帮手.下面举几例说明. 【例8】如图1所示，直线a∥b，∠ACF＝50°，∠ABE＝28°，求∠A的大小 【思考与分析】要求∠A的
大小，关键是确定辅助线的位置.于是我们会想到过点A作AD∥b，这样利用平行线的知识即可求解. 解：过点A作AD∥b，则∠DAC＝∠
ACF＝50°. 又因为a∥b， 所以AD∥a. 所以∠DAB＝∠ABE＝28°. 所以∠BAC＝∠DAC－∠DAB＝50°－28
°＝22°，即∠A的大小是22°. 反思：在解题时我们做AD∥b，那么是不是必须要做辅助线呢？我们继续思考：∠A在△ABG中，∠A
BE也在△ABG中且等于28°，那么只要求出∠AGB的度数，就可求∠A的度数. 【例9】如图2，AB∥CD，EO与FO相交于点O，
试猜想∠AEO、∠EOF、∠CFO之间的关系，并说明理由. 【思考与分析】由于∠BEO、∠EOF、∠DFO三个角的位置较散，设法通
过辅助线使之相对集中，我们可以考虑AB∥CD，可以过点O作MN∥AB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想∠AEO+∠CFO+
∠EOF=360°. 解：过点O作MN∥AB. 因为AB∥CD， 所以CD∥MN. 所以∠AEO+∠EOM=180°，∠MOF+∠
CFO=180° 所以∠AEO+∠CFO+∠EOF=∠AEO+∠EOM＋∠MOF+∠CFO＝180°＋180°＝360°. 反思：
我们解这道题是用的两组同旁内角之和.其实我们还可以连结EF，正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的三个内角.由同旁内角和三角
形内角和可得出同样的结论. 【例10】如图3，已知AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D.试探索β与2α的数量关系，并
说明你的理由. 【思考与分析】我们由已知条件AB∥ED可知α＝∠A+∠E＝180°，于是只需知道β＝∠B+∠C+∠D的大小即可探索出β与2α的数量关系.此时可以过点C作CF∥AB，从而求出β＝∠B+∠C+∠D＝360°，即有β＝2α. 解：猜想β＝2α. 理由是：过C作CF∥AB， 因为 AB∥ED， 所以∠α＝∠A+∠E＝180°. 又因为AB∥ED， 所以CF∥DE，即（∠B+∠1）+（∠2+∠D）＝360°. 故β＝2α. 【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的，也可以连结BD来解. |
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