2023年考研数学二试题及答案
一、选择题~10小题,每小题5分共50分.每题给出的四个选项中只有一个选项是符请将所选项前的字母.
1. 的斜渐近线为( )
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】由已知，则
，
，
所以斜渐近线为.故选B.
2. 函数的一个原函数为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D.
【解析】由已知，即连续.
所以在处连续且可导，排除A，C.
又时，，
排除B.
故选D.
3.设数列满足,当时( ).
A.是的高阶无穷小 B.是的高阶无穷小
C.是的等价无穷小 D.是的同阶但非等价无
穷小
【答案】B.
【解析】在中，，从而.又，从而
，
所以.故选B.
4. 若的通解在上有界，这（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】微分方程的特征方程为.
①若 ，则通解为；
②若，则通解为；
③若，则通解为.
由于在上有界，若，则①②③中时通解无界，若，则①②③中时通解无界，故.
时，若 ，则，通解为，在上有界.
时，若，则，通解为，在上无界.
综上可得，.故选D.
5. 设函数由参数方程确定，则( ).
A.连续，不存在 B.存在，在处不连续
C.连续，不存在 D.存在，在处不连续
【答案】C
【解析】，故在连续.
.
时，；时，；时，，故在连续.
,
,
故不存在.故选C.
6. 若函数在处取得最小值则 )
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】已知，则
，
令，解得
故选A.
7.设函数.若没有极值点,但曲线有拐点,则的取值范围是( ).
A. B. C.[1,2) D.
【答案】C.
【解析】由于没有极值点,但曲线有拐点，则有两个相等的实根或者没有实根，有两个不相等的实根.于是知解得.故选C.
8. 为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于
，
故
.
故选B.
9. 的规范形为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
二次型的矩阵为，
，
，故规范形为，故选B.
10.已知向量组 ，若 既可由 线性表示，又可由线性表示，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，
，
解得，故
.故选D.
二、填空题11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在.
11．当时，与是等价无穷小，则________.
【答案】
【解析】由题意可知，
，
于是，即，从而.
12. 曲线的孤长为_________.
【答案】
【解析】曲线的孤长为
.
13. 设函数由方程确定，则_________.
【答案】
【解析】将点带入原方程，得.
方程两边对求偏导，得，
两边再对求偏导，得，将代入以上两式，得，.
14. 曲线在对应点处的法线斜率为_________.
【答案】
【解析】当时，.
方程两边对求导，得，将，代入，得
.于是曲线在对应点处的法线斜率为.
15. 设连续函数满足，，则_________.
【答案】
【解析】
.
16. 有解，其中为常数，若 ，则________.
【答案】
【解析】方程组有解，则 ，故.
三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
设曲线经过点，上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距，
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.
【】在点处的切线方程为，令，则切线在轴上的截距为，则，即，解得，其中为任意常数.
又，则，故.
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为
.
令，则；令，则.
故切线与两坐标轴所围三角形面积为，
则.令，得驻点.
当时，；当时，，故在处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为.
18.（本题满分12分）
求函数的极值.
【解】由已知条件，有
，
.
令，解得驻点为，其中为奇数；，其中为偶数.
，，.
在点处，其中为奇数，
，，，
由于，故不是极值点，其中为奇数.
在点处，其中为偶数，
，，，
由于，且，故为极小值点，其中为偶数，且极小值为
.
19.（本题满分12分）
已知平面区域，
（1）求平面区域的面积.
(2)求平面区域绕一周所形成的旋转体的体积.
【解】(1)
.
(2) .
20.（本题满分12分）
设平面区域位于第一象限，由曲线，与直线围成，计算.
【解】
.
21.（本题满分12分）
设函数在上有二阶连续导数.
（1）证明：若，存在，使得；
（2）若在上存在极值，证明：存在，使得.
【证明】(1)将在处展开为
，
其中介于与之间.
分别令和，则
，，
，，
两式相加可得
，
又函数在上有二阶连续导数，由介值定理知存在，使得
，
即.
(2)设在处取得极值，则.
将在处展开为
，
其中介于与之间.
分别令和，则
，，
，，
两式相减可得
，
所以
，
即.
22.（本题满分12分）
设矩阵满足对任意的均有.
(1)求
(2)求可逆矩阵与对角阵，使得.
【解】(1)由，得
，
即方程组对任意的均成立，故.
(2),
,
特征值为.
,;
,;
,,
令 ，则.
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