第二十二章 一元二次方程
一元二次方程（1）
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
知新必备：
1、方程的概念：
2、一元一次方程定义：
探究新知
一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
设正方形的边长为x，可列方程： 整理得：
一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
设这个数为x，可列方程： 整理得：
3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
设铁片长为x，可列方程： 整理得：
参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？设有x人参加，可列方程：
整理得：
5、小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？
可列方程： 整理得：
观察上述五个整理后方程，它们的共同点是：
知识点1：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
【挑战自我1】判断下列方程是否为一元二次方程。
(9)4s(s-1)=4s2+2
其中为一元二次方程的是：
知识点2、
一元二次方程的一般形式： ,其中
二次项： 一次项： 常数项：
二次项系数： 一次项系数
【挑战自我2】 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项：
1）2）（x-2）(x+3)=83）(2x－1)－3x(x－2)=0
当堂达标：
（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（ ）（2） ( )
(3) （ ） (4) ( )
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1） ±1 ±2；
（2） ±2， ±4
（B）1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
一元二次方程（2）
重难点关键
1．重点：判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程
一、合作交流，解读探究
先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：
1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
应用迁移，巩固提高
3、 若x= -1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2015(a - b+c)的值
4、关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值
二、总结反思，自查自省
选择题
1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2x1=0，x2=x1=1，x2x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
A．x1=b，x2x1=b，x2=x1=a，x2=x1=a2，x2=b2
x2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
x2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
直接开平方法
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法 解特殊的一元二次方程。
自主探索
解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
（3）（x＋1）2－4＝0； （4）12（2－x）2－9＝0.
总结归纳
、如果方程能化成=p (p≥ 0)，那么可得
（2）、如果方程能化成（mx+n）=p(p≥ 0)形式，那么可得
巩固提高
1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0； （4）（x＋1）2= 2
（5）（x－1）2－4 = 0 （6） 12（3－2x）2－3 = 0
（7）（2x+3）2-5=0 （8）（t－2）（t +2）=0；
（）x2+2x+1= （）x24x+4=12
（11）x2-6x = -6 （12）x2+x+=0
配方法
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。
知新必备：
练一练 ：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；
自主学习
解方程x2+6x-16＝0
精讲点拨
上面，我们把方程x2+6x-16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
合作交流
例1：用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋_ _2＝7＋__ _，
即 （______）2＝____.
所以 x－3＝____.
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即 _____________________
所以 ___________________
原方程的解是： x1＝______________x2＝___________
例2、 用配方法解下列方程：
（1） （2）
总结规律
用配方法解一元二次方程的步骤：
2、
3、 4、
巩固提高：用配方法解方程：
1、x2＋8x－2＝0 2、x2+2x－3＝0.
3、x2-x=6 4、x2＋5x＋4＝0
5、 x2-2x-3=0 6、 2x2+12x+10=0
x2-4x+3=0 8、9x2-6x-8=0
9、x2+12x-15=0 10、 2x2+1=3x
11、 3x2+6x-4=0 12、 4x2-6x-3=0
13. x2+4x-9=2x-11 14. x(x+4)=8x+12
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
公式法
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。
导学流程: 复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
当b2－4ac＞0时，方程有 个＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
当b2－4ac＝0时，方程有 ＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
巩固练习
1、做一做：
(1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）
(2)方程(2x-1)=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.
(3)方程3x-2x+4=0中，=（ ）,则该一元二次方程（ ）实数根。
(4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。
深入探究：应用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
(1)、把方程化为 ，简称：
(2)、确定 ，简称：
(3)、计算 ，简称：
(4)、当b2－4ac≥0时， ，
当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
巩固练习：应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).
（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
因式分解法
重点、难点
重点：应用分解因式法解一元二次方程
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
知识准备
1、将下列各题因式分解
（1）、am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
（2）4x2-x （3）9x2-4
(4)x2-4x+4 (5)x2-5x+6
2、直接写出下列方程的两个根：
（1）x(x-1)=0 （2）(y-2)(y+5)=0 （3）t2=2t
(3) (x+1)(3x-2) =0 (4)(x-)(5x+)=0
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法），那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1） （2）
练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0
典例分析：
用因式分解法解下列方程
(1) (2)
（3） (4)
用因式分解法解下列方程
（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2
（3） （4）3x2-12x=-12
随堂训练
用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0
（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0
（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
归纳总结：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
将方程右边化为
将方程左边分解成两个一次因式的
令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1．方程的根是
2．方程的根是
3．方程2x(x-2)=3（x-2）的解是__ _______
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，x1-2x2的值等于___
5．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
6．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．
7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2
8．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x（x-5）=0
自我检测：
（1）一元二次方程的解是（ ）
（A） （B） （C）或 （D）或
时，原方程应变形为（ ） B． C． D．
（3）一元二次方程x2=2x的根是 （ ）－－
A．－B．2 C．1和2 D．－的两根分别为 （ ）
A. 3, －5 B. －3，－5 C. －3,5 D.3，5
（6）一元二次方程的解是（ ）
（A） （B） （C）或 （D）或
方程2x2+5x-3=0的解是 。
的解为 .
习题课
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：
用公式法： 用因式分解法：
用配方法： 用公式法：
练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3） （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）； （2）；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）； （6）.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x； （2）
（3）x2＋(＋1)x＝0； （4）；
（5）； （6）；
4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1） （2）
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
7
x＝ ( b2－4 ac≥0)
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