初中几何经典难题合集（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．AFGC
EBOD求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．
（初二）APCDB3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、D
D1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMB4、已知：如图，
在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二
）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝6
00，求证：AH＝AO．（初二）·ADHEMCBO2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C
及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．·GAODBECQPNM求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆
内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．·OQPBDECNM·
A求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是E
F的中点．PCGFBQADE求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥
AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．AFDECB求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝
CA，直线EC交DA延长线于F．EDACBF求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF
平分∠DCE．DFEPCBA求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线
PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）ODBFAECP经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一
点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．APCB求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA
．PADCB求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）C
BDA4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初
二）FPDECBA经典难题（五）APCB设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．2、已知：P是边
长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．ACBPD ACBPD2、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，P
B＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．EDCBA4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠
DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．答案经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以
∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得
△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 ，
从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C
2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=BC=FC1 ，又∠GFQ+∠
Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ，可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所
以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ，同理可得其
他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠
QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠
ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连
接OB，OC,既得∠BOC=1200， 从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。3.作OF⊥CD，OG
⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于， 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。 又因为P
FOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。4.过E,C,F点
分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。 由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
从而可得PQ= = ，从而得证。经典难题（三）1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+4
50=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=
CF。2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH， 可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠
CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。3.作FG⊥C
D，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠E
PF==，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF
，得证 。经典难题（四）顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形。所以∠APB=
1500 。2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEB
P共圆（一边所对两角相等）。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△AD
C，可得： =，即AD?BC=BE?AC， ① 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得 =，即AB
?CD=DE?AC，② 由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。4.过D作AQ⊥AE ，
AG⊥CF ，由==，可得： =，由AE=FC。 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。经典难题（五）1.（1
）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一
条直线上，即如下图：可得最小L= ； （2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出A
D>AP①又BP+DP>BP②和PF+FC>PC③ 又DF=AF ④ 由①②③④可得：最大L< 2 ；
由（1）和（2）既得：≤L＜2 。 2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+
EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = =
。3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L = = 。4.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ，
连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形， 可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ， 既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。 |
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