《數理精藴》之正十二面體體積說上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：本文主
要談及《數理精藴》正十二面體體積之証明及相關之問題。其中涉及“黃金比例”，清代稱之為“理分中末線”。本文尚列出正十二面體體積之不盡
根式。關鍵詞：十二面體 定率比例 黃金比例 不盡根式第1節 《數理精藴》正十二面體體積之算法本文數學題取材自《御製數理精藴
?下編?卷二十七?體部五》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“各等面體”。本文主要談及正十二面體體積之証明及相關之體積問題。其中亦涉及“
定率比例”之算法，此乃清代流行之算法。以下為《數理精藴》之正十二面體題目：設如十二面體每邊一尺二寸，求：積幾何？解：以下為正十二面
體圖，每一面均為正五邊形：求其體積之法，其要點為將正十二面體分割成十二個以正五邊形為底之尖錐體，即十二尖錐體有共同之尖，此“尖”即
為正十二面體之中心點。如此則先要求其正五邊形之面積，得其面積後再乘以尖錐之高，再乘以 即得以正五邊形為底之尖錐體體積，故其關鍵步
驟為求尖錐之高。得五邊形為底之尖錐體體積後再乘以12即得十二面體之體積。若要求正五邊形之面積，則先求其一邊之長，若要求正五邊形一邊
之長，則須知其繪製之法，現先介紹其繪製法如下：先繪一圓以 O 為圖心，以1為半徑，畫直徑 AB，又畫半徑CO垂直 AB，平分半徑O
B，其中點為D，以D為圖心，DC為半徑，畫一圓弧交AB於E，即DC = DE。又以C為圖心，CE為半徑，畫一圓弧交圓周於，F，CF
即為正五邊形之一邊。36oCGFOEDAB從上圖可知 ∠OCF = 54o，∠COG = 36o。今設半徑OC = 1，OD =
DB = ?，DC = √ [12 + (?)2] = ，作DC = DE，OE = DE – DO = – ，CE = CF
= ，CF = = ，即正五邊形一邊之長，又自O作垂線OG垂直CF，則G點乃為CF之中點，CG = CF= ，OG = = 。
以下為正五邊形相關之三角函數：因為∠OCG = 54o，cos 54o = sin 36o = CG = = = = 。又si
n 54o = cos 36o = OG = = = 。tan 36o = = ÷ = = = = = = 0.
726542528。cot 36o = = = = = 1.37638192。若五邊形一邊之長為x，圓心至正五邊形一邊之距
離為 h 如下圖：36oh若五邊形一邊之長為x則 tan 36o = 。h 為中心至每邊之高。h = cot 36o = 。若x
= 1.2，則 h = 1.2 ÷ 2 × cot 36o = 8.25829152。以下為《數理精藴》之算法：法：以十二面體分
作十二五角尖體算之，将每邊一尺二寸求得五等邊形之分角線為一尺零二分零七豪八絲零九微有餘。自中心至每邊之垂線為八寸二分五釐八豪二絲九
忽一微有餘 ( = 8.25829152 寸)，面積為二尺四十七寸七十四分八十七釐三十豪有餘 (2.477487457) 。8.2
5829152 × 1.2 ÷ 2 × 5 = 2.477487456﹝平方尺﹞。此乃正五邊形之面積。求兩相對角之線長：乃用理分中
末線之大分六一八○三三九九為一率，全分一○○○○○○○○為二率，今所設之每邊一尺二寸為三率，求得四率一尺九寸四分一釐六豪四絲零七微
有餘，為每一面兩角相對之斜線。下圖之EF及ED是為兩相對角之線長，EF = ED。54oC36oGEFGD若五邊形一邊之長為x，E
F之半長為 x cos 36o = x。理分中末線即 是為黃金分割比，又稱為黃金比例（golden ratio），以φ表之。計
算後可知φ = 1.618033989，是一無理常數。《數理精藴》稱 = 0.618033989為“大分”之理分中末線。因為co
s 36o = = = 0.809016994，EG = CE cos 36o = 1.2 × 0.809016994 = 0
.970820392，EF = 2 × 0.970820392 = 1.941640786。或2 CE cos 36o = EF即
= 2 × = φ。求十二面體之中心至每邊正中之斜線：又用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率，全分一○○○○○○○○為二
率，今所得之每一面兩角相對之斜線折半得九寸七分零八豪二絲零三微有餘為三率，求得四率一尺五寸七分零八豪二絲零二微有餘，為十二面體之中
心至每邊正中之斜線﹝見第7頁之圖，即辰丑線﹞。先列出比例四率如下：一率：理分中末線之大分61803399二率：全分 1000000
00三率：每一面兩角相對之斜線折半得 9.708203四率：十二面體之中心至每邊正中之斜線依比例四率得 一率：二率 = 三率：四率
一率 × 四率 = 二率 × 三率四率 = × 二率 × 三率。= × 100000000 × 9.708203寸= 15.7
082﹝寸﹞。再求每一面中心之立垂線：乃以此斜線為弦，每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八豪二絲九忽一微有餘為勾 (8.258291
52)，求得股一尺三寸三分六釐二豪一絲九忽六微有餘，為十二面體之中心至每一面中心之立垂線。依勾股定理：√ (15.70822 –
8.258292) = √178.5481935 = 13.36219 寸。最後求正十二面體之體積：爰以此立垂線與每一面積二尺四十
七寸七十四分八十七釐三十豪有餘相乗，三歸之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九釐有餘，為一五角尖體積，十二因之得一十三尺二百四十一
寸八百六十八分三百四十八釐有餘，即十二面體之總積也。一五角尖錐之體積 = × 1.336219 × 2.477487456 =
1.103489﹝立方尺﹞。十二面體之總積 = 12× 1.103489 = 13.241863﹝立方尺﹞。以下為《數理精藴》之解
說：如圖甲乙丙丁戊十二面體，其稜三十，角二十，平鋪之則面十二各成一等邊五角形。先求得己庚辛壬癸五等邊形之子已類分角線，又求得子丑自
中心至每邊之垂線，復求得己庚辛壬癸五等邊形之面積。引文意指以上兩圖為十二面體之平面圖。正十二面體有三十稜，二十角。其展開圖為十二個
正五邊形：先求子丑之垂線，再求正五角形己庚辛壬癸之面積。次以辛壬一邊為大分，己辛兩角相對斜線為全分，故辛壬與己辛之比同於理分中末線
之大分與全分之比，而得兩角相對之斜線。以上引文之所謂“大分”指 ，即黃金分割比之大線段。 = φ，見前文。依此式即可算出己辛之長
。又自十二面體之正中截之，則成十等邊之面形，而其所截之處皆正當每邊之一半，故其所截之寅卯等線，亦為乙丙兩角相對斜線與己辛等之一半而
為十等邊形之一邊，故寅卯與辰寅之比又同於理分中末線之大分與全分之比，而得十二面體之中心至每邊正中之斜線。乃以辰寅斜線為弦，每面中心
至每邉之子丑垂線為勾，求得辰子股，即十二面體中心至每面中心之立垂線。以此辰子立垂線與己庚辛壬癸一面積相乗，三歸之得辰巳庚辛壬癸一五
角尖體積，十二因之即得甲乙丙丁戊十二面體之總積也。上圖右之辰丑乃十二面體之中心至每邊正中之斜線，得此斜線後，因子丑辰為一直角三角形
，故依勾股定理可算出辰子之股長，此即為尖錐體之高。第2節 正十二面體體積之導出﹝以不盡根式表示﹞若十二面體之一邊長為 x，則：五
邊形面積 = cot 36o × × 5 = cot 36o= × = 。十二面體之中心至每邊正中之斜線﹝以比例法算出，
即上圖之辰丑線﹞：= × 二率 × 三率。= × 1 × x= x= x= x。每一面中心之立垂線平方：= [x]2 – []
2= x2 – x2= x2= x2= x2。故每一面中心之立垂線為 。所以正十二面體之體積為： × × 12 × = x3=
x3= x3= x3= x3= x3﹝Surd Form﹞= 7.663118961 x3。以上是為算正十二面體體積之公式。本題之
x = 1.2 ﹝尺﹞，依以上公式其體積為 × 1.23 = 13.24186956﹝立方尺﹞。第3節 《數理精藴》正十二面
體體積之定率比例算法《數理精藴》曰：又用邉線相等體積不同之定率比例以定率之，正方體積一○○○○○○○○○為一率，十二面體積七六六三
一一八九○三為二率，今所設之十二面體之每邉一尺二寸，自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率，求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百
六十四釐有餘，即十二面體之積也。所謂“邊線相等體積不同”指正十二面體之一邊與一正立方體之一邊相同，但兩者之體積不相同，若兩者之邊長
同為 1000，先算出兩者之體積，再以比例法算出題問之體積。例如本題先列出比例四率如下：一率：正立方體體積 1000000000，
即每邊長 1000，二率：正十二面體體積為 7663118903，每邊長 1000，先算出其體積，依上節公式可知 7.663118
961 × 10003 = 76631189(03)﹝此數欠精確，設此數已知﹞。三率：八面體之每邊 1.2 尺之立方為 1.728
立方尺，四率：題問十二面體之體積。依比例四率得 一率：二率 = 三率：四率一率 × 四率 = 二率 × 三率四率 = × 二率
× 三率。= × 7663118903 × 1.728= 13.241869464 ﹝立方尺﹞。《數理精藴》解說曰：蓋十二面體
之每一邉為一○○○，則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○，而十二面體之每一邉一○○○，所得之十二面體積為七六六三一一八九○
三，故以子丑寅邜辰十二面體之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅邜辰十二面體積七六六三一一八九○三之比，
即同於今所設之甲乙丙丁戊十二面體之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方體積一尺七百二十八寸，與今所得之甲乙丙丁戊十二面體積一十三尺二
百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘之比也﹝見下圖﹞。算法及數目見上文。以下為《數理精藴》之另一“定率比例”法，其法稱為“體積相
等邊線不同之定率比例”，亦涉及比例四率。《數理精藴》曰：又用體積相等邉線不同之定率比例以定率之，十二面體之每邉五○七二二二○七為一
率，正方體之每邉一○○○○○○○○為二率，今所設之十二面體之每邉一尺二寸為三率，求得四率二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘，為與
十二面體積相等之正方體，每邉之數自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八釐有餘，即十二面體之積也。所謂“體積相等邊線不
同”指正八面體之體積與一正立方體之體積相同，但兩者之邊長不相同，若兩者之體積同為 1000000003，先算出兩者之邊長，再以比例
法算出題問之體積。先列出比例四率如下：一率：正十二面體每邊長 50722207，以下為此數之來源，設此數為 x，則依公式可知 7.
663118903x3 = 1000000003x = 100000000 × = 50722207﹝設此數已知﹞二率：正立方體
一邊長 100000000，即體積為 1000000003三率：十二面體之每邊 1.2 尺四率：與十二面體體積相等之正立體之一邊之
長依比例四率得 一率：二率 = 三率：四率一率 × 四率 = 二率 × 三率四率 = × 二率 × 三率。= × 100000
000 × 1.2= 2.365827654 ﹝尺﹞。故正十二面體之體積 = 2.3658276543 = 13.241869﹝立方尺﹞。《數理精藴》解說曰：葢十二面體之每邉為五○七二二二○七，正方體之每邉為一○○○○○○○○，則兩體積相等，故以子丑寅邜辰十二面體之每邉五○七二二二○七與巳午未申正方體之每邉一○○○○○○○○之比，即同於今所設之甲乙丙丁戊十二面體之每邉一尺二寸與今所得之己庚辛壬正方體之每邉二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘之比，既得一邉，自乗再乗得己庚辛壬正方體積，即與甲乙丙丁戊十二面體之積為相等也。算法及數目見上文。以下為《數理精藴》原文：(1) |
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