聚焦有关全等三角形中的开放型问题 随着新课程的深入实施，培养学生的创新精神和实践能力成为数学教育的重要方面．而开放型问题具有这方面的考查功能
．近年来各地中考中都出现一些多姿多彩的开放型问题．下面举例谈谈有关三角形全等的开放题．辨别改错型例1 阅读下题及证明过程：已知：如
图1，D是△ABC 中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE＝∠ACE，图1求证： ∠BAE＝∠CAE．．证明：在△A
EB和△AEC中，∵EB=EC，∠ABE＝∠ACE，AE=AE∴△AEB≌△AEC．……第一步∴∠BAE＝∠CAE．……第二步问上
面证明过程是否正确，若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．【解析】上述证明是错误
的，实质上是利用“边边角”假定理．正确解法：由EB=EC，得∠EBD＝∠ECD．又由∠ABE＝∠ACE，得∠ABD＝∠ACD， 从
而得AB=AC，于是△AEB≌△AEC（SSS）．所以∠BAE＝∠CAE．结论判断型例2 如图2（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD
，AB＝CD，BC＝DE，（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．（2）．若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5
）的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请说明理由．? 图2【解析】：（1）AC⊥CE
，可证△ABC≌△CDE，得∠ACB＝∠E，∵∠ACB＋∠ECD＝∠E＋∠ECD＝90°，∴∠ACE＝180°－90°＝90°，∴
AC⊥CE．图（2）（3）（4）（5）四种情况，结论仍然成立，证明同上．条件补充型例3 如图3，在△ABC中，点D在AB上，点E在
BC上，BD＝BE．（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是：___________（2）根据
你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用
其他字母，不必写出证明过程）图3【解析】：（1）由已知条件及图形知，确定三角形全等的三个条件，已知给了一个，图形中隐含了一个∠AB
E=∠CBD（公共角），因此只需考虑 添加一个条件即可联想三角形全等的条件 ，知添加的条件是：∠BAE=∠BCD（满足AAS的条件
）或∠AEB=∠CDB（满足ASA的条件）或AE=CD（满足SSS的条件）；对于添加的条件是∠BAE=∠BCD的证明：在△BEA与
△BDC中．∵∠BAE=∠BCD，∠ABE=∠CBD（公共角），BD＝BE．∴△BEA≌△BDC（AAS）．（2）从形状和大小这两
个角度去找两个三角形，不难得出△ADC≌△AEC．对于本类试题，有助于考查汇聚思维的能力，让同学们殊途同归，起到归纳总结的作用．结
论开放型例4 已知如图4中（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE
于D，CE⊥AE于E，求证：（1）BD＝DE＋CE；（2）若直线AE绕A点旋转到（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与
DE、CE的关系如何?请予证明．（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时，（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系
如何?请直接写出结果，不须证明．（4）归纳（1），（2），（3），请用简捷语言表述BD，DE，CE的关系．图4【解析】：（1）∵B
D⊥AE，CE⊥AE（已知），∴∠BDA＝∠AEC＝90°（垂直定义）∵∠BAD＋∠CAE＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，∴
∠CAE＝∠ABD（同角的余角相等）在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE（全等三角形的对
应边相等）∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE，∴BD＝CE＋DE．（2）BD＝DE－CE，证明方法与（1）相同．（3）BD＝D
E－CE．（4）归纳（1）（2）（3）可知结论表述为：当B，C在AE异侧时，BD＝DE＋CE；当B，C在AE同侧时，BD＝DE－C
E；条件组合型例5 如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）图5AE
=AD；②AB=AC；③OB=OC； ④∠B=∠C．【解析】解答本题时，可选取以上三种情况中的一种即可，注意：已知两边和其中一边的
对角分别相等的两个三角形不一定全等．6．阅读材料型例6 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同
三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C
→A，及A1→B1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图6），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图
7），两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°（如图8），
下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ） 图6图7图8【解析】阅读理解题是近几年中考中的一道亮丽风景，通常给出一段
文字背景材料，或提供解答某一问题的全过程，或给出一部分新知识，要求考生在阅读的基础上，用归纳的方法从具体、特殊的事实中探究其存在的规律，把潜藏在表面现象中的本质挖掘出来，为解决后面的问题得启迪．结合上述提供镜面合同三角形的概念知应选Ｂ． |
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