巧用全等三角形证明线段相等五例三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具，而掌握三角形全等的判断方法，一方面可以培养同学们的逻辑推理能力，另
一方面又可以为今后的进一步学习作好准备。为帮助大家顺利掌握利用全等三角形证明线段相等的有关知识，现举几例供大家参考——（一）利用“
SAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等例1．如图①，已知点B是线段AC的中点，且有DB = EB，∠EBA=∠DBC. 试说明
AD=CE成立的理由。解：∵点B是线段AC的中点(已知)，∴AB=CB（线段中点的意义）.又∵∠EBA=∠DBC(已知)，∴∠DB
A=∠DBE＋∠EBA=∠DBE＋∠DBC=∠EBC.在△ABD和△CBE中：∴△ABD≌△CBE（SAS）.∴AD=CE（全等三
角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”）。（二）利用“A
SA”判定两三角形全等，从而得到线段相等例2．如图②，已知∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA，试说明AC=DB成立的理由。解：
∵∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA (已知).∴∠ABC－∠ABD =∠DCB－∠DCA（等式的性质），即∠DBC＝∠ACB
.在△ABC和△DCB中：∴△ABC≌△DCB（ASA）.∴AC=DB（全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有两个
角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称为“角边角”）。（三）利用“AAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等例3．如图③
，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC。过点C作一条射线CE⊥AE于E，再过点B作BD⊥CE于D.试说明AE=CD成立的
理由。解：∵∠ACB=90°(已知)，∴∠2＋∠3=90°.又∵CE⊥AE，BD⊥CE(已知)，∴∠AEC=∠CDB=90°（垂直
的意义）.∴∠1＋∠2=90°，∴∠1=∠3（等式的性质）.在△ACE和△CBD中：∴△ACE≌△CBD（AAS）.∴AE=CD（
全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称为“角角边”）。（四）
利用“HL”判定两直角三角形全等，从而得到线段相等例4．如图④，已知△ABC是等腰三角形，BD、CE 分别是△ABC两腰上的高线，
试说明BE=CD成立的理由。解：∵△ABC是等腰三角形(已知)，∴AB=AC（等腰三角形两腰相等）.又∵（已知），∴CE=BD（等
式的性质）.在Rt△BCE和Rt△CBD中：∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）.∴AE=CD（全等三角形的对应边相等）.评注：本
例的解题依据是——有斜边和其中一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称为“斜边直角边”）。（五）综合运用多次全等，也能得到线段
相等例5．如图⑤，已知AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的任一点.试说明BE=CE成立的理由。解：在△ABD和△ACD中：
∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等），∴∠BDE=180°－∠ADB=180°－∠ADC
=∠CDE.在△BDE和△CDE中：∴△BDE≌△CDE（SAS）.∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）.评注：用三角形全等来证
明线段相等，如果直接全等不能得证，则一般可以考虑进行多次全等。※两点说明：1、当待证线段所处的图形与线段的中垂线有关时，一般可利用
线段中垂线的性质（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）直接得出两线段相等。例6．已知如图⑥，△ABC中，AB=AC，BE=CE
，D是AE上任一点.试说明DB=DC成立的理由。解：∵AB=AC，BE=CE（已知），∴AE是等腰△ABC的底边BC的中垂线（等腰
三角形三线合一）.又∵点D在AE上（已知），∴DB=DC（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）.评注：本例如果先判定△ABE≌
△ACE，然后再去判定△BDE≌△CDE或△ABD≌△ACD，则问题也能得解，但相对而言，利用线段中垂线的性质直接得到线段相等显然
要简单得多。2、当待证线段所处的图形与角平分线有关时，一般可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出两线段相
等。例7．已知如图⑦，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试说明DE=DF成立的理由。解：∵
∠B=∠C，AD⊥BC（已知），∴AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）. 又 ∵点D在AD上，且DE⊥A
B，DF⊥AC（已知）， ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.评注：与上例一样，本例也可以先判定△ADB≌△ADC，然后再去判定△BDE≌△CDF或△ADE≌△ADF，但是相比较而言，利用线段中垂线的性质直接得到线段相等显然要简单得多。 |
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