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北师大数学七年级下注意全等三角形的构造方法 |
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注意全等三角形的构造方法搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等 量代换,就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考. 1.截长补短法ABCDFEG图(1)例1.如图(1)已知 :正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,求证:AB+BE=AC.解法(一)(补短法或补全法)延长AB至F使AF=AC,由已 知△AEF≌△AEC,∴∠F=∠ACE=45o,∴BF=BE,∴AB+BE=AB+BF=AF=AC.解法(二)(截长法或分割法)在 AC上截取AG=AB,由已知ABE≌△AGE,∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o, ∴CG=EG,∴AB+BE =AG+CG=AC. 2.平行线法(或平移法) 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt△,有时可作出斜边的中线. 例 2.△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q, 求证:AB+BP=BQ+A Q(全国初中数学赛题 ).证明:如图(1),过O作OD∥BC交AB于D,∴∠ADO=∠ABCABCPQDO=180°-60°-40 °=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO,又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,∴△ADO≌△AQO, ∴OD=OQ,AD=AQ,又∵OD∥BP,∴∠PBO=∠DOB,又∵∠PBO=∠DBO,∴∠DBO=∠DOB,∴BD=OD,∴AB +BP=AD+DB+BPOABCPQD图(2)ABCPQDE图(3)O=AQ+OQ+BO=AQ+BQ.说明:⑴本题也可以在AB截取 AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”.⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下:如图(2),过O作OD∥BC交AC 于D,则△ADO≌△ABO来解决.ABCPQ图(4)DO如图(3),过O作DE∥BC交AB于D,交AC于E,则△ADO≌△AQO, △ABO≌△AEO来解决.如图(4),过P作PD∥BQ交AB的延长线于D,则△APD≌△APC来解决.ABCPQ图(5)DO ④ 如图(5),过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP来解决.(本题作平行线的方法还很多,感兴趣的同学自己研究). 3. 旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。例3.已知:如图(6),P为△ABC内一点,且PA=3 ,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.ABCPD分析:直接求∠APB的度数,不易求,由PA=3,PB=4,PC=5,联想到构造直 角三角形.略解:将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△ACD,连接PD,则△BAP≌△ADC,∴DC=BP=4,∵AP=AD,∠ PAD=60°,又∵PC=5,PD+DC=PC 图(6)∴△PDC为Rt△, ∠PDC=90o∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠P DC=60°+90o=150o. 4.倍长中线法题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内 。 例4.如图(7)AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE.求证:AC=BFEABCDFH证明:延长AD至 H使DH=AD,连BH,∵BD=CD,∠BDH=∠ADC,DH=DA,∴△BDH≌△CDA,∴BH=CA,∠H=∠DAC,又∵AE =EF,∴∠DAC=∠AFE,∵∠AFE=∠BFD,∴∠AFE= 图(7)∠BFD=∠DA C=∠H,∴BF=BH,∴AC=BF.5.翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的,可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等 三角形.例5.如图(8)已知:在△ABC中,∠A=45o, AD⊥BC,若BD=3,DC=2,求:△ABC的面积.解:以AB为轴将 △ABD翻转180o,得到与它全等ABCDEGF的△ABE,以AC为轴将△ADC翻转180o,得到与它全等的△AFC,EB、FC延 长线交于G,易证四边形AEGF是正方形,设它的边长为x,则BG=x-3,CG=x-2,在Rt△BGC中,(x-3)+(x-2)=5.解得x=6,则AD=6,∴S△ABC=×5×6=15. 图(8) |
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