1 简谐运动一、弹簧振子1.平衡位置：振子原来静止时的位置.2.机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.3.弹簧振子：小球和弹簧构
成的系统.二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)1.用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，
描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x－t图象，如图1所示.图12.振子的位移：振子相对平衡位置的位移.三、简谐运动及其图象简
谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.一、弹簧振子如图所示的装置，把小球向
右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动.(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？(2)
在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球
的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？1.平衡位置：振子原来静止时的位置.平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体
经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动). 图3 图42.弹簧振子是一种理想化模型.实际物体可看成弹簧
振子的条件：(1)不计摩擦阻力和空气阻力.(2)不计弹簧的质量.(3)物体可视为质点.(4)弹簧的形变在弹性限度内.3.弹簧振子的
振动分析(1)位移及其变化位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当
振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小.(2)速度及其变化振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大
位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大.(3)加速度及其变化水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力
，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力.不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度
为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大.例1 (多选)在图5中，当振子由A向平衡位置O运动时，下列说法正确的是( )图5
A.振子的位移变小B.振子的运动方向向左C.振子的位移方向向左D.振子的位移变大例2 如图6所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在M
N间振动，O是平衡位置.关于小球的运动情况，下列描述正确的是( )图6A.小球经过O点时速度为零B.小球经过M点与N点时有相同的
加速度C.小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大D.小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小[学科素养] 以上两
题考查了弹簧振子在振动过程中位移、速度、加速度的变化规律，在位移为零处，即平衡位置，加速度为零，速度最大；在最大位移处，速度为零，
加速度最大.通过解题，让物理概念和规律在头脑中得到提炼和升华，体现了“物理观念”与“科学思维”的学科素养.二、简谐运动及其图象1.
对x－t图象的理解x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律.注意 x
－t图象不是振子的运动轨迹.2.简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.3
.x－t图象的应用(1)可直接读出不同时刻t的位移x值.位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所
示.(2)判断任意时刻质点的振动方向.看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x
方向运动.甲 乙图7(3)速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断.图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，
斜率的正负表示运动的方向.在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移
处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大.例3 如图8甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向
为正方向，试根据图象分析以下问题：甲 乙图8(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置
开始，振子向________(填“右”或“左”)运动.(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？
即O对应________，A对应______，B对应________，C对应________，D对应________.(3)在t＝
2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度方向________；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是_____________
_______.(4)振子在前4 s内的位移等于________.例4 (2016·北京卷)如图9所示，弹簧振子在M、N之间做简谐
运动.以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向.若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为( )图92 简谐运动的描述一、
描述简谐运动的物理量1.振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离.2.全振动(如图1所示)图1类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动
过程.3.周期和频率(1)周期①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间.②单位：国际单位是秒(s).(2)频率①定义：单
位时间内完成全振动的次数.②单位：赫兹(Hz).(3)T和f的关系：T＝.4.相位描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.二、简谐
运动的表达式简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ).1.x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间.2.A表示简谐运动
的振幅.3.ω叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf(与周期T和频率f的关系).4.ωt＋φ代表简谐运动的相位
，φ表示t＝0时的相位，叫做初相位(或初相).5.相位差若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(
ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.一、描述简谐运动的物理量如图所示为理想弹簧振子，O点为它
的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称.(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？(2)先后将振子拉
到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？1.对全振动的理解(1)全
振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动.(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x)、加
速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.②时间特征：历时一个周期.③路程特征：振幅的4倍.④相位特征：增加2π.2.对
周期和频率的理解(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝，即周期越大，频率越小，振动越慢.(2)一个振动系统的
周期、频率由振动系统决定，与振幅无关.3.对振幅的理解(1)振动物体离开平衡位置的最大距离.(2)振幅与位移的区别①振幅等于最大位
移的数值.②对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的.③位移是矢量，振幅是标量.(3)路程与振幅的关系①振动
物体在一个周期内的路程为四个振幅.②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅.③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅.例1 如图
2所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求
：图2(1)振子振动的振幅、周期和频率；(2)振子由A到O的时间；(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小.例2 (
多选)(2018·嘉兴市高二第一学期期末)如图3所示为一质点的振动图象，曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是( )图3A.
该振动为简谐振动B.该振动的振幅为10 cmC.质点在前0.12 s内通过的路程为20 cmD.0.04 s末，质点的振动方向沿x
轴负方向答案 AD解析 该图象表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐振动，故A正确；由题图可知该振动的振幅为5 cm，故B错
误；由题图可知质点振动的周期为0.08 s，0.12 s＝1T，质点通过的路程为6A＝30 cm，故C错误；根据振动规律可知，0.
04 s末质点的振动方向沿x轴负方向，故D正确.二、简谐运动表达式的理解2.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性
.当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.3.从表达式x＝Asi
n (ωt＋φ)体会特殊点的值.当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，s
in (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.例3 (多选)一弹簧振子A的位
移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则( )A.弹簧振子的振幅为0.2
mB.弹簧振子的周期为1.25 sC.在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝
0.2sin (2.5πt＋)，则A滞后B三、简谐运动的周期性和对称性如图4所示图4(1)时间的对称①物体来回通过相同两点间的时间
相等，即tDB＝tBD.②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝t
OC＝tCO.(2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反.②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)
时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反.(3)位移的对称①物体经过同一点(如C点)时，位移相同.②物体经过关于O点对称的两点(
如C与D)时，位移大小相等、方向相反.例4 如图5所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O
、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v，已知B、C
之间的距离为25 cm.图5(1)求弹簧振子的振幅A；(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f.1.(描述简谐运动的物理量)(多选)一
个质点做简谐运动的图象如图6所示，下列叙述中正确的是( )图6A.质点的振动频率为4 HzB.在10 s内质点经过的路程为20
cmC.在5 s末，质点做简谐运动的相位为πD.t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm2.(简谐运动的
表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin(8πt＋π) cm的规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2
)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差.3.(简谐运动的分析)如图7所示为A、B两个简谐运动的位
移—时间图象.请根据图象回答：图7(1)A的振幅是______ cm，周期是________ s；B的振幅是______cm，周期
是______s.(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？4.(简谐运
动的周期性和对称性)如图8所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1 s，过b点后再经t′
＝1 s质点第一次反向通过b点.O点为平衡位置，若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅.图83 简谐运
动的回复力和能量一、简谐运动的回复力1.简谐运动如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动
就是简谐运动.2.回复力(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力.(2)方向：总是指向平衡位置.(3)表达式：F＝－kx.二、简谐运
动的能量1.能量转化弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程.(1)在最大位移处，势能最大，动能为零.(2)在平衡位置处，动
能最大，势能最小.2.能量特点在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型
.一、简谐运动的回复力如图所示为一个水平方向的弹簧振子模型(水平杆光滑)，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x.(1
)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？(3)除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在O、
A、B点还受到回复力的作用吗？回复力有什么特点？1.回复力(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置.(2)
回复力的性质回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受
力时不能再加上回复力.例如：如图2甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当
回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供.图22.回复力公式：F＝－kx(1)k是比例系数，其值由振动系统决定
，与振幅无关.只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数.(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反.3
.简谐运动的加速度由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反.4.物体做简
谐运动的判断方法(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；(2)简谐运动的振动图象是正弦曲线.例1 (多选)如图3所示，弹簧振子在光滑
水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是( )图3A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B.弹簧振子运动过
程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平
衡位置二、简谐运动的能量如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动.(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性
势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大
？(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？1.简谐运动
中，振动系统的动能和势能相互转化，平衡位置处动能最大，势能最小；最大位移处动能为零，势能最大，但总的机械能不变.2.对于同一个振动
系统，振幅越大，振动的能量越大.3.简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动.例2 如图4所示，一水平弹
簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.图4(1)简谐运动的能量取决于______，振子振动时动能和____
__相互转化，总机械能______.(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________.A.振子在平衡位置，动能最大，弹性
势能最小B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D.在任意时刻，动
能与弹性势能之和保持不变(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是__
______.A.振幅不变 B.振幅减小 C.最大动能不变 D.最大动能减小三、简谐运动中各物理量的变化1.如图5所示为水平的
弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如表所示.图5振子的运动A→OO→A′A′→OO→A位移方向向右向左向左向右大小减
小增大减小增大回复力方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大加速度方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大速度方向向左向左向右向右
大小增大减小增大减小振子的动能增大减小增大减小弹簧的势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变2.说明：(1)简谐运动中各个物
理量对应关系不同.位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同.(2)简谐运动中的最大位移处
，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大.(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和
动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大.例3 (2018·金华市十校高二上学期期末联考)如图6甲所示，弹簧
振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动.取向右为正方向，振子的位移x与时间t的关系图象如图乙所示，下列说法正确的是(
)图6A.t＝0.8 s时，振子的速度方向向右B.t＝0.2 s时， 振子在O点右侧6 cm处C.t＝0.4 s和t＝1.2 s时
，振子的加速度相同D.从t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的动能逐渐增大例4 如图7所示，平台沿竖直方向做简谐运动，一物
体置于振动平台上始终随平台振动，两者保持相对静止.以下说法正确的是( )图7A.振动平台位于最高点时，物体对平台的压力最大B.振
动平台位于最低点时，物体对平台的压力最大C.物体速度最大时，对平台的压力最大D.物体加速度最大时，对平台的压力最大1.(简谐运动的
回复力)(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是( )A.简谐运动的回复力不可能是恒力B.做简谐运动的物体的加速度方向与位
移方向总是相反C.简谐运动中回复力的公式为F＝－kx，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置合
力一定为零2.(简谐运动中各物理量的变化)(2018·诸暨牌头中学高二上学期期中)如图8所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象，则下列说法正确的是( )图8A.任意时刻，甲振子的位移都比乙振子的位移大B.t＝0时，甲、乙两振子的振动方向相反C.前2 s内，甲、乙两振子的加速度均为正值D.第2 s末，甲的加速度达到其最大值，乙的速度达到其最大值3.(简谐运动的能量)(2018·沈阳市郊联体高二上学期期末)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图9所示，下列结论正确的是( )图9A.小球在O位置时，动能最小，加速度最小B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大C.小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功D.小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小4.(简谐运动的表达式及各物理量的变化)如图10所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：图10(1)写出该振子简谐运动的表达式；(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子前100 s的总位移是多少？路程是多少？ |
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