八年级数学·下 新课标[北师]第一章 三角形的证明 2 直角三角形（第2课时）问题思考3.有两条边及其中一条边
的对角对应相等的两个三角形全等吗?如果其中一个角是直角呢?请证明你的结论.1.判定两个三角形全等的方法有哪些?2.已知一条直角边和
斜边,求作一个直角三角形.想一想,怎么画?同学们相互交流.求作直角三角形已知:如图所示,线段a,c(a ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c.(1)作∠MCN=∠α=90°.(2)在射线CM上截取CB=a.(3)以点B为圆心,线段
c的长为半径作弧,交射线CN于点A.(4)连接AB,得到Rt△ABC.斜边、直角边定理定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角
形全等. 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.已知:如图所示,在△ABC和△A''B''C''中,∠C=∠C''=90°,AB=
A''B'',AC=A''C''.求证△ABC≌△A''B''C''.证明:在△ABC中,∵∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理,B''C''2=A''B''2-A''C''2 .∵AB=A''B'',AC=A''C'',∴BC=B''C''.∴△ABC≌△A''B''C''(SSS
).(教材例题)如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大
小有什么关系? 解:根据题意,可知:∠BAC=∠EDF=90°,BC= EF,AC=DF,∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).∴
∠B=∠DEF(全等三角形的对应角相等).∵∠DEF+∠F=90° (直角三角形的两锐角互余).∴∠B+∠F=90° .[知识拓展
] “斜边、直角边”定理的应用.如图所示,已知△ABC≌△A''B''C'',CD,C''D''分别是高,并且AC=A''C'',CD=C''D''
,∠ACB=∠A''C''B''.求证△ABC≌△A''B''C''.〔解析〕 要证△ABC≌△A''B''C'',由已知中找到一组边AC=A''C''
,一组角∠ACB=∠A''C''B''.如果寻求∠A=∠A'',就可用“ASA”证明全等.证明:∵CD,C''D''分别是△ABC和△A''B''
C''的高(已知),∴∠ADC=∠A''D''C''=90°.在Rt△ADC和Rt△A''D''C''中,AC=A''C''(已知),CD=C''D''
(已知),∴Rt△ADC≌Rt△A''D''C''(HL).∴∠A=∠A''(全等三角形的对应角相等).在△ABC和△A''B''C''中,∠A
=∠A''(已证),AC=A''C''(已知),∠ACB=∠A''C''B''(已知),∴△ABC≌△A''B''C''(ASA).1.下列条件中能
判定两个直角三角形全等的有 ( )①有两条直角边对应相等;②有两个锐角对应相等;③有斜边和一条直角边对应相等;④有一条直角边和一
个锐角对应相等;⑤有斜边和一个锐角对应相等;⑥有两条边相等.A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 B2.如图所示,已知AB=A
D,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是 ( )A.CB=CD B.∠BAC=∠
DACC.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D =90°解析:添加CB=CD,根据“SSS”能判定△ABC≌△ADC;添加∠BAC=
∠DAC,根据“SAS”能判定△ABC≌△ADC;添加∠B=∠D=90°,根据“HL”能判定△ABC≌△ADC.故选C.C3.如图
所示,AB∥EF∥DC,∠ABC=90° ,AB=DC,那么图中共有全等三角形 ( )A.5对 B.4对 C.3对 D.2对解
析:图中存在的全等三角形有△ABC≌△DCB,△ABE≌△DCE,△BFE≌△CFE.故选C.C4.如图所示,长方形ABCD中,E
为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD,DF,则图中全等的直角三角形共有 ( )A.3对 B.4对
C.5对 D.6对B5.如图所示,AE=CF,AB∥DC,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中共有 对全等三角
形,分别是
.?△ABE≌△CDF,△ADE≌△CBF,△ABD≌△CDB36.如图所示,△A
BC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件: ,若加条件∠B=∠C,则可用
判定.?AB=AC AAS7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1
)所示),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分
别为S1,S2,S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3= .?解析:如图(3)所示,设AH=a,HD=b(不妨
设a>b>0),则AD=a+b,根据三角形全等可得AE=HT=HD=b,HM=HA=a,∴TM=HM-HT= a-b.∵∠A=90
°,∴EH2=AH2+AE2=a2+b2=22 =4.∴S1+S2+S3=AD2+EH2+TM2= (a+b)2 +(a2 +b2
)+ (a-b)2 =3 (a2 +b2)=3×4=12.故填12.128.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别过点
C,B作AD及其延长线的垂线,垂足分别为点F,E.求证BE=CF.证明:在△ABC中,∵AD是中线,∴BD=CD.∵CF⊥AD,BE⊥AD,∴∠CFD=∠BED=90°.∵∠BDE=∠CDF,∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF. |
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