八年级数学·下 新课标[北师]第一章 三角形的证明 3 线段垂直平分线（第2课时）问题思考 利用尺规
作三角形三条边的垂直平分线,当作完图时你发现了什么? 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
请同学们剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线,你是否发现同样的结论?与同伴交流.我们用眼睛观察
到的,一定是真的吗?我们还需要用公理和已学过的定理进行推理证明,这样才更有意义”. (教材例2)求证:三角形三条边的垂直平分线
相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.已知:如图所示,在△ABC中,边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证:
边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC.证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点的距离相等).同理,PB=PC.∴PA=PB=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上),即边AC的垂直平分线经过点P.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.已知
：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都
全等． 几个尺规作图的讲解【问题】 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗?如果能,能画出几个?所画出
的三角形都全等吗? 问题(2) 已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形
都全等吗? 这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，
取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等．
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.作法：1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点
； 4．连接AB、AC. ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示）.问题（3) 已知等腰三
角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗?“做一做”和“议一议”:已知直线l和l(外)上一点P，用尺规作l
的垂线,使它经过点P.3.作直线PC.则PC⊥直线l.情形一:点P在直线l上(如图所示).1.以点P为圆心,任意长为半径画弧交l于
两点A和B.2.分别以点A,B为圆心,大于 AB的长为半径画弧交于点C.lABCP3.作直线PC.则PC⊥直线l.情形二:点
P在直线l外(如图所示).1.在l的另一侧取点K,以点P为圆心,PK长为半径画弧,交l于两点A和B.2.分别以A,B为圆心,大于
AB的长为半径画弧交于点C.lABCKP1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,
则线段PB的长度为 ( )A.6 B.5 C.4 D.3解析:由直线CD是线段AB的垂直平分线,得PB=
PA,因为PA=5,所以PB=5.故选B.B解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠A=20°,∴∠ABC=80°.再根据线段垂
直平分线的性质可知AE=BE,即∠A=∠ABE=20°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.故选C.2.如图所
示,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于 ( )A
.80° B.70° C.60° D.50°C解析:根据线段垂直平分线的性质,得AE=BE,根据等边对等角,得∠BAE=∠
B=30°.根据直角三角形的两个锐角互余,得∠BAC=60°,则∠CAE=∠BAE=30°,即∠CAE=∠B.由题意易知△ACE≌
△BDE,所以CE=DE.故选B.3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交
BC于点E,则下列结论不正确的是 ( )A.AE=BE B.AC=BEC.CE=DE D.∠CAE=∠BB4.如图所示,在△AB
C中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为 .?解析:由ED垂直平分BC,得BE=CE,∠EDB=90°.由直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么其所对的直角边等于斜边的一半,得BE=6,即EC=6.故填6.6 |
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