八年级数学·下 新课标[北师]第一章 三角形的证明 4 角平分线（第2课时）问题思考 如图所示,某校园内有一块
由三条路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭给师生小憩 ,使小亭中心到三条路的距离相等,请你确定小亭中心的位置.(不写作法,保留
作图痕迹)(教材例2)求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.已知:如图所示,在△ABC中,角平分线B
M与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F.求证:∠A的平分线经过点P,且PD=PE=P
F.证明:∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E.∴PD=PE(角平分线上的点到这个
角的两边的距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).即∠BAC的平分线经过点P.比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理:(教材例3)如图所示,在△A
BC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)已知CD=4 cm,求AC的长; (2
)求证AB=AC+CD.〔解析〕 求AC的长可转化为求BC的长,而BC=CD+DB,CD=4 cm,求出DB的长即可.要证AB=A
C+CD,转化为证明AB=AE+BE,所以需证AC=AE,CD=BE.解:(1)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB
,垂足为E,∴DE=CD=4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∵AC=BC,∴∠B=∠BAC(等边对等角).∵∠C
=90°,∴∠B= ×90°=45°.∴∠BDE=90°-45°=45°.∴BE=DE(等角对等边).在等腰直角三角形BDE中
, BD= cm,∴AC=BC=CD+BD=(4+4 )c
m. (2)求证AB=AC+CD.证明:(2)由(1)的求解过程易知,Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE(全等三角
形的对应边相等).∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.[知识拓展] 莫莱定理:如图所示,在三角形ABC中,设分别接
近于三边BC,CA,AB的各内角的三等分线相交于D,E,F,则△DEF是一个等边三角形.1.如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA
于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是 ( )A.PC>PD B.PC=PDC.PC ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若BC=10，BD∶CD=3∶2，则点D到AB的距离是 ( )A.4 B.6 C.8 D
.10解析:根据角平分线性质可知点D到AB的距离与CD相等.由BD∶CD=3∶2,BC=10,解得CD=4.故选A.A3.在△AB
C中，∠C=90°，E是AB边的中点，BD是角平分线交AC于D，且DE⊥AB，则 ( )A.BC>AE B. BC=AE
C. BC 3 cm,那么PE= .?3 cm5.如图所示，DB⊥AB，DC⊥A C，BD=DC，∠BAC=80°，则∠BAD=
,∠CDA= .?40°50°解析：根据“HL”定理可证Rt △ABD ≌ Rt△ACD,可以得出∠BAD= ∠CAD=40 °，在Rt△ACD中， ∠CDA=90°-40°=50 °. |
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