1 等腰三 角形第3课时 一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.你认为有一个角是600的
等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？命题的证明定理:有一个角是600的等
腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),∴∠C=∠B=600.(等边对等角).∴∠A=600(三角形内角
和定理).∴∠A=∠B（等式性质）. ∴ AC=CB（等角对等边）.∴AB=BC=AC（等式性质）.∴ △ABC是等边三角形.已知
:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=600.求证:△ABC是等边三角形.几何的三种语言定理:有一个角是600的等腰三角形是等边
三角形.在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).这又
是一个判定等边三角形的根据.命题的证明定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B (已知), ∴ BC=A
C(等角对等边). 又∵∠B=∠C(已知), ∴ AB=AC(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质)
. ∴ △ABC是等边三角形.已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求证:△ABC是等边三角形.几何的三种语言定理:
三个角都相等的三角形是等边三角形.在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角
形).这又是一个判定等边三角形的根据.命题的猜想操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？结论
:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你想到，在直角三角形中, 300
角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？命题的证明定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半
.在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知),∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).又∵ ∠ACB=900(已知),
∴∠ACD=900(平角定义).在△ABC与△ADC中∵BC=DC（作图）, ∠ACB=∠ACD（已证）,AC=AC（公共边）,∴
△ABC≌△ADC（SAS）, ∴AB=AD.∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)∴BC= BD=
AB(等式性质).已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300.求证:BC= AB.证明:如图, 延长BC至D,使CD
=BC,连接AD.几何的三种语言这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据.定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所
对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300.∴BC= AB(在直角三角形中, 300角所对的直角边等
于斜边的一半).学无止境分析:如图,在△ABC中AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,CD⊥AB于D.求:CD=?解:∵∠B=
∠ACB=150(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和其不相邻的两内角的和).∴
CD= AC= ×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).例2.已知:如图,等腰
三角形的底角为150,腰长为2a.求:腰上的高.含300角的直角三角形1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300
,CD⊥AB于D.求证:BD= AB.分析:因为∠A=300,所以BC= AB.要证明BD= AB,只要能使BD
= BC即可,此时若∠BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得. 你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?2
.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.(1)求证:AB=AC;(2)试在
图中标出各个角的度数;(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.胜利属于敢想敢干的人！你能与同学们交流探索证题的全过程吗?反过来怎么
样——逆向思维命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300 ，是真命题吗?如果是,请你证明它.
已知:如图,在△ABC中，∠ACB=900,BC= AB.求证:∠A=300.反过来怎么样——逆向思维在△ABD中,∵∠ACB=9
00(已知), CD=BC，∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).又∵BC= AB(已知), BC=
BD(作图),∴AB=BD(等量代换).∴AB=BD=AD(等式性质）.∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义).∴∠B=600(
等边三角形意义).∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.回味无穷等边三角形的
判定:定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.特殊的直角三角形的性质:定理:在直角
三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对
的锐角等于300.老师提醒:反证法你还认识吗?习题1.41.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,
E.求证: △ADE是等边三角形. 证明1:∵△ABC等边三角形(已知),∴ ∠A＝∠B=∠C＝600 . 又∵ DE∥BC(已知
), ∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600 (两直线平行,同位角相等). ∴ ∠A =∠1=∠2(等量代换). ∴ △AD
E是等边三角形 (三个角相等的三角形是等边三角形). 习题1.4 2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=7
.4m,点D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E.求:BC,DE的长. 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m(已知),∴
BC= AB=7.4÷2＝3.7(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半), 又∵ AD=
AB=7.4÷2＝3.7(中点意义), ∴ DE= AD=3.7÷2＝1.85(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那
么它所对的直角边等于斜边的一半). 答:BC=3.7m,DE=1.85m. 老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的
关系要作为常识去认可. 习题1.4 3.（1）如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的△DEF,
△DEF是等边三角形吗?你还能找到其他的等边三角形吗?点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点吗？请证明你的结论.（2）如果△DE
F是等边三角形，点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点，那么△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论.习题1.4 答:(1)△DE
F是等边三角形△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形.点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点.证明:∵△ABC是等边三角形(
已知), 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知), ∴∠E＝600(三角形内角和定理). 同理,∠D=600,∠F＝600. ∴
∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600 ).3∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等). 5∴ ∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换). ∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形). 其余的结论请同学们来证明.结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则. |
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