第一章 三角形的证明证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题
设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程。角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P
在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).AOCBPDE1.角平分
线的性质定理. 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E，且
PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).2.角平分线的性质的逆
定理.已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,
使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.3.作射线OC. 则射线OC就是∠
AOB的平分线.作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相
等． 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 结论:三角形三个角
的平分线相交于一点.点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可。命题:三角形三个角的平分线相交于
一点，并且这一点到三条边的距离相等。已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥B
C，其中D、E、F是垂足。求证： ∠A的角平分线经过 点P，且PD=PE=PF．证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P
在BM上∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等.)同理：PE=PF．∴PD=PF=PE．∴点P在∠A的平分线上(在一个
角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.)即 ∠A的角平分线经过定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).老师提示:这又是
一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.例.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的
角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.老师期望:你能正确地解答并规范地写
出其过程. 完成后与同学交流一下。 如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是
否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?老师提示:三角形一个内角和
与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有三个。定 理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 逆
定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上.定 理: 三角形的三条角平分线相交于一点
,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC
的角平分线. 求证:BD=2CD. 2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角 平分线相交于点
F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. 3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线. |
|
