八年级数学·下 新课标[北师]第六章 平行四边形 3 三角形的中位线问题思考如图所示,A,B两地被池塘隔开,小
明通过下面的方法估测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并步测出MN的长,由此他就知道了A,
B间的距离.你能说说其中的道理吗?三角形中位线的定义和性质连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.方法一:度量.(1)画图:画
△ABC及△ABC的中位线DE.(D,E分别在AB,AC上)(2)度量:用量角器测角度:∠ADE= ,∠B= ;用直尺
测长度:DE= ,BC= .?(3)结论:DE与BC的位置关系:DE BC;DE与BC的数量关系:DE B
C.?三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.方法二:旋转拼图. 如图(1)所示,先对折得到AB的
中点D,AC的中点E.过点D作DF⊥BC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADH;同样过点E作EG⊥BC,把△CEG绕点E
逆时针旋转180°得到△AEM,形成长方形HFGM.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半. 如图(2)所示,先
对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF∥AC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADG,形成平行四边形AGFC.从
而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.方法三:几何证明.
已知:如图(1)所示,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE= BC.证明:如图(2)所示,延长DE到F,使EF=D
E,连接CF.在△ADE和△CFE中,∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE,∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECF,AD=CF.∴
CF∥AB.∵BD=AD,∴CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF∥BC,DF=BC.∴DE∥BC,DE= BC.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.议一议顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形有什么特点?已知:
如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.证明的方法实际上
并不难.证明思路是:作原四边形的一条对角线,利用三角形中位线定理证明新四边形的一组对边平行且相等.已知四条线段的中点,可设法应用三
角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造“三
角形的中位线”的基本图形.1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE= 60°,则∠C的度
数为( ) A.50° B.60°C.70° D.80°解析:在△ADE中,利用三角形内角和定理求出∠AED=180°-∠A-∠
ADE=70°,∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED=70°.故选C.C2.
已知△ABC的周长为50 cm,D,E,F分别为△ABC中AB,BC,AC边的中点,且DE=8 cm.EF=10 cm,则DF的长
为 cm.?解析:由三角形中位线定理可知:AC=2DE=16 cm.AB=2EF=20 cm,所以BC=50-16-20=
14 (cm),根据三角形中位线定理可得:DF= BC=7 cm.故填7.73.如图所示,已知E为平行四边形ABCD中DC边
延长线上的点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于F,G,连接AC交BD于O,连接OF,求证:(1)AF=EF;(2)DE=4
OF.证明:(1)如图所示,连接BE,易知CE??AB,∴四边形ABEC为平行四边形.∴AF=EF.(2)由(1)知BF=FC,∵OA=OC,∴OF为△ABC的中位线,∴OF= AB, ∴DE=2AB=4OF. |
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