二0二三年东营市初中学生学业考试
数 学 模拟试 题
（总分120分 考试时间120分钟）
注意事项：
1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页．
2. 数学试题答案卡共8页．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目等涂写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．
3. 第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上.
4. 考试时，不允许使用科学计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．﹣2的倒数为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场成功发射“嫦娥五号”探测器，实现人类航天史上第一次在38万公里外的月球轨道上进行了无人交会对接，将数据38万公里用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×107米 B．38×107米 C．3.8×108米 D．0.38×109米
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，AD∥BC，则∠DAC大小为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．已知点A（a，b）和点B（a+1，b''）都在正比例函数y＝3x图象上，则b''﹣b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
5．下列各图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 B．a2+a2＝a4
C．a2?a3＝a6 D．（xy2）2＝x2y4
7．关于x的方程﹣1＝的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4
8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②3a+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF＝；④△ABF的面积为．其中一定成立的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共８小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11．分解因式：2a2﹣ab＝ ．
12．在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．
13．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是 ．
14．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
15．如图，直线y＝﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是 ．
16．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B''处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB''上的点C''处，EF为折痕，连接AC''．若CF＝3，则tan∠B''AC′＝ ．
17．在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P是AB边上一点，连接CP．沿CP把Rt△ABC纸片裁开，要使△ACP是等腰三角形，那么AP的长度是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3…以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19． (本题满分7分，第⑴题3分，第⑵题4分)
⑴．计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1
⑵．先化简，再求值：（m+2+），其中m＝﹣4+．
20(本题满分8分)．东营某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21．(本题满分8分)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
22.(本题满分8分)如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
．
23. (本题满分8分）东营市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求甲种树苗数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？
24.(本题满分11分) 如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
25．(本题满分12分) 【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；
【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；
【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝，直接写出△BDC的面积为 ．
二0二一年东营市初中学生学业考试
数 学 模拟试 题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．B．2．C．3．D．4．C．5．D．6．D．7．C．8．B．9．C．10．C．
二．填空题（共8小题）
11． a（2a﹣b） ．
12．．
13 m＝4 ．
14．
15．．
16．．
17．6，5或．
18（﹣21011，﹣21011）．
三．解答题（共8小题）
19．（1）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1
【解答】解：原式＝1+﹣2×+4
＝1+﹣+4
＝5．
19（2）．先化简，再求值：（m+2+），其中m＝﹣4+．
【解答】解：（m+2+）
＝
＝
＝m+1，
当m＝﹣4+时，原式＝﹣4++1＝﹣3+．
20．
【解答】解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：
（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
21．
【解答】（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，
∴∠ADP＝∠BAD，
∴DP∥AB；
（2）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵DP∥AB，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，
∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD，PC＝PD，
∵PC＝PA+AC，
∴PD+6＝PD，
解得：PD＝．
22．
【解答】解：（1）∵∠MAC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
又∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，
∴∠ABC＝119°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，∠PBC＝59°，
∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，
又∵tan31°＝0.60，
∴，
设BP为x海里，
则AP＝海里，CP＝海里，
∴，
解得：x≈57，
∵57＞50，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
23.【解答】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元．依题意得：
，
解这个方程组得：，
答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；
（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意得，
，
解得，200≤a≤400．
∴甲种树苗数量a的取值范围是200≤a≤400．
（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，
∴W＝60a+100（500﹣a）＝50000﹣40a．
∵﹣40＜0，
∴W值随a值的增大而减小，
∵200≤a≤400，
∴当a＝400时，W取最小值，最小值为50000﹣40×400＝34000元．
即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．
24．如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c经过A（0，1），B（﹣9，10），
∴，
解得b＝2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2+2x+1，
故答案为：y＝x2+2x+1；
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，1），B（﹣9，10）代入得：，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴AB解析式为y＝﹣x+1，
由x2+2x+1＝1解得x1＝0，x2＝﹣6，
∴C（﹣6，1），AC＝6，
∵P在AC下方抛物线上，设P（t，t2+2t+1），
∴﹣6＜t＜0
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E，
∴E（t，﹣t+1），
∴EP＝（﹣t+1）﹣（t2+2t+1）＝﹣t2﹣3t，
而四边形AECP的面积S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC＝AC?EF+AC?PF＝AC?EP，
∴S四边形AECP＝×6×（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣9t＝﹣（t+）2+，
∵﹣6＜﹣＜0，
∴t＝﹣时，S四边形AECP最大为，此时t2+2t+1＝×（﹣）2+2×（﹣）+1＝﹣，
故答案为：P（﹣，﹣）；
（3）∵抛物线y＝x2+2x+1顶点为P，
∴P（﹣3，﹣2），
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，且AB解析式为y＝﹣x+1，
∴E（﹣3，4），F（﹣3，1），
而C（﹣6，1），A（0，1），B（﹣9，10），
∴CF＝FP＝EF＝FA＝3，AB＝9，CP＝3，
∴∠PCF＝∠CPF＝∠AEF＝∠EAF＝45°，
∴以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°故对应，
设Q（k，1），则CQ＝k+6，分两种情况：
①如答图1，△CPQ1～△ABC，
则可得，
解得k＝﹣4，此时Q1（﹣4，1），
②如答图2，△CQ2P～△ABC，
则可得，
解得k＝3，此时Q2（3，1），
综上所述，存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q有两个，分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1），
故答案为：存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q坐标分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1）．
25．
【解答】【问题背景】证明：如图1，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．
∵DK⊥CD，BF⊥AB，
∴∠BDK＝∠ABK＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠DBK＝∠K＝45°，
∴DK＝DB，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，
∴∠ECG＝45°，
∵BF⊥AB，CA⊥AB，
∴AG∥BF，
∴∠G＝∠DFK，
在△ECG和△DKF中，
，
∴△ECG≌△DKF（AAS），
∴DF＝EG，
∵DE＝AE，
∴DF+EF＝AE，
∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．
【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．
．
∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，
∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，
同法可证△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD＝2，
∵∠AEC＝∠ADB＝45°，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴S△BDC＝?BD?CE＝×2×2＝6．
故答案为：6．
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