2008年广东省中考数学试卷
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
1．（3分）||的值是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（3分）2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约40 820米，用科学记数法表示火炬传递路程是（ ）
A．408.2×102米 B．40.82×103米 C．4.082×104米 D．0.4082×105米
3．（3分）下列式子中是完全平方式的是（ ）
A．a2+ab+b2 B．a2+2a+2 C．a2﹣2b+b2 D．a2+2a+1
4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下表是我国部分城市气象台对五月某一天最高温度的预报，当天预报最高温度数据的中位数是（ ）
城市 北京 上海 杭州 苏州 武汉 重庆 广州 汕头 珠海 深圳 最高温度
（℃） 26 25 29 29 31 32 28 27 28 29 A．28 B．28.5 C．29 D．29.5
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
6．（4分）﹣2的相反数是 ．
7．（4分）经过点A（1，2）的反比例函数解析式是 ．
8．（4分）已知等边三角形ABC的边长为3+，则△ABC的周长是 ．
9．（4分）如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=120°，则∠ANM= 度．
10．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30度．过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠DCB= 度．
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）计算：cos60°+2﹣1+（2008﹣π）0．
12．（6分）解不等式4x﹣6＜x，并将不等式的解集表示在数轴上．
13．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求AD的长．
14．（6分）已知直线l1：y=﹣4x+5和直线l2：y=x﹣4，求两条直线l1和l2的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上．
15．（6分）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电．该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度．
17．（7分）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5．
（1）求口袋中红球的个数．
（2）小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是，你认为对吗？请你用列表或画树状图的方法说明理由．
18．（7分）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：．
（2）若四边形BDFE的面积为8，求△AEF的面积．
19．（7分）如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中i=1：是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字．参考数据：≈1．732，≈1.414）
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表
方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2 9x2﹣2=0 2x2﹣3x=0 x2﹣3x2=0 关于x的方程ax2bx+c=0
（a、b、c为常数，
且a0，b2﹣4ac0） （2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．
21．（9分）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
22．（9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD．
（1）填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形；
（2）请写出图1中所有的相似三角形；（不含全等三角形）
（3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，△FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
2008年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
1．（3分）（2015?德州）||的值是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【考点】绝对值．菁优网版权所有
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得||=．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的性质．
2．（3分）（2008?广东）2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约40 820米，用科学记数法表示火炬传递路程是（ ）
A．408.2×102米 B．40.82×103米 C．4.082×104米 D．0.4082×105米
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】根据科学记数法的定义，写成a×10n的形式．在a×10n中，a的整数部分只能取一位整数，且n的数值比原数的位数少1.40 820的数位是5，则n的值为4．
【解答】解：40 820=4.082×104米．故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2008?广东）下列式子中是完全平方式的是（ ）
A．a2+ab+b2 B．a2+2a+2 C．a2﹣2b+b2 D．a2+2a+1
【考点】完全平方式．菁优网版权所有
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．看哪个式子整理后符合即可．
【解答】解：符合的只有a2+2a+1．
故选D．
【点评】本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的2倍．
4．（3分）（2014?南宁）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，故B正确；
C、不是轴对称图形，故C错误；
D、不是轴对称图形，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）（2008?广东）下表是我国部分城市气象台对五月某一天最高温度的预报，当天预报最高温度数据的中位数是（ ）
城市 北京 上海 杭州 苏州 武汉 重庆 广州 汕头 珠海 深圳 最高温度
（℃） 26 25 29 29 31 32 28 27 28 29 A．28 B．28.5 C．29 D．29.5
【考点】中位数．菁优网版权所有
【专题】压轴题；图表型．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：题目中数据共有10个，故中位数是按从小到大排列后第5，第6两个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数是（28+29）=28.5．
故选B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
6．（4分）（2011?黔西南州）﹣2的相反数是 2 ．
【考点】相反数．菁优网版权所有
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
7．（4分）（2008?广东）经过点A（1，2）的反比例函数解析式是 y= ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
【专题】待定系数法．
【分析】先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y=．
把点（1，2）代入解析式y=，得k=2，
所以y=．
故答案为：y=．
【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．
8．（4分）（2008?广东）已知等边三角形ABC的边长为3+，则△ABC的周长是 9+3 ．
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】在等边三角形中，三条边长相等，所以周长为三条边长的和．
【解答】解：在等边三角形中，三条边长相等，所以周长为三条边长的和，即：3×（3+）=9+3．
故答案为9+3．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及周长的求法，属于基础题．
9．（4分）（2008?广东）如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=120°，则∠ANM= 60 度．
【考点】三角形内角和定理；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】易得∠C度数，MN是△ABC的中位线，那么所求角的度数等于∠C度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A+∠B=120°，
∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣120°=60°，
∵△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=120°，
∴MN∥BC，∠ANM=∠ACB=60°．
故答案为60．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质及三角形内角和定理，中位线定理为证明两条直线平行提供了依据，进而为证明角的相等奠定了基础．
10．（4分）（2008?广东）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30度．过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠DCB= 30 度．
【考点】圆周角定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BOD，再根据圆周角定理∠DCB=∠BOD．
【解答】解：∵OD⊥BC交弧BC于点D，∠ABC=30°，
∴∠BOD=90°﹣∠ABC=90°﹣30°=60°，
∴∠DCB=∠BOD=30°．
【点评】本题的关键是利用直角三角形两锐角互余和圆周角定理．
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）（2008?广东）计算：cos60°+2﹣1+（2008﹣π）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】2﹣1=，（2008﹣π）0=1．
【解答】解：cos60°+2﹣1+（2008﹣π）0
=++1=2．
【点评】本题考查特殊角三角函数值；任何非0数的0指数幂结果为1；数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数．
12．（6分）（2008?广东）解不等式4x﹣6＜x，并将不等式的解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】本题可先将方程移项，进行化简，最后得出x的取值，然后在数轴上表示出来．
【解答】解：移项，得4x﹣x＜6，
合并，得3x＜6，
∴不等式的解集为x＜2；
其解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．（6分）（2008?广东）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求AD的长．
【考点】作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】计算题；作图题；压轴题．
【分析】利用三线合一可得等腰三角形底边上的中线就是底边上的高，作出BC的垂直平分线，然后利用勾股定理求高．
【解答】解：
（1）如图：
（2）在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=×8=4，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=4，AD2+BD2=AB2，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形中高的画法，及勾股定理的应用．
14．（6分）（2008?广东）已知直线l1：y=﹣4x+5和直线l2：y=x﹣4，求两条直线l1和l2的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上．
【考点】两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】两直线的交点的坐标就是两函数的解析式组成的方程组的解，以此来得出交点坐标，然后根据坐标来判断在哪一个象限．
【解答】解：由题意得，
解得．
∴直线l1和直线l2的交点坐标是（2，﹣3）．
故交点（2，﹣3）落在平面直角坐标系的第四象限上．
【点评】本题主要考查了已知一次函数的关系式求交点坐标的方法，难度不大．
15．（6分）（2008?广东）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】等量关系为：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解．
【解答】解：设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣4x2=80%×10×8，
80﹣4x2=64，
4x2=16，
x2=4．
解得：x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
【点评】读懂题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键，实际问题中需注意负值应舍去．
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2008?广东）在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电．该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度．
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】行程问题；压轴题．
【分析】速度分别是：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时；路程：都是15千米，时间表示为：．关键描述语为：“抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地”．等量关系为：抢修车的时间﹣吉普车的时间=．
【解答】解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时．
由题意得：．
解得：x=20．
经检验：x=20是原方程的解．
∴当x=20时，1.5x=30．
答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
17．（7分）（2008?广东）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5．
（1）求口袋中红球的个数．
（2）小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是，你认为对吗？请你用列表或画树状图的方法说明理由．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】根据概率的求法，找准两点：1全部情况的总数；2符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）设红球的个数为x，（1分）
由题意得，（2分）
解得，x=1．
答：口袋中红球的个数是1．（3分）
（2）小明的认为不对．（4分）
树状图如下：（6分）
∴P（白）=，
P（黄）=，
P（红）=．
∴小明的认为不对．（8分）
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
18．（7分）（2008?广东）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：．
（2）若四边形BDFE的面积为8，求△AEF的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】（1）由题意可推出△ADC为等腰三角形，CF为顶角的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此F为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，即；
（2）根据（1）的结论，可以推出△AEF∽△ABD，且S△AEF：S△ABD=1：4，所以S△AEF：S四边形BDEF=1：3，即可求出△AEF的面积．
【解答】解：（1）∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，
∴F为AD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴，
（2）∵EF为△ABD的中位线，
∴，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∵S△AEF：S△ABD=1：4，
∴S△AEF：S四边形BDEF=1：3，
∵四边形BDFE的面积为8，
∴S△AEF=．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD=1：4．
19．（7分）（2008?广东）如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中i=1：是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字．参考数据：≈1．732，≈1.414）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】应用题；压轴题．
【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，利用三角函数求得BF、AF、EC的长，从而求得下底BC的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积．
【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F．
在Rt△ABF中，∠B=60°，AB=6，
∴AF=ABsin∠B
=6sin60°
=3．
BF=ABcos∠B
=6cos60°
=3．
∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，
∴四边形AFED是矩形，
∴DE=AF=3，FE=AD=4．
在Rt△CDE中，i=，
∴EC=ED=×3=9，
∴BC=BF+FE+EC=3+4+9=16．
∴S梯形ABCD=（AD+BC）?DE
=（4+16）×3
≈52.0．
答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0面积单位．
【点评】此题主要考查了学生对坡度坡角的理解，三角函数的运用及梯形面积公式的掌握情况．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2008?广东）（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表
方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2 9x2﹣2=0 2x2﹣3x=0 x2﹣3x2=0 关于x的方程ax2bx+c=0
（a、b、c为常数，
且a0，b2﹣4ac0） （2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
【专题】压轴题；阅读型．
【分析】（1）能够熟练运用直接开平方法、因式分解法解方程，再进一步求两根之和与两根之积；
（2）根据（1）中的第四行的结论，推广到一般进行总结．
【解答】解：（1）如下表：
（2）已知：x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，
那么，，．
方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2 9x2﹣2=0 0 2x2﹣3x=0 0 0 x2﹣3x2=0 2 1 3 2 关于x的方程ax2bx+c=0
（a、b、c为常数，
且a0，b2﹣4ac0） 【点评】熟悉一元二次方程根与系数的关系的猜想过程与证明过程．
21．（9分）（2008?广东）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）根据等边三角形和外角的性质，可求∠AEB=60°；
（2）方法同一，只是∠AEB=∠8﹣∠5，此时已不是外角，但仍可用外角和内角的关系解答．
【解答】解：（1）如图3，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，
∴∠4=∠5．
又∵∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠4=30°．
同理∠6=30°．
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60°．
（2）如图4
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，
∴2∠5=2∠6，
∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，
∴∠AEB=60°．
【点评】此题主要考查等边三角形和外角的性质．
22．（9分）（2008?广东）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连接CD．
（1）填空：如图1，AC= 4 ，BD= 4 ；四边形ABCD是 等腰 梯形；
（2）请写出图1中所有的相似三角形；（不含全等三角形）
（3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，△FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
【考点】相似三角形的判定；等腰梯形的判定；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）根据勾股定理可得AC=BD==4；易知△ADC≌△BCD，利用四边形内角和是360°可得∠CDB=∠DCA=30°∵∠CAB=30°∴DC∥AB，∵AD=BC∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）图中的三角形分为两类：30°，30°，120°；30°，60°，90度．按此找相似三角形即可；
（3）过P作出△FBP的高．△FBP面积应等于FB×PK÷2，易得FB=AB﹣AF=8﹣k；则KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值．注意用t表示的线段应大于0．
【解答】解：（1）4，4，等腰；
（2）共有9对相似三角形．
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，
分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5对）
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2对）
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2对）
所以，一共有9对相似三角形．
（3）由题意知，FP∥AE，
∴∠1=∠PFB，
又∵∠1=∠2=30°，
∴∠PFB=∠2=30°，
∴FP=BP
过点P作PK⊥FB于点K，则FK=BK=FB．
∵AF=t，AB=8，
∴FB=8﹣t，BK=（8﹣t）．
在Rt△BPK中，PK=BK?tan∠2=（8﹣t）tan30°=（8﹣t）．
∴△FBP的面积S=?FB?PK=（8﹣t）?（8﹣t），
∴S与t之间的函数关系式为：
S=（8﹣t）2，或S=t2﹣t+，
t的取值范围为：0≤t＜8．
【点评】“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿和记忆；有效的数学学习过程应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略”．此题正是在常见的三角板的操作变形中，将几何中的平移知识，代数中的函数知识有机地进行结合，要求学生抓住问题中的内在联系进行探究．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2=（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
6．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00≠1．
7．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
8．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
9．解一元二次方程-公式法
（1）把x=﹣b±b2﹣4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
11．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为a，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
14．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
15．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
16．两条直线相交或平行问题
直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．
17．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
21．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=BC．
22．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
23．垂径定理
（1）垂径定理
垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
24．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
25．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
27．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
28．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
31．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
32．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
35．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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