2021年广东省初中学业水平考试数学
本试卷共4页，25小题，满分120分，考试用时90分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”·
2.作管选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
A
【解析】考查实数的大小比较，涉及有理数、无理数、绝对值
2．据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建
设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次，将“万”用科学记数法表示
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
0的数表示成
3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6种，和为7的事件有6种，所以
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，考查幂的运算公式的灵活变形
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
B
【解析】因为，且，
所以，
所以，，所以,考查绝对值、二次根式的非负性。
6．下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
1种样式的记忆，第一个属于2-3-1样式，第三个属于2-2-2样式，第三个属于3-3样式
7．如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
于H点，根据角平分线的性质可得,而，
易得，所以直径，考查圆中的计算（结合角平分线、三角函数）
8．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，所以即（），因此可得，
，所以，考查实数的整数部分、小数部分的转化，以及平方差公式的运算
9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，可得，因为，所以，而，所以，∴，把代入可得，当时，S最大，最大值为，考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方
10．设为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过作于点，则点到轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解析式为
联立：，化简得
不妨设,
则，
作轴，轴，易得
则即（），化简可得
而
所以有，因此（需要舍去）
即直线AB过定点，因此AB：
易得直线OC的解析式为：，联立，解得
即
点C到y轴距离，化简可得，由于关于k的一元二次方程有实数根，因此满足，即，因此，因此
本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法，涉及相似三角形、一元二次方程等多个考点
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．
11．二元一次方程组的解为_________．
【解析】，①+②可得③，①－③得，，把代入③得
因此，考查二元一次方程组的解法
12．把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________．
【解析】考查二次函数的图象变换，根据“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式为，化简即得
13．如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
【解析】，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）
14．若一元二次方程（，为常数）的两根，满足，，则符合条件的一个方程为_________．
（答案不唯一）
【解析】不妨设，，则满足题意的其中一个方程是，本题考查一元二次方程根与系数的关系（已知两根范围，表达原方程，需要有逆推的思维）
15．若且，则_________．
【解析】因为，且
因此
而，可得
因此，所以
本题考查完全平方公式的变形运算以及因式分解的技巧
16．如题图，在中，，，．过点作，垂足为，则_________．
【解析】作，在中，
由等积法可得
易得，,,
∴
∴
17．在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【解析】如图1，根据，（定弦定角），作的外接圆O，连接OC，交于（图2），此时CD的值最小，根据，得，因此，作，可得，所以，所以，
所以
本题考查动点与隐圆条件下的最值，
难度较大，需要根据条件发散思维
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
8．解不等式组．
【答案】
解：．
式得：
移项得：
．…………………………2分
得：
．…………………………4分
所以原不等式组的解集为．…………………………6分
19．某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛用简单随机抽样的方法，从该年级全体名学生中抽取名，其竞赛成绩如题19图
（1）求这名学生成绩的众数，中位数和平均数
（2）若规定成绩大于或等于分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数
【答案】
解：（1）众数：， 中位数：， …………………………2分
平均数．…………………………4分
（2）名中有人为优秀，
优秀等级占比：
该年级优秀等级学生人数为：（人）
答：该年级优秀等级学生人数为人．…………………………6分
20．如题图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使
（1）若，求的周长
（2）若，求的值
【答案】
，设垂直平分线交于点，…………………………1分
为垂直平分线，
，…………………………2分
，
，
．…………………………3分
（2）设，，…………………………4分
又，，
在中，．…………………………5分
．…………………………6分
四、解答题（二：本大题共小题，每小题分，共分
21．在平面直角坐标系中，一次函数的与轴、轴分别交于两点，且与反比例函数图象的一个交点为
（1）求的值
（2）若，求的值
【答案】
解：（1）为反比例函数上一点，
代入得，
．…………………………2分
（2）令，即，
，，
令，，，
．
由图象得，可分为以下两种情况，
①在轴正半轴时，，
，
过作轴交轴于点，又，，
，，
，
，
，
，．…………………………5分
②的轴负半轴时，，过作轴，
，，，
，
，
，，
，
，…………………………7分
综上，或．…………………………8分
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习 元，某商家用元购进的猪 粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时， 盒每盒售价提高元时，每天少售出盒
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润单位：，求关于的函数解析式并求最大利润
【答案】
解：（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽没和进价元．…………………………1分
则…………………………2分
解得：，经检验是方程的解．…………………………3分
猪肉粽每盒进价元，豆沙粽每盒进价元．…………………………4分
（2）由题意得，当时，每天可售盒．
当猪肉粽每盒售元时，每天可售盒．……………………5分
…………………………6分
∵，且时，y随x的增大而增大
时，取最大值，最大值为元．…………7分
答：关于的函数解析式，且最大利润为元．……………2分
23．如题图，边长为的正方形中，点为的中，将沿 折叠得到，交于，求的长
【答案】
解：延长交于连．
由沿折叠得到．
，，
为中点，
，
，
正方形
，
在和中，
…………………………2分
又，
，
，
，
，
，
，
，…………………………4分
，
，
，…………………………6分
由勾股定理得：．…………………………7分
．…………………………8分
备注：本题用其他解法，且过程严谨，亦可以给满分
五、解答题（三：本大题共小题，每小题分，共分
24．如题图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上且，
（1）求证；
（2）求证以为直径的圆与相切
（3）若，，求的面积
【答案】
解：（1），设，
，
，
，
又，
，
，
．…………………………2分
（2）如图，取中点，过点作，
，，
，
又，
，
为中点，
，…………………………3分
，
又，，
，
∴…………………………5分
又，
以为直径的圆与相切．…………………………6分
（3），，，
，，，
又，
为等边三角形，，…………………………7分
由（2）得：，
，
，
，在中，．
在中，，…………………………8分
如图，过点，点分别向作垂线交于点，，
，，
，，
．…………………………10分
（备注：第3问若用其他解法，且过程完整，也可以得满分）
25．已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有
（1）求该二次函数的解析式
（2）若中二次函数图象与轴的正半轴交点为，与轴交点为点是
中二次函数图象上的动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、 为顶的坐标若不 存在
【答案】
解：（1）令，解得，
当时，，
必过，…………………………1分
又过，
，
，
又，
，
，
且，
，
，
，
，，…………………………2分
．…………………………3分
（2）由（1）可知：，，设，，
①当为对角线时，
，解得（舍），，
，即．…………………………5分
②当为对角线时，
，解得（舍），
，即．…………………………7分
③当为对角线时，
，解得，，
或，
，．…………………………9分
综上所述：点坐标为或或或．……………10分
|
|
