方法技巧专题六 中点联想训练1．与中点有关的定理(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(2)等腰三角形“三线合一”的性质．(3)三角形的中位线定理．(4)垂径定理及其推论．2．与中点有关的辅助线(1)构造三角形的中位线如连结三角形两边的中点；取一边的中点然后与另一边的中点相连结；过三角形一边的中点作另一边的平行线等等．(2)延长角平分线的垂线构造等腰三角形的“三线合一”．(3)把三角形的中线延长一倍构造平行四边形．一、选择题1．[2017·宜昌如图－1要测定被池塘隔开的A、B两点的距离．可以在AB外选一点C连结AC并分别找出它们的中点D、E连结DE.现测得AC＝30 ＝40 ＝24 则AB＝( )
图－1 2．[2017·株洲如图－2点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点则关于四边形EFGH下列说法正确的是( )
图－2一定不是平行四边形一定不会是中心对称图形可能是轴对称图形当AC＝BD时它为矩形3．[2017·湖州如图－3已知在中＝90＝BC＝6点P是的重心则点P到AB所在直线的距离等于( )
C. D．
图－3 4．如图－4在正方形ABCD和正方形CEFG中点D在CG上＝＝3是AF的中点那么CH的长是( )
图－4
C. D．5．如图－5在菱形ABCD和菱形BEFG中点A在同一直线上是线段DF的中点连结PG若∠ABC＝∠BEF＝60则＝( )
图－5 B.
C. D.
二、填空题6．[2017·巴中如图－6在△ABC中、BE是两条中线则S＝________．
图－6 2017·宁夏如图－7在△ABC中＝6D是AB的中点过点D作DE∥BC交AC于点E点M在DE上且ME＝DM.当AM⊥BM时的长为________．
图－78．[2017·天津如图－8正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1点F分别在边BC上为AE的中点连结PG则PG的长为________．
图－8 9．如图－9在△ABC中＝30＝AC是BC边上的中线＝∠BAC交AB于点E交AD于点F.若BC＝2则EF的长为________．
图－9三、解答题10．[2017·徐州如图－10在平行四边形ABCD中点O是边BC的中点连结DO并延长交AB的延长线于点E.连结BD(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50则当∠BOD＝________时四边形BECD是矩形．
图－1011．2017·成都如图－11在△ABC中＝AC以AB为直径作圆O分别交BC于点D交CA的延长线于点E过点D作DH⊥AC于点H连结DE交线段OA于点F.(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若A为EH的中点求的值；(3)若EA＝EF＝1求⊙O的半径．
图6－1112．[2016·舟山如图－12①已知点E分别是四边形ABCD各边AB的中点根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
(1)如图②将图①中的点C移动至与点E重合的位置仍是BC的中点求CFGH是平行四边形；(2)如图③在边长为1的小正方形组成的5×5网格中点A都在格点上在格点上画出点D使点C与BC的中点F组成正方形CFGH；(3)在(2)的条件下求出正方形CFGH的边长．
图－12 2. 3. 4.5．B [解析] 延长GP交DC于点H则△GFP≌△HDP＝HP＝HD.∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形＝CB＝GB＝CH是等腰三角形＝60＝∠BCD＝60＝.故选 7.8
8. [解析] 如图延长GE交AB于点N过点P作PM⊥GN于M.由正方形的性质可知AN＝AB－BN＝AB－＝2＝GN－GE＝BC－FC＝2.根据点P是AE的中点及PM∥AN可得PM为△ANE的中位线所以ME＝NE＝1＝AN＝1因此MG＝2.根据勾股定理可得PG＝＝.
9.－1 [解析] 如图＝DC＝1＝CF＝2＝.过点F作FG∥BC交AB于点G则＝＝2(2－)．由＝得EF＝－1.
10．解：(1)证明：∵平行四边形ABCD＝∠DCO＝∠CDO点O是边BC的中点＝CO(AAS)，∴EO＝DO四边形BECD是平行四边形．(2)若四边形BECD为矩形则BC＝DE又AD＝BC＝DE.根据等腰三角形的性质可知∠ADB＝∠EDB＝40故∠BOD＝180ADE＝100解：(1)证明：连结OD如图
∵OB＝OD＝∠ODB又∵AB＝AC＝∠ACB＝∠ACB是⊙O的切线．(2)∵∠E＝∠B＝∠C＝∠C是等腰三角形又∵DH⊥AC点A是EH中点设AE＝x则EC＝4x＝3x连AD，∵AB为⊙O的直径＝90即AD⊥BD又∵△ABC是等腰三角形D是BC中点是△ABC的中位线＝AC＝x＝∠ODF.在△AEF和△ODF中
∴△AEF∽△ODF，∴＝＝＝＝.(3)设⊙O的半径为r即OD＝OB＝r＝EA＝∠EAF又∵OD∥EC＝∠EAF则∠FOD＝∠EFA＝∠OFD＝OD＝r＝DF＋EF＝r＋1＝CD＝DE＝r＋1＝∠EAB＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE＝BD＝1＋r＝AB－BF＝2OB－BF＝2r－(1＋rr－1.在△BFD与△EFA中
∴△BFD∽△EFA，
∴＝＝解得r＝＝(舍去)．的半径为.
解：(1)证明：如图连结BD是AB的中点是△ABD的中位线＝BD同理FG∥BD＝BD＝FG四边形CFGH是平行四边形．(2)如图所示．
(3)∵BD＝＝BD＝正方形CFGH的边长是.
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