方法技巧专题七 角平分线训练1．与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质．(2)角平分线的夹角：①三角形两内角的平分线的夹角等于90与第三角一半的和；②三角形两外角的平分线的夹角等于90与第三角一半的差；③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半．(3)三角形的内心及其性质．(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系．2．与角平分线有关的图形或辅助线(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形．(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形．(3)过角平分线上的点作边的垂线．一、选择题1．[2017·台州如图－1点P是∠AOB平分线OC上一点垂足为D.若PD＝2则点P到边OA的距离是( ) D．
图－1图－22．[2017·眉山如图－2在△ABC中＝66点I是内心则∠BIC的大小为( )3．如图－3半圆O的直径AB＝10 弦AC＝平分∠BAC则AD的长为( ) cm B．3 cm C．5 cm D．4 cm
图－3 4．如图－4在直角梯形ABCD中＝90＝BC的平分线分别交AD于点E则的值是( )
图－4－1 ．＋＋1 D.
5．[2017·滨州如图－5点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中其两边分别与OA相交于M、N两点则以下结论：(1)PM＝PN恒成立．(2)OM＋ON的值不变．(3)PMON的面积不变．(4)MN的长不变其中正确的个数为( )
图－54 ． ．二、填空题6．[2015·常德如图－6在△ABC中＝40三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点EAEC＝________度．
图－6图－77．[2016·宁夏如图－7在平行四边形ABCD中的平分线AE交BC于点E且BE＝3若平行四边形ABCD的周长是16则EC等于________．8．[2017·十堰如图－8内接于⊙O＝90的角平分线交⊙O于D若AC＝6＝5 则BC的长为________．
图－8 2015·巴中如图－9在△ABC中＝5＝分别为△ABC的中线和角平分线过点C作CH⊥AE于点H并延长交AB于点F连结DH则线段DH的长为________．
图－910．如图－10在ABCD中＞AD分别为∠DAB的平分线与DM相交于点F与CM相交于点N连结EM.若ABCD的周长为42 ＝3 ＝4 则EM＝________＝________
图－10三、解答题11．[2017·盐城如图－11矩形ABCD中的平分线BE分别交边AD于点E(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；(2)当∠ABE为多少度时四边形BEDF是菱形？请说明理由．
图－1112．[2017·临沂如图－12的平分线交△ABC的外接圆于点D的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90＝4求△ABC外接圆的半径．
图－1213．[2016·滨州如图－13是△ABC的角平分线它的垂直平分线分别交AB于点E连结ED(1)请判断四边形EBGD的形状并说明理由；(2)若∠ABC＝30＝45＝2 点H是BD上的一个动点求HG＋HC的最小值．
图－13． [解析] 因为点I是内心所以∠IBC＝∠ABC＝∠ACB因此∠BIC＝180－(∠IBC＋∠ICB)＝180－(∠ABC＋∠ACB)＝180－(180－∠A)＝180－(180－66)＝123 [解析] 连结BC相交于点E连结BD＝8 ＝4 ＝3 ＝2 ＝ cm，AD＝4 [解析] 如图过点F作FG⊥AD于点G.依题意可知△ABC是等腰直角三角形也是等腰直角三角形．设FG＝1则AG＝1＝.
∵BE平分∠ABC＝22.5AEB＝90－∠ABE＝67.5＝∠CAB＋∠ABE＝67.5＝∠AFE＝AF＝＝－1.＝90＝＝＝＋1.故选
5． [ 结论(1)过点P分别作OA、OB的垂线段由于∠PEO＝∠PFO＝90因此∠AOB与∠EPF互补由已知“∠MPN与∠AOB互补”可得∠MPN＝∠EPF可得∠MPE＝∠NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”可证PE＝PF即可证得因此对于结论(1)＝PN”由全等即可证得是成立的；结论(2)也可以由全等得到ME＝NF即可证得OM＋ON＝OE＋OF由于OE＋OF保持不变因此OM＋ON的值也保持不变；结论(3)Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等因此结论(3)是正确的；结论(4)连结EF对于△PMN与△PEF这两个三角形都是等腰三角形且顶角相等但由于腰长不等因此这两个三角形不可能全等所以底边MN与EF不可能相等．所以MN的长是变化的．
6．70 7.2 [解析] 连结DA因为∠ACB＝90所以AB为直径所以∠ADB＝90因为CD平分∠ACB所以BD＝AD在△ABD中＝＝＝10在△ABC中＝＝＝8. 13 [ ∵四边形EFMN有三个角是直角四边形是矩形＝5.易知△ADF≌△CBNFD∽△AEB.∴＝＝即3AF＝4DF.设AF＝4k则DF＝3k＝5k＝(k＋1)．＋AB＝21＋5(k＋1)＝21解得k＝1.6.∴AB＝13.解：1)证明：∵四边形ABCD是矩形＝∠CDB.平分∠ABD平分∠CDB＝∠ABD＝∠CDB.＝∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD四边形BEDF是平行四边形．(2)当∠ABE＝30时四边形BEDF是菱形．理由如下：平分∠ABD＝30＝60＝30四边形ABCD是矩形＝90＝90－∠ABD＝90－60＝30＝∠ADB.∴DE＝BE.∵四边形BEDF是平行四边形四边形BEDF是菱形．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD＝∠CBD.平分∠ABC＝∠ABE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.又∵∠BED＝∠ABE＋∠BADDBE＝∠BED＝DE.
(2)如图连结CD.＝90C是直径＝90平分∠BAC＝4＝CD＝4＝＝4 外接圆的半径为2 .解：(1)四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD＝ED＝GD＝∠EDB＝∠DBC＝∠GBF在△EFD和△GFB中
∴△EFD≌△GFB，
∴ED＝BG＝ED＝DG＝GB四边形EBGD是菱形．
(2)作EM⊥BC于M于N连结EC交BD于点H此时HG＋HC最小在中＝90＝30＝ED＝2 ＝BE＝.∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝＝DE＝2 在中＝90＝45＝∠NCD＝45＝NC＝＝3 .在中＝90＝＝3 ＝＝＝10.＋HC＝EH＋HC＝EC＋HC的最小值为10.
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