方法技巧专题九 45 角与正切值一、选择题1．如图－1直线y＝x＋3交x轴于A点交y轴于B点．将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O另两个顶点M、N恰落在直线y＝x＋3上．若N点在第二象限内则的值为( )
图－1 B. C. D.
二、填空题2．如图－2中＝90＝45＝91＝35则AD的长度为________．
图－23．如图－3在平面直角坐标系xOy中点A(－1)，B(0，2)，点C在第一象限＝135交y轴于D＝3AD反比例函数y＝的图象经过点C则k的值为________．
图－3图－44．[2017·金华如图－4已知点A(2)和点(0，2)，点A在反比例函数y＝的图象上．作射线AB再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45交反比例函数图象于点C则点C的坐标为________．三、解答题5．如图－5点P是正方形ABCD内一点点P到点A和D的距离分别为1，.△ADP沿点A旋转至△ABP′连结PP′并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．
图－56．如图－6抛物线y＝ax＋bx－4a经过A(－1)，C(0，4)两点与xB.
(1)求抛物线的解折式；(2)已知点D(m＋1)在第一象限的抛物线上求点D关于直线BC对称的点的坐标；(3)在(2)的条件下连结BD点P为抛物线上一点且∠DBP＝45求点P的坐标．
图－67．已知抛物线y＝ax＋bx＋c的对称轴为直线x＝2且与x轴交于AB两点．与y轴交于点C.其中(1，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图－7若点P在抛物线上运动(点P异于点A)当∠PCB＝∠BCA时求直线CP的解析式．
图－78．如图－8抛物线y＝－x＋bx＋c与直线y＝x＋2交C、D两点其中点C在y轴上点D的坐标为(3)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点过点P作PE⊥x轴于点E交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若存在点P使∠PCF＝45求点P的坐标．
图－89．如图－9抛物线y＝x－4x＋3与坐标轴交于A、B、C三点点P在抛物线上于点D垂足D在线段BC上．若＝求点P的坐标．
图－9
1． [解析] 过O作OC⊥AB于C过N作ND⊥OA于D
∵N在直线y＝x＋3上设N的坐标是(xx＋3)则DN＝x＋3＝－x.y＝x＋3当x＝0时＝3当y＝0时＝－4(－4)，B(0，3)，即OA＝4＝3在△AOB中由勾股定理得AB＝5在△AOB中由三角形的面积公式得：AO×＝＝5OC＝.在中＝ON＝90＝45＝＝＝在中由勾股定理得ND＋DO＝ON即(x＋3)＋(－x)＝()计算得出x＝－＝在第二象限只能是－x＋3，
即ND＝＝＝＝.所以选项是正确的． 3.9(－1－6) [解析] 如图过点A作AH⊥AB交x轴于点H过点D分别作DE⊥AB垂足分别为E
设AB的解析式为y＝kx＋b把点A(2)和点B(0)分别代入得解得＝x＋2.令y＝0则x＋2＝0得x＝－4.(－4)，∴OG＝4＝2.点A(2)，OG＝4可得AG＝3 .＝∠AGHGOB＝∠GAH＝90＝即＝＝.由△AGH的面积可得×3GH＝AG·AH即3GH＝3 ×得GH＝.＝GH－OG＝.AH⊥AB，∠GAC＝45平分∠GAH.＝DF＝AF.由△AGH的面积可得DE·AG＋DF·AH＝AG·AH即(3 ＋)DF＝×3 ×＝＝＝－＝.＝＝＝OH－DH＝－＝1(1，0)．设直线AD的解析式为y＝mx＋n把点A(2)，D(1，0)代入得解∴y＝3x－3.把点A(2)代入y＝得y＝.由得或(舍去)点C的坐标为(－1－6)．解：(1)证明：∵△ABP′是由△ABP顺时针旋转90得到＝AP′＝90P′是等腰直角三角形．(2)∵△APP′是等腰直角三角形＝45＝又∵BP′＝＝2 ＋BP＝BP′＝90＝45＝180APP′－∠BPP′＝45
(3)过点B作BE⊥AQ于点E则△PBE为等腰直角三角形＝PE＋PE＝PB＝PE＝2＝3＝＝则BC＝.＝∠EAB＝∠ABQ＝90＝ 即 ＝＝＝＝＝BC－BQ＝.
6．解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx－4a经过A(－1)、(0，4)两点
解得抛物线的解析式为y＝－x＋3x＋4.(2)∵点D(m＋1)在抛物线上＋1＝－m＋3m＋4即m－2m－3＝0＝－1或m＝3点D在第一象限点D的坐标为(3)．由(1)知OC＝OB＝45设点D关于直线BC的对称点为点E.∵C(0)，
∴CD∥AB，且CD＝3＝∠DCB＝45点在y轴上且CE＝CD＝3＝1(0，1)，即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0)．
(3)作PF⊥AB于F于E由(1)有OB＝OC＝4＝45＝45＝∠PBA.(0，4)，D(3，4)，
∴CD∥OB且CD＝3＝∠CBO＝45＝CE＝ .＝OC＝4＝4 ＝BC－CE＝ ＝＝＝.设PF＝3t则BF＝5t＝5t－4(－5t＋4)．∵P点在抛物线上＝－(－5t＋4)＋3(－5t＋4)＋4＝0(舍去)或t＝(－)．解：(1)因为抛物线经过点A(1)，C(0，－3)对称轴为直线x＝2所以可列方程组解得所以抛物线的解析式为y＝－x＋4x－3.(2)如图所示延长直线CP交x轴于点Q.因为点B(3)，C(0，－3)所以OB＝OCOCB＝∠OBC＝45因为直线CP经过点C所以可设直线CP的方程为y＝kx－3.令∠OCA＝α则∠ACB＝∠OCB－α＝45－α
因为∠BCP＝∠ACB＝45－α所以∠OQC＝∠OBC－∠BCP＝45－(45－α)＝α所以∠OCA＝∠OQC又因为∠QOC＝∠COA所以△AOC∽△COQ故＝＝所以OQ＝3OC＝9Q的坐标为(9)，因为直线CP经过点Q所以k×9－3＝0解得k＝所以直线CP的解析式为y＝x－3.解：(1)由抛物线过点C(0)，D(3，)，可得解得所以抛物线的解析式为y＝－x＋x＋2.(2)设P(m－m＋m＋2)．如图当点P在CD上方且∠PCF＝45°时
作PM⊥CD于点M于点N则△PMF∽△CNF＝＝＝2＝CM＝2CF.＝FM＝CF＝×CN＝CN＝m.又∵PF＝－m＋3m－m＋3m＝m.解得m＝＝0(舍去)(，)．当点P在CD下方且∠PCF＝45时同理可以求得另外一点为P()．解：令y＝0则x－4x＋3＝0＝1＝3(3，0)．
当x＝0时＝3(0，3)，
∴OB＝OC＝3＝∠OBC＝45连结CP则＝＝2作PE⊥y轴于E连接PC.＝135过C点作CH∥x轴作P点作PH∥y轴两直H点交PD于G点设CD的长为x则PD＝2x＝x＝PH＝x＝CH＝x＋x.＝3.设CE＝a则PE＝3a(3a，3＋a)代入抛物线方程得3＋a＝9a－12a＋3＝(，)．
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