方法技巧专题十 最短距离训练探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”二是“两点之间线段最短”．立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题．求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段．一、选择题1．[2016·苏州矩形OABC在平面直角F10－1所示点B的坐标为(3)，D是OA的中点点E在AB上当△CDE的周长最小时点E的坐标为( )(3，1) B．(3)
C．(3，) D．(3)
图－1图－2 2．[2015·遵义如图－2在四边形ABCD中＝50＝∠D＝90分别是BC上的点当△AEF的周长最小时的度数为( )D．80°
3．[2015·贵港如图－3已知P是⊙O外一点是⊙O上的动点线段PQ的中点为M连结OP若⊙O的半径为2＝4则线段OM的最小值是( )
图－3图－44．[2017·天津如图－4在△ABC中＝AC是△ABC的两条中线是AD上的一个动点则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )5．[2017·莱芜如图－5菱形ABCD的边长为6＝120是BC边的一个三等分点是对角线AC上的动点当PB＋PM的值最小时的长是( ) B. C. D.
图－5图－66．[2017·乌鲁木齐如图－6A(a，3)、B(b)都在双曲线y＝上点C分别是x轴、y轴上的动点则四边形ABCD周长的最小值为( )5 B． C．2 ＋2 ．
7．[2016·雅安如图－7在矩形ABCD中＝6垂足为E＝3BE点P分别在BD上则AP＋PQ的最小值为( ) B. C． D．
图－7图－82016·安徽如图－8在中＝6＝4是△ABC内部的一个动点且满足∠PAB＝∠PBC则线段CP长的最小值为( ) B． D.
二、填空题9．[2016·东营如图－9在中＝90＝4点D在BC上以AC为对角线的平行四边形ADCE中的最小值是________．
图－910．[2017·德阳如图－10已知⊙C的半径为3圆外一定点O满足OC＝5点P为⊙C上一动点经过O的直线l上有两点A、B且OA＝OB＝90不经过点C则AB的最小值为________．
图－10三、解答题11．[2017·德阳如图－11函数y＝的图象与双曲线y＝(k≠0)相交于点A(3)和点B.(1)求双曲线的解析式及点B的坐标；(2)若点P在y轴上连结PA、PB求当PA＋PB的值最小时点P的坐标．
图－1112．把△EFP按如图－12所示的方式放置在菱形ABCD中使得顶点E分别在线段AB上．已知EP＝FP＝4＝4 ＝60且AB＞4 .(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝6求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E分别在线段AB上运动请直接写出AP长的最大值和最小值．
图－12
1． [解析] 如图作点D关于直线AB的对称点H连结CH与AB的交点为E此时△CDE的周长最小．∵D()，A(3，0)，∴H(，0)，
可求得直线CH的解析式为y＝－x4，
当x＝3时＝点E的坐标为(3)．故选 [解析] 连结OQ设线段OP与⊙O相交于点N连结MN则MN是△POQ的中位线＝OQ＝1.当点Q与点N重合时＝3；当点Q是射线PO与⊙O的另一个交点时＝1.∴OM的最小值是1.故选 [解析] 连结PC.由AB＝AC可得△ABC是等腰三角形根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称＝CP因此连结CE＋CP的最小值为CE故选
5． [解析] 连结BD、DM交AC于点P则此时PB＋PM的值最小．过点D作DF⊥BC于点F过点M作ME∥BD交AC于点E.
∵∠ABC＝120＝60又∵DC＝BC是等边三角形．∴BF＝CF＝BC＝3.＝CF－CM＝3－2＝1＝BF＝3.＝＝2.＝＝＝.又∵OB＝OD＝.＝＝＝DM＝×2＝.故选 [解析] ∵点A(a)、B(b)都在双曲线y＝上＝1＝3(1，3)、B(3)，则AB＝＝＝2 .作点A关于y轴的对称点A作点B关于x轴的对称点B连结A交y轴于点D交x轴于点C则A(－1)、B(3，－1)＝＝＝4 根据轴对称的性质四边形ABCD周长AB＋A＝2 ＋4 ＝6 故选 [解析] 设BE＝x则DE＝3x四边形ABCD为矩形且AE⊥BD＝BE·DE即AE＝3x＝x.在中由勾股定理可得AD＝AE＋DE即6＝(x)＋(3x)解得x＝.＝3＝3 .如图设A点关于BD的对称点为A′连结A′D
则A′A＝2AE＝6＝AD＝A′D＝6是等边三角形．＝PA′当A′三点在一条直线上时＋PQ最小．由垂线段最短可知当PQ⊥AD时＋PQ最小＋＝A′P＋PQ＝A′Q＝DE＝3 故选． [解析] 首先证明点P在以AB为直径的⊙O上连结OC与⊙O交于点P此时PC最小利用勾股定理求出OC即可解决问题．
∵∠ABC＝90＋∠PBC＝90＝∠PBC＋∠ABP＝90＝90点P在以AB为直径的⊙O上连结OC交⊙O于点P此PC的长最小在中＝90＝4＝3＝＝5＝OC－OP＝5－3＝2.长的最小值为2.故选 [解析] ∵四边形ADCE是平行四边形当DE⊥BC时最短．此时∵∠B＝90四边形ABDE是平行四边形＝90四边形ABDE是矩形＝AB＝4的最小值为4.故答案为4. [解析] 连结OP、OC、PC则有OP≥OC－PC当O、P、C三点共线的时候＝OC－PC.＝90＝OB点P在以AB为直径的圆上与⊙C相切的时候取到最小值此时OP＝OC－CP＝2＝2OP＝4.解：(1)由点A(3)在直线y＝2x上得m＝6则A(3)，代入y＝得到k＝18.联立解得或(舍)则点B(6)．(2)如图所示作A关于y轴的对称点A′(－3)，连结PA′则PA′＝PA
∴PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B当A′三点共线时＋PB有最小值(－3)，B(6，3)，
∴A′B＝3 ＋PB的最小值为3 .设A′B：y＝kx＋b将B(6)，A′(－3)，代入＝kx＋b得解得得A′B：y＝x＋5当x＝0时＝5即当PA＋PB取得最小值的时候的坐标为(0)．解：(1)如图①作PQ⊥EF于点Q＝FP＝4＝4 ＝QE＝2 .＝＝＝30＝∠QFP＝30＝120
(2)如图②将△PAF绕点P逆时针旋转120得△PA′E作PM⊥AA′垂足为M在等腰三角形PAA′中＝AP＝6＝3 ＝2AM＝2×3 ＝6 .即AE＋AF＝6 .(3)最大值是8最小值是4.
数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】
“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/
|
|
