4 单摆一、单摆及单摆的回复力1.单摆(1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆.单摆是
实际摆的理想化模型.(2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置.2.单摆的回复力(1)回复力的来源：如图1所示，摆球的重力沿圆弧切
线方向(填“切线方向”或“法线方向”)的分力提供回复力.图1(2)回复力的特点：在偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝
－x，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动.二、单摆的周期1.单摆振动
的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)
，摆长越长，周期越长(填“越长”“越短”或“不变”).2.单摆的周期公式T＝2π.三、用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝2π，
得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度.2.数据处理(1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从
中选择几组，分别计算重力加速度，然后取平均值.(2)图象法：分别以l和T2为纵坐标和横坐标，作出函数l＝T2的图象，图象的斜率k＝
，进而求出重力加速度g.一、单摆的回复力(1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为
零吗？1.单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力.2.单摆回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供使摆
球振动的回复力.3.回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足F＝－kx，此时摆球的运动可看成是简谐运动.注意 (1)单摆经过平
衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.(2)单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力.例1 图2中
O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点
为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )图2A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用B.摆球在A点和C点处，速度为零，
合力与回复力也为零C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大二、单摆的周期单摆的周期公式为
T＝2π.(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？1.伽利略发现了单摆运动的
等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.2.单摆的周期公式：T＝2π.3.对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很
小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%).(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球.
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周
期也叫固有周期.例2 (2018·黄埔区高二检测)某单摆由1 m长的摆线连接一个直径2 cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正
确的是( )A.用大球替代小球，单摆的周期不变B.摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小C.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变D
.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大例3 如图3所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△A
OB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，
重力加速度为g)( )图3A.让小球在纸面内振动，周期T＝2πB.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2πC.让小球在纸面内振动，周
期T＝2πD.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π三、实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l
和周期T，即可求出当地的重力加速度.2.实验器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺.3.实
验步骤(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验
桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出
摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋.(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球.摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆
完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期.(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.4.数
据处理(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值.设计如下所示实验表格：实验次数摆长l
/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝23(2)图象法：由T＝2π得T2＝l，以T2
为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图象(如图4所示).其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g.图45.注意事项(1)选择细而
不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球.(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.(3)摆
球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆.(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动
的时间t.例4 某同学利用如图5所示的装置测量当地的重力加速度.实验步骤如下：图5A.按装置图安装好实验装置；B.用游标卡尺测量小
球的直径d；C.用米尺测量悬线的长度L；D.让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最
低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20时，停止计时，测得时间为t；E.多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、
D；F.计算出每个悬线长度对应的t2；G.以t2为纵坐标、L为横坐标，作出t2－L图线.结合上述实验，完成下列问题：(1)用游标为
10分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图6所示，读出小球直径d为________ cm.图6(2)该同学根据实验数据，利用
计算机作出t2－L图线如图7所示.根据图线拟合得到方程t2＝404.0L＋3.07，由此可以得出当地的重力加速度g＝_____ m
/s2.(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)图7(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是________
.A.不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时B.开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做
全振动的次数C.不应作t2－L图线，而应作t－L图线D.不应作t2－L图线，而应作t2－(L＋d)图线[学科素养] 通过本题，学生
回顾了游标卡尺的读数方法，提高了根据实际情况设计实验步骤的能力，锻炼了用单摆测定重力加速度的本领.在解题过程中，展现了实验探究过程
中交流、反思的能力.本题着重体现了“实验探究”的学科素养.1.(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图8所
示，以下说法正确的是( )图8A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C.t3时刻
摆球速度为零，摆球的回复力最大D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大2.(单摆的周期公式)(2018·新余一中高二下学期段考
)如图9所示，摆长为l的单摆放在倾角为θ的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为( )图9A.T＝2π
B.T＝2π C.T＝2π D.以上答案都不对3.(用单摆测定重力加速度)(2018·西安中学高二第二学期期中)某同学在做“利用单
摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm，摆球直径为2.00 cm，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间，如
图10所示，则：图10(1)该摆摆长为________ cm，秒表所示读数为________ s.(2)如果测得的g值偏小，可能的
原因是( )A.测摆线长时摆线拉得过紧B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C.开始计时时，秒表过迟按下D.实
验中误将49次全振动记为50次(3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出对应的l与T的数据，再以
l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成如图11所示直线，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示).图
115 外力作用下的振动一、固有振动、阻尼振动1.固有振动和固有频率(1)固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动.(2)固有频率
：固有振动的频率.2.阻尼振动(1)阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼.(2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图1所
示.图1二、受迫振动1.驱动力作用于振动系统的周期性的外力.2.受迫振动(1)定义：系统在驱动力作用下的振动.(2)受迫振动的频率
(周期)做受迫振动的物体，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关.三、共振1.定义驱动力的频率f等于系统的固有频率f0
时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振.2.共振曲线(如图2所示)图2一、简谐运动、阻尼振动和受迫振动如图所示的实验装置为一挂在
曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来.实际动手做一下，然后回答以下几个问题.(1)如果手柄不动而用手拉动一下
振子，从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动？(2)从没有系统外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动？(3)手柄匀速摇动时，观察
到振幅有什么变化？为什么？(4)用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动有何不同？这能说明什么问题？1.三种振动的理解(1)简谐运
动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑.(2)阻尼振动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动.(3)受迫振动：物体做
阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动.2.三种振动的比较 振动类型比较项目简谐运动阻尼振动受迫振动产生条件不受阻力作用受阻
力作用受阻力和驱动力作用频率固有频率频率不变由驱动力的频率决定振动图象形状不确定常见例子弹簧振子或单摆敲锣打鼓时发出的声音越来越弱
机器运转时底座发生的振动例1 (多选)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )A.振幅越来越小，频率也越来越小B.振幅越来越小，频
率不变C.在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变D.在振动过程中，机械能不守恒例2 如图3所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动
摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动.开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后以60 r/min的转速匀速转
动摇把，当振子振动稳定时，它的振动周期为( )图3A.0.25 s B.0.5 s C.1 s D.2 s二、共振洗衣机在
衣服脱水完毕拔掉电源后，电动机还要转动一会才能停下来.在拔掉电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减
弱直至停下来.(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱？(2)期间剧烈振动的原因是什么？1.共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相
等，即f驱＝f固.2.共振曲线如图4所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅.图4(1)从受力角度看：当驱动力
的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大.(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频
率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加.振动能量
最大，振幅最大.(3)认识曲线的形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小.f与f0相差越大，振幅越小.3.共振的利用与防
止(1)利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致.如共振筛、共振转速计等.(2)防止：在需要防止共振危害时，要
尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好.如：部队过桥应便步走.说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象.例3 (2
018·吉林八校联考高二下学期期中)下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )驱动
力频率/Hz304050607080受迫振动振幅/cm10.216.827.228.116.58.3A.f固＝60 Hz B.6
0 Hz＜f固＜70 HzC.50 Hz＜f固≤60 Hz D.以上三个都不对例4 (多选)下列关于共振和防止共振的说法，正确的
是( )A.共振现象总是有害的，所以要避免共振现象发生B.队伍过桥要慢行是为了不产生周期性的驱动力，从而避免产生共振C.火车过桥
慢行是为了使驱动力的频率远小于桥的固有频率，从而避免产生共振D.利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率，防止共振
危害时，应使驱动力的频率远离振动物体的固有频率1.(对阻尼振动的理解)(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是(
)A.振动的机械能逐渐转化为其他形式的能B.后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能C.后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能D.后
一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能2.(对受迫振动的理解)如图5所示，两个弹簧振子悬挂在同一个支架上，已知甲弹簧振子的固有频率
为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用下做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是
( )图5A.甲的振幅较大，且振动频率为8 HzB.甲的振幅较大，且振动频率为9 HzC.乙的振幅较大，且振动频率为9 HzD.
乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz3.(受迫振动、共振)(多选)如图6所示，在一根张紧的水平绳上悬挂五个摆，其中A、E的摆长为l
，B的摆长为0.5l，C的摆长为1.5l，D的摆长为2l，先使A振动起来，其他各摆随后也振动起来，则摆球振动稳定后( )图6A.
D的振幅一定最大B.E的振幅一定最大C.B的周期一定最短D.其余四个摆的周期相同4.(共振)(多选)(2018·静海一中高二下学期
期中)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是( )A.当ff0时，该振动系统的振幅一定随f减小而增大C.该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0D.该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f5.(受迫振动、共振)(2018·临漳一中高二下学期期中)如图7甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统.圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图象如图乙所示，圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时.下列说法正确的是( )图7A.小球振动的固有频率是4 HzB.小球做受迫振动时周期一定是4 sC.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大D.圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小 |
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