第一章 特殊平行四边形
1．1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．
2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力．(重难点)
阅读教材P2～4，完成下列问题：
(一)知识探究
1．有一组________________的平行四边形叫做菱形．
2．菱形具有________________的一切性质．
3．菱形是________图形，它的____________________就是它的对称轴．它有________对称轴，两条对称轴互相垂直．
4．菱形的四条边都相等．
5．菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分一组________．
(二)自学反馈
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
(2)有哪些特殊的三角形？
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；
(2)AC⊥BD.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．
又∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD.
(2)∵AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．
在等腰三角形ABD中，
∵OB＝OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分)．
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2.
∴OA＝＝＝3.
∴AC＝2OA＝6.
此题由菱形的性质可知AB＝AD，结合∠BAD＝60°，即可得到△ABD是等边三角形，从而可求AB的长度．再根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO，继而求出AC.
活动2 跟踪训练
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为( )
A．5 B．10
C．6 D．8
3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( )
A．3 cm2 B．4 cm2
C. cm2 D．2 cm2
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于________．
5．如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，连接AE、CE，请找出图中一对全等三角形为________________．
6．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E.求证：DE＝BE.
活动3 课堂小结
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的四条边相等．
3．菱形的对角线互相垂直．
【预习导学】
(一)知识探究
1．邻边相等 2.平行四边形 3.轴对称 对角线所在的直线 两条 5.互相垂直 对角
(二)自学反馈
(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD.
相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，
直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.A 3.D 4.5 5.△ABD≌△CBD或△ADE≌△CDE或△ABE≌△CBE 6.证明：∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA.又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD.∵DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC.∴DE＝CE＝BC.∴DE＝BE.
第2课时 菱形的判定
1．理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法．(重点)
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．(难点)
阅读教材P5～7，完成下列问题．
(一)知识探究
1．有一组________的平行四边形是菱形．
2．对角线________的平行四边形是菱形．
3．________的四边形是菱形．
(二)自学反馈
判断下列说法是否正确：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．( )
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：?ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴BA＝BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)．
有一组邻边相等的四边形是菱形．
例2 已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：?ABCD是菱形．
证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝AO2＋OB2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD.
∴?ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
活动2 跟踪训练
1．如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
2．如图，已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是( )
A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CD
C．AD为中线 D．EF⊥AD
3．将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形( )
A．三角形 B．不规则的四边形
C．菱形 D．一般平行四边形
4．如图所示，在?ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则?ABCD的周长是________．
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：
(1)△ADE≌△CDF；
(2)四边形ABCD是菱形．
活动3 课堂小结
菱形常用的判定方法：
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．有四条边相等的四边形是菱形．
【预习导学】
(一)知识探究
1．邻边相等 2.互相垂直 3.四边相等
(二)自学反馈
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.C 3.C 4.24
5．证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.∵在△AED和△CFD中，∴△AED≌△CFD(AAS)．
(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．
第3课时 菱形的性质与判定的运用
1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．(重难点)
2．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．
阅读教材P8～9，能灵活运用菱形的性质及判定．
自学反馈
如图所示：在菱形ABCD中，AB＝6.
(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC＝120°，求AC的长；
(4)求菱形ABCD的面积．
活动1 小组讨论
例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长为10 cm.
求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AED＝90°，
DE＝BD＝×10＝5(cm)．
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
AE＝＝＝12(cm)．
∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)．
(2)S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD
＝2×S△ABD＝2××BD×AE
＝BD×AE＝10×12＝120(cm2)．
菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.
活动2 跟踪训练
1．如图，菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线BD长10 cm，则∠ABC＝________°，AC＝________cm.
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.
3．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形．
活动3 课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获，还存在什么疑问？
【预习导学】
自学反馈
(1)6，6，6.(2)互相垂直平分．(3)6.(4)18.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．120 10 2.16
3．证明：∵MN垂直平分AC，∴AD＝DC，AE＝EC.由CE∥AB得∠DAO＝∠ECO，∠ADO＝∠CEO.又AO＝CO，∴△ADO≌△CEO.∴AD＝CE.∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AD＝DC.故四边形ADCE是菱形.
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