1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
1．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点)
3．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点)
阅读教材P11～13，完成下列问题：
(一)知识探究
1．有______________的平行四边形叫做矩形．
2．生活中你见到过的矩形有________、________.
3．矩形是________的平行四边形，具有平行四边形的________性质．
4．矩形的________都是直角．
5．矩形的对角线________．
6．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
(二)自学反馈
1．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？
2．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：
(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( )
(2)平行四边形是矩形．( )
(3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．( )
3．已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．若BD＝3 cm，则AC＝________cm.
活动1 小组讨论
例 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，求矩形对角线的长．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝×(180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.
利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．
活动2 跟踪训练
1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相互平行 B．对角线相等
C．对角线相互平分 D．对角相等
2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．1.5∶1 D．1∶1
3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E为AB、AC的中点．则下列结论中错误的是( )
A．CD＝AD B．∠B＝∠BCD
C．∠AED＝90° D．AC＝2DE
5．在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为________．
6．矩形的一条对角线长10 cm，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为________cm.
7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.
活动3 课堂小结
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【预习导学】
(一)知识探究
1．一个角是直角 2.五星红旗 毛巾 3.特殊 一切 4.四个角 5.相等 6.一半
(二)自学反馈
1．是轴对称图形，有两条对称轴． 2.(1)√ (2)× (3)√ 3.6
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.B 3.C 4.D 5. 6.5
7．证明：连接DE.∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°.∴∠ADE＝∠DEC.∴∠DEC＝∠AED.又∵DF⊥AE，∴∠DFE＝∠C＝90°.∵DE＝DE，∴△DFE≌△DCE.∴DF＝DC.
第2课时 矩形的判定
能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．(重难点)
阅读教材P14～16，完成下列问题：
(一)知识探究
1．对角线________的平行四边形是矩形．
2．有三个角是________的四边形是矩形．
(二)自学反馈
1．能够判断一个四边形是矩形的条件是( )
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
2．矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长________cm.
3．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线．
(1)判断AB和CD、BC和AD的位置关系？
(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？
(3)四边形ABCD是( )
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．不能确定
(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？
活动1 小组讨论
例1 如图，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求?ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝8.
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)．
∴由勾股定理得：BC＝＝4.
∴?ABCD的面积是BC×AB＝4×4＝16.
先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求．
活动2 跟踪训练
1．下列说法错误的是( )
A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有两个角是直角的四边形是矩形
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________．(填上你认为正确的一个答案即可)
4．如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．
5．如图，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)四边形BFDE为矩形．
活动3 课堂小结
矩形的判定方法：
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
3．有三个角是直角的四边形是矩形．
【预习导学】
(一)知识探究
1．相等 2.直角
(二)自学反馈
1．C 2.5 3.(1)AB∥CD，BC∥AD.(2)90°.(3)C (4)相等．因为矩形的对角线相等．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.D 3.答案不唯一，如：∠A＝90° 4.12
5．证明：(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB＝90°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(AAS)．(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB.∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．
第3课时 矩形的性质与判定的运用
能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．(重难点)
阅读教材P16～18，完成下列问题：
自学反馈
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，则∠DAO＝________，AC＝________cm，S矩形ABCD＝________.
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________，可使它成为矩形．
活动1 小组讨论
例1 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝BD(矩形的对角线相等且互相平分)，∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角)．
∵ED＝3BE，∴BE＝OE.
又∵AE⊥BD，∴AB＝AO.
∴AB＝AO＝BO，即△ABO是等边三角形．
∴∠ABO＝60°.
∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB＝30°，∴AE＝AD＝×6＝3.
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°.
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
活动2 跟踪训练
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
2．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE
B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE
4．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝________.
5．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________________．(写出一种情况即可)
6．如图，?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
活动3 课堂小结
1．说说你的收获．
2．说说你的困惑．
3．说说你的方法．
【预习导学】
自学反馈
1．30° 5 cm2 2.答案不唯一，如：AC＝BD
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.D 3.B 4.5 5.答案不唯一，如：AB＝CD.
6．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AB∥CD.∴∠E＝∠F.又∠AOE＝∠COF.∴△AOE≌△COF.(2)连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形，理由：由(1)可知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF＝AC，∴四边形AECF是矩形.
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