2.6 应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程．
2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤．(重点)
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(重点)
阅读教材P52～53，完成下列问题：
(一)知识探究
1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；
(2)“设”：设元，也就是设________；
(3)“________”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；
(4)“解”：求出所列方程的________；
(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题________；
(6)“答”：就是写出答案．
2．解决与几何图形有关的一元二次方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．
(二)自学反馈
要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？
利用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系，此题是利用矩形的面积公式作为相等关系列方程．
活动1 小组讨论
例 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)
解：连接DF.
∵AD＝CD，BF＝CF，
∴DF是△ABC的中位线．
∴DF∥AB，且DF＝AB.
∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里，
∴DF⊥BC，DF＝100海里，BF＝100海里．
设相遇时补给船航行x海里，那么
DE＝x海里，AB＋BE＝2x海里，EF＝AB＋BF－(AB＋BE)＝(300－2x)海里．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得x2＝1002＋(300－2x)2，
整理，得3x2－1 200x＋100 000＝0.
解这个方程，得
x1＝200－≈118.4，x2＝200＋(不合题意，舍去)．
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．
解本题的关键是找到等量关系，利用勾股定理列方程求解．
活动2 跟踪训练
1．从正方形铁片上截去2 cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48 cm2，则原来的正方形铁片的面积是( )
A．8 cm B．64 cm
C．8 cm2 D．64 cm2
2．将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A．7 m B．8 m
C．9 m D．10 m
3．用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？如果能，说明围法．
4．如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽．
这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．
活动3 课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．
【预习导学】
(一)知识探究
1．(2)未知数 (3)列 (4)解 (5)有意义
(二)自学反馈
设镜框边的宽度为x cm，则有(29＋2x)(22＋2x)＝(＋1)×(29×22)，即4x2＋102x－159.5＝0，解得x1＝1.48，x2＝－26.98(舍去)．答：镜框边的宽度应是1.48 cm.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.A 3.(1)设此长方形的宽为x cm，则长为(20－x)cm.根据题意，得x(20－x)＝75，解得x1＝5，x2＝15(舍去)．答：此长方形的宽是5 cm.(2)不能．理由：由题意，得x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0.∵Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴此方程无实数解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．
4．假设三条马路修在如图所示位置．
设马路宽为x，则有(40－2x)(26－x)＝144×6，化简，得x2－46x＋88＝0，解得x1＝2，x2＝44.由题意，知40－2x＞0，26－x＞0，则x＜20.故x2＝44不合题意，应舍去，∴x＝2.答：马路的宽为2 m．
第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．(重点)
阅读教材P54～55，完成下列问题：
(一)知识探究
1．单件商品利润＝________－________.
2．利润率＝＝.
3．售价＝进价×(1＋________)
4．总利润＝每件商品的________×商品的________．
(二)自学反馈
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．如果每天盈利1 600元，每件应降价多少元？
活动1 小组讨论
例 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元．调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系是：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元．
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是(2 900－x)元，每台冰箱的销售利润为(2 900－x－2 500)元，平均每天销售冰箱的数量为(8＋4×)台．这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决．
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得
(2 900－x－2 500)(8＋4×)＝5 000.
解这个方程，得x1＝x2＝150.
2 900－150＝2 750.
所以，每台冰箱应定价为2 750元．
利用一元二次方程解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
活动2 跟踪训练
1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6 125元，每件商品应降价( )
A．3元 B．2.5元
C．2元 D．5元
2．某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为( )
A．20%或－220% B．40%
C．－220% D．20%
3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2 100元．
4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
活动3 课堂小结
找准题目中的等量关系，会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．
【预习导学】
(一)知识探究
1．售价 进价 3.利润率 4.利润 销量
(二)自学反馈
设每件应降价x元，根据题意，得(44－x)(20＋5x)＝1 600.整理得x2－40x＋144＝0.解这个方程，得x1＝4，x2＝36(不合题意，舍去)．答：每件服装应降价4元．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.D 3.20
4．设每件降价x元，则每件销售价为(60－x)元，每星期销量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080，解得x1＝1，x2＝4.因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取x＝4.所以定价为60－x＝56(元)．答：应将销售单价定为56元．
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