1.熟悉菱形、矩形、正方形的定义及理解它们之间的关系.2.理解和掌握菱形、矩形、正方形的性质及判定,会进行简单的计算与证明.1.经历运用几何
符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.2.经历课前准备,总结、探索三种特殊平行四边形的关系,发展总
结归纳能力和初步的演绎推理的能力.3.在具体问题的证明过程中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数
学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.通过“猜想—总结—证明—应用”的数学活动提升科学素养.【重点】1.三种特殊平行四边形的性质
和判定的复习.2.三种特殊平行四边形的关系.【难点】 总结菱形、矩形、正方形的判定方法的多样性和系统性.专题一 菱形的性质与判定【
专题分析】菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵活使用.判定一个四边形是否为
菱形,可以结合具体条件选择合适的菱形的判定定理来判定,为利用菱形的性质解决问题提供条件. 如图所示,在ΔABC中,AD是BC边上的
中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证AF＝DC;(2)若AB⊥AC,试判断四边形A
DCF的形状,并证明你的结论.〔解析〕 (1)先根据条件证明ΔAFE与ΔDBE全等,然后根据全等的性质结合三角形的中线推出结论;(
2)先证明四边形ADCF是平行四边形,再判定其是菱形.证明:(1)∵E是AD的中点,∴AE＝ED.∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DB
E,∠FAE＝∠BDE,∴ΔAFE≌ΔDBE,∴AF＝DB.∵AD是ΔABC中BC边上的中线,∴DB＝DC,∴AF＝DC.解:(2
)四边形ADCF是菱形.证明:由(1)知AF＝DC.又∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.又∵AB⊥AC,∴ΔABC是直角
三角形,∵AD是其BC边上的中线,∴AD＝BC＝DC.∴平行四边形ADCF是菱形.[方法归纳] 菱形的判定可以从边与对角线两方面考
虑,从边看:邻边相等的平行四边形和四条边相等的四边形是菱形;从对角线看:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【针对训练1】 (201
4·南京中考)如图所示,在ΔABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平
行四边形;(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?证明:(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,即DE是ΔAB
C的中位线,∴DE∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形.解:(2)(本题答案不唯一,下列解法供参考)当AB＝BC时
,四边形DBFE是菱形.∵D是AB的中点,∴BD＝AB.∵DE是ΔABC的中位线,∴DE＝BC.∵AB＝BC,∴BD＝DE,由(1
)知四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形. (2014·枣庄中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,过点A,C作对角
线AC的垂线,分别交CB和AD的延长线于点E,F,AE＝3,则四边形AECF的周长为( ) A.22 B.18 C.14 D.11
〔解析〕 在菱形ABCD中,∠BAC＝∠BCA,∵AE⊥AC,∴∠BAC＋∠BAE＝∠BCA＋∠E＝90°,∴∠BAE＝∠E,∴B
E＝AB＝4,∴EC＝BE＋BC＝4＋4＝8,同理,可得AF＝8,则AF＝EC,又∵AD∥BC,∴四边形AECF是平行四边形,∴四
边形AECF的周长＝2(AE＋EC)＝2×(3＋8)＝22.故选A.[规律方法] 本题主要运用菱形的性质以及平行四边形的性质求出四
边形AECF的周长,注意熟练掌握并灵活运用菱形的性质是关键.【针对训练2】 已知一个菱形的周长是20 cm,两条对角线的长度之比是
4∶3,则这个菱形的面积是( )A.12 cm2B.24 cm2C.48 cm2D.96 cm2〔解析〕 设菱形的对角线的长分别为
8x cm和6x cm,已知菱形的周长为20 cm,故菱形的边长为5 cm,根据菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直平分,即可知(4
x)2＋(3x)2＝25,解得x＝1,故菱形的对角线的长分别为8 cm和6 cm,所以菱形的面积＝×8×6＝24(cm2).故选B
.专题二 矩形的性质与判定【专题分析】矩形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵
活使用.判定一个四边形是否为矩形,可以结合具体条件选择合适的矩形的判定定理来判定,为利用矩形的性质解决问题提供条件. (2014·
湘潭中考)如图所示,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F,若AD＝3,BD＝6.(1)求证ΔEDF≌ΔCBF
;(2)求∠EBC.〔解析〕 (1)首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE＝BC,∠E＝∠C＝90°,对顶角∠DFE＝∠BFC,利
用AAS可判定ΔDEF≌ΔBCF;(2)在RtΔABD中,根据AD＝3,BD＝6,可得出∠ABD＝30°,然后利用折叠的性质可得∠
DBE＝30°,继而可求得∠EBC的度数.证明:(1)由折叠的性质和矩形的性质可得DE＝BC,∠E＝∠C＝90°,在ΔDEF和ΔB
CF中,∴ΔDEF≌ΔBCF(AAS).解:(2)在RtΔABD中,∵AD＝3,BD＝6,∴∠ABD＝30°,由折叠的性质可得∠D
BE＝∠ABD＝30°,∴∠EBC＝90°-30°-30°＝30°.[易错提示] 此类问题具有一定的综合性,解题时要注意认真审题,
恰当运用翻折变换的性质,依此提供证题所需的信息.此题容易出错的地方:①不能由折叠的性质结合矩形的性质得出三角形全等的条件;②根据A
D,BD的长无法得出∠ABD的度数.【针对训练3】 (2014·沈阳中考)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
点E,F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证OE＝OF.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADC＝∠BCD＝9
0°,AC＝BD,OD＝BD,OC＝AC,即OD＝OC.∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ADC-∠ODC＝∠BCD-∠OCD,即∠EDO
＝∠FCO.又∵DE＝CF,∴ΔODE≌ΔOCF.∴OE＝OF. (2014·百色中考)如图所示,已知点E,F在四边形ABCD的对
角线延长线上,AE＝CF,DE∥BF,∠1＝∠2.(1)求证ΔAED≌ΔCFB;(2)若AD⊥CD,四边形ABCD是什么特殊的四边
形?请说明理由.〔解析〕 (1)由DE∥BF,可得∠E＝∠F,结合已知条件,利用AAS便可说明ΔAED≌ΔCFB;(2)由ΔAED
≌ΔCFB,可得AD＝CB,∠EAD＝∠FCB,利用等角的补角相等,可得∠DAC＝∠BCA,进而得到AD∥BC,根据“一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形,再利用“有一个角为直角的平行四边形是矩形”,便可得到四边形ABCD是矩
形.证明:(1)∵DE∥BF,∴∠E＝∠F.又∵∠1＝∠2,AE＝CF,∴ΔAED≌ΔCFB(AAS).解:(2)四边形ABCD是
矩形.理由如下:由(1)知ΔAED≌ΔCFB,∴AD＝CB,∠EAD＝∠FCB,∴180°-∠EAD＝180°-∠FCB,即∠DA
C＝∠BCA,∴AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD⊥CD,∴∠ADC＝90°,∴?ABCD为矩形.[方法归纳] 矩形
的判定方法:一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;三个角是直角的四边形是矩形.【针对训练4】 如图所示,Δ
ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,AE是ΔBAC的外角平分线,DE∥AB交AE于点E,求证四边形ADCE是矩形.证明:∵在ΔA
BC中,AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB.又∵AD⊥BC,∴BD＝CD.∵AE是ΔBAC的外角平分线,∴∠1＝∠EAC.又∵∠1＋
∠EAC＝∠ABC＋∠ACB,∴∠EAC＝∠ACB,∴AE∥BD.又∵DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE＝BD,AB
＝DE,∴AE∥CD,AE＝CD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AB＝AC,AB＝DE,∴AC＝DE,∴?ADCE是矩形.专题
三 正方形的性质与判定【专题分析】正方形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵活
使用.判定一个四边形是否为正方形,可以结合具体条件选择合适的正方形的判定定理来判定,为利用正方形的性质解决问题提供条件. (201
4·扬州中考)如图所示,已知RtΔABC中,∠ABC＝90°,先把ΔABC绕点B顺时针旋转90°后至ΔDBE,再把ΔABC沿射线A
B平移至ΔFEG,DE,FG相交于点H.(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;(2)连接CG,求证四边形CBEG是正方形
.〔解析〕 (1)因为旋转、平移不改变图形的形状和大小,可以得到对应边和对应角相等,在判断DE⊥FG后,主要运用了“两个锐角互余的
三角形是直角三角形”进行证明;(2)在已知∠GEF为直角的条件下,需要证明四边形CBEG是平行四边形,得到四边形CBEG为矩形,再
加上邻边BE＝EG,即可判定矩形CBEG为正方形.解:(1)DE⊥FG.理由如下:由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE,∠ABC＝∠D
BE＝90°,∴∠BDE＋∠BED＝90°,∴∠GFE＋∠BED＝90°,∴∠FHE＝90°,即DE⊥FG.(2)∵ΔABC沿射线
AB平移至ΔFEG,∴CB∥GE,CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形.又∵∠GEF＝∠ABC＝90°,∴四边形CBEG是矩形
.又∵EG＝BE,∴四边形CBEG是正方形.[规律方法] (1)结论性探究题的解题策略是从结论出发,执果索因,直到已知条件和定理.
(2)在证明一个四边形是正方形时,通常先证明其为平行四边形,再证明其为矩形(或菱形),最后得到正方形.(3)本题中涉及两个基本图形
和一个基本思路:如图(1)所示的是典型的“三垂线”图形,当∠B＝∠BEG＝∠GHE＝90°时,∠BED＝∠G,反之也可以成立;如图
(2)所示的也是有关正方形问题的经典图形,DE和GF若相等必垂直,反之也可以成立.【针对训练5】 如图所示,点P是正方形ABCD的
边AB上一点(不与A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于( )A.75°B
.60°C.45°D.30°〔解析〕 过点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,则∠F＝90°.∵四边形ABCD为正方形,∴AD＝
AB,∠A＝∠ABC＝90°,∴∠ADP＋∠APD＝90°,由旋转可得PD＝PE,∠DPE＝90°,∴∠APD＋∠EPF＝90°,
∴∠ADP＝∠EPF.在ΔAPD和ΔFEP中,∠ADP＝∠FPE,∠A＝∠F＝90°,PD＝EP,∴ΔAPD≌ΔFEP,∴AP＝F
E,AD＝FP,又∵AD＝AB,∴PF＝AB,即AP＋PB＝PB＋BF,∴AP＝BF,∴BF＝EF,又∵∠F＝90°,∴ΔBEF为
等腰直角三角形,∴∠EBF＝45°,又∵∠ABC＝90°,∴∠CBE＝45°.故选C. (2014·自贡中考)如图所示,四边形AB
CD是正方形,BE⊥BF,BE＝BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE＝CF.(2)若∠ABE＝55°,求∠EGC的大小.〔解析
〕 (1)用SAS证明ΔABE≌ΔCBF;(2)根据∠EGC＝∠EBG＋∠BEF,∠EBG＝90°-∠ABE,ΔBEF是等腰直角三
角形求解.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,∠ABC＝90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF＝90°,∴∠ABE＝∠C
BF.∵AB＝BC,∠ABE＝∠CBF,BE＝BF,∴ΔABE≌ΔCBF,∴AE＝CF.解:(2)∵BE＝BF,∠EBF＝90°,
∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°,∠ABE＝55°,∴∠GBE＝35°,∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.[方法归纳]
证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等,从而得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四边相等;四个内角都等
于90°;对角线互相垂直平分且相等,且每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”并根据题意选取合适的性质
加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等为45°,底边上的高线、中线、顶角的平分线重合,且等于底边的一半.三角形全等的判定方法:SAS
,ASA,AAS,SSS,HL等.根据图中的条件选取合理的方法证明三角形全等是关键.【针对训练6】 (2014·泸州中考)如图所示
,正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且AE⊥BF,垂足为G,求证AE＝BF.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝
BC,∠ABC＝∠BCF＝90°,∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥BF,垂足为G,∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝
∠CBF.在ΔABE与ΔBCF中,∴ΔABE≌ΔBCF(ASA),∴AE＝BF.专题四 方程思想【专题分析】在探究特殊四边形的条件
是什么时,常把需要满足的条件作为结论构造方程来解决问题,这不失为一种解决问题的捷径. 如图所示,在RtΔABC中,∠B＝90°,A
C＝60 cm,∠A＝60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/
秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0 BC于点F,连接DE,EF.(1)求证AE＝DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由
.证明:(1)在ΔDFC中,∠DFC＝90°,∠C＝30°,DC＝4t,∴DF＝2t.又∵AE＝2t,∴AE＝DF.解:(2)能.
理由如下:∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.由(1)知AE＝DF,∴四边形AEFD为平行四边形.若四边形AEFD为菱形,则A
E＝AD.∵AD＝AC-DC＝(60-4t) cm,AE＝2t cm,∴60-4t＝2t,解得t＝10,∴当t＝10时,四边形AE
FD为菱形.【针对训练7】 如图所示,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,AC∶BD＝1∶2,则AO∶BO＝ ,菱
形ABCD的面积S＝ .?〔解析〕 ∵四边形ABCD是菱形,∴AO＝AC,BO＝BD,AC⊥BD,∴AO∶BO＝AC∶BD＝1∶2
.∵菱形ABCD的周长为8,∴AB＝2,设AO＝k,BO＝2k,则AB＝k＝2,∴k＝2,∴AO＝2,BO＝4,∴菱形ABCD的面
积S＝×4＝16.〔答案〕 1∶2 16专题五 数形结合思想【专题分析】数形结合思想,就是把数、式与图形结合起来考虑,用几何图形直
观地反映和描述数量关系.用代数方法来分析几何图形中蕴含的数量关系,从而使问题巧妙、快速解决.涉及镶嵌的计算问题时,常要结合图形探索
镶嵌的边角关系,构造方程,来解决边角计算问题. 如图所示,用8块相同的小矩形地砖拼成一个大矩形,则每个小矩形地砖的面积是( )A.
200 cm2B.300 cm2 C.600 cm2D.2400 cm2〔解析〕 根据图形中蕴含的数量关系,可得每块小矩形地砖的长
与宽的和是40 cm,由矩形的对边相等可知2个小矩形的长等于一个小矩形的长与3个宽的和,因此可列出表示大矩形的长与宽关系的二元一次
方程组,进而求出每个小矩形的长、宽和面积.于是,设每个小矩形的长为x cm,宽为y cm,由图得解得即每个小矩形地砖的面积是30×
10＝300(cm2).故选B.【针对训练8】 将图(1)中的正方形作如下操作:第1次:分别连接各边中点,如图(2)所示,得到5个
正方形;第2次:将图(2)中左上角的正方形按上述方法再分割,如图(3)所示,得到9个正方形,….以此类推,根据以上操作,若要得到2
013个正方形,则需要操作的次数是( )A.502B.503C.504D.505〔解析〕 找到规律:第n次操作,得到的正方形个数为
4n＋1.当4n＋1＝2013时,n＝503.故选B.本章质量评估(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30
分)1.如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD＝120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )A.25B.20C.
15D.102.四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件中能判定此四边形是正方形的是( )①AC＝BD,AB∥CD,AB＝CD
;②AD∥BC,∠BAD＝∠BCD;③AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC;④AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD.A.1个 B.2个
C.3个 D.4个3.RtΔABC中,CD是斜边AB上的高,∠A＝25°,则∠BCD度数为( )A.25°B.65°C.15°D
.35°4.如图所示,菱形ABCD中,AB＝2,∠A＝120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK＋QK的最
小值为( )A.1B.C.2D.＋15.(2014·黄石中考)如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1＋∠2的
度数是( )A.30°B.60°C.90°D.120°6.(2014·南昌中考)如图(1)所示,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个
小矩形,得到一个“图案”,如图(2)所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图(3)所示,则新矩形的周长可表示为( )A.2
a-3bB.4a-8bC.2a-4bD.4a-10b7.(2014·丽水中考)如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作
的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根
据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形8.(2014·上海中考)如图所示,已知A
C,BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( )A.ΔABD与ΔABC的周长相等B.ΔABD与ΔABC的面积相等C.
菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍9.(2014·聊城中考)如图所示,在矩形ABCD中,边A
B的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF＝AE＋FC,则BC的长为( )
A.2B.3C.6D.10.(2014·德州中考)如图所示,在一张矩形纸片ABCD中,AB＝4,BC＝8,点E,F分别在AD,BC
上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①四边形CFHE是菱形;②CE平分∠D
CH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点H与点A重合时,EF＝2.以上结论中,你认为正确的有( )A.1个B.2个C.3个
D.4个二、填空题(每小题4分,共24分)11.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作BF⊥a于点F,DE
⊥a于点E,若DE＝4,BF＝3,则EF的长为 .?12.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA
的中点,若AB＝2,AD＝4,则图中阴影部分的面积为 .?13.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F
,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC＝8,BD＝6,则四边形EFGH的面积为 .?14.(2014·天门中考)将相
同的矩形卡片按如图所示的方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,以此类推,摆放2014个时,实线部分长为 .?…15.(
2014·大连中考)如图所示,菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠BCO＝55°,则∠ADO＝ °.?16.(2014·十堰
中考)如图所示,在ΔABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE＝DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②B
F∥EC;③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 (只填写序号).?三、解答题(共66分)17.(
6分)如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC.18.(6分)如图所示,在正方形
ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.19.(8分)如图
所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.(1)求证ΔBEC≌ΔDFA;(2)求证四边形AECF是平
行四边形.20.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,以AC为斜边作RtΔAEC,使∠BED＝90°,则四边形ABCD是矩形.
试说明理由.21.(9分)如图所示,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB＝30°,AB＝2.(1)求AC的长;(2)求∠
AOB的度数;(3)以OB,OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.22.(9分)(2014·贵阳中考)如图所示,在RtΔ
ABC中,∠ACB＝90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE,连接AF,CD.
(1)求证四边形ADCF是菱形;(2)若BC＝8,AC＝6,求四边形ABCF的周长.23.(9分)如图所示,在RtΔABC中,∠A
CB＝90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证C
E＝AD;(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊的四边形?说明你的理由;(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件
时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.24.(11分)(2014·临沂中考)问题情境:如图(1)所示,四边形ABCD是正方形
,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.探究展示:(1)求证AM＝AD＋MC;(2)AM＝DE＋BM是否成立?若
成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.拓展延伸:(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图(2)所示,探究展
示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.【答案与解析】1.B2.A3.A4.B5.C(解析:由题意得剩下的三角
形是直角三角形,所以∠1＋∠2＝90°.故选C.)6.B(解析:每个小矩形的长为(a-b),宽为(a-3b),则拼成的新矩形的周长
为2[(a-b)＋(a-3b)],化简得4a-8b.故选B.)7.B(解析:由题意知AC＝BC＝BD＝AD,则四边形ADBC为菱形
.故选B.)8.B(解析:根据菱形的性质,知ΔABD与ΔABC中有边AB＝AB,AD＝BC,很明显AC与BD不一定相等,所以选项A
错误;根据平行线的性质:平行线之间的距离处处相等,所以ΔABD与ΔABC为同底等高的两个三角形,所以它们的面积相等,所以选项B正确
;选项C,D都是错误的.故选B.)9.B(解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC,∵四边形BEDF是菱形,∴DE＝BF.∴AE
＝CF.∵EF＝AE＋FC,∴AE＝OE.∴RtΔAEB≌RtΔOEB.∴AB＝OB＝3.∴BD＝6.∴AD＝BC＝＝3.故选B.
)10.C(解析:∵FH与CG,EH与CF均为矩形ABCD中对边AD,BC上一部分,∴FH∥CG,EH∥CF,∴四边形CEHF是平
行四边形,又由翻折的性质可得CF＝FH,∴平行四边形CEHF是菱形,故①正确;由四边形CEHF是菱形,可知∠HCF＝∠HCE,若C
E平分∠DCH,只有∠DCE＝30°,故②错误;当H与A重合时,设BF＝x,则AF＝FC＝8-x,在RtΔABF中,AB2＋BF2
＝AF2,即42＋x2＝(8-x)2,解得x＝3,得到BF的最小值为3,当点G与点D重合时,CF＝CD＝4,∴BF＝BC-CF＝4
,得到BF的最大值为4,∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确;如图所示,过点F作FM⊥AD于M,由③可知BF＝HM＝3,∴
BC-BF＝5,∵四边形CEHF是菱形,∴EH＝CF＝5,∴EM＝EH-HM＝2,∵在RtΔEMF中,MF＝AB＝4,∴EF＝＝2
,故④正确.故选C.)11.7(解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°,∴∠BAF＋∠DAE＝90°.∵B
F⊥AF,DE⊥AE,∴∠AFB＝∠DEA＝90°,∠BAF＋∠ABF＝90°,∴∠ABF＝∠DAE.在ΔAFB和ΔDEA中,∠A
BF＝∠DAE,∠AFB＝∠AED,AB＝AD,∴ΔAFB≌ΔDEA,∴AF＝DE＝4,AE＝BF＝3,∴EF＝AF＋AE＝4＋3
＝7.)12.413.1214.5035 (解析:第一个图形实线部分长为1＋2＝3;第二个图形实线部分长为1＋2＋2＝5;第三个图
形实线部分长为1＋2＋2＋3＝8;第四个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＝10;第五个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＋3＝1
3;第六个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＋3＋2＝15;….可以发现变化规律为:第偶数个图形的实线部分长比前一奇数个图形的多2
,后一奇数个图形的实线部分长比前一偶数个图形的多3.综合分析可以发现:当矩形纸片n为偶数时,实线部分的长为5×,因此摆放2014个
矩形时,实线部分长为5035.故填5035.)15.35 (解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AD∥BC.∴∠BOC＝9
0°,∠CBO＝∠ADO.∵∠BCO＝55°,∴∠CBO＝90°-55°＝35°.∴∠ADO＝35°.)16.③ (解析:需添加条
件③.理由:∵点D是BC的中点,∴BD＝DC,又∵DE＝DF,∴四边形BECF为平行四边形,∵AB＝AC,D是BC的中点,∴AD⊥
BC,∴平行四边形BECF为菱形.故填③.)17.证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是
菱形,∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.∵四边形ABCD是菱形,∴CD＝BC.∴OE＝BC.
18.证明:连接MC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝CD,∠ADM＝∠CDM,又∵DM＝DM,∴ΔADM≌ΔCDM,∴AM＝C
M.∵ME∥CD,MF∥BC,∴四边形CEMF是平行四边形,又∵∠ECF＝90°,∴?CEMF是矩形,∴EF＝MC,又∵AM＝CM
,∴AM＝EF.19.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD,AD＝BC,又∵E,F分别是边AB,CD的中点,∴BE＝D
F,∵在ΔBEC和ΔDFA中,BC＝DA,∠B＝∠D,BE＝DF,∴ΔBEC≌ΔDFA(SAS). (2)由(1)得:CE＝AF,
AE＝CF.故可得四边形AECF是平行四边形.20.解:连接OE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分.又因为Δ
BED,ΔAEC是直角三角形,且BD,AC是斜边,所以OE＝BD,OE＝AC.所以AC＝BD.所以平行四边形ABCD是矩形.21.
解:(1)在矩形ABCD中,∠ABC＝90°,因为在RtΔABC中,∠ACB＝30°,所以AC＝2AB＝4.(2)由(1)知在矩形
ABCD中,AO＝BO＝2.又因为AB＝2,所以ΔAOB是等边三角形,所以∠AOB＝60°. (3)由勾股定理,得BC＝＝2,SΔ
ABC＝×2×2＝2.所以SΔBOC＝SΔABC＝,所以菱形OBEC的面积是2.22.(1)证明:∵ΔADE绕点E旋转180°得到
ΔCFE,∴AE＝CE,DE＝EF,即AC与DF互相平分,∴四边形ADCF是平行四边形.∵D,E分别为AB,AC边上的中点,∴DE
∥BC.∵∠ACB＝90°,∴∠AED＝90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形. (2)解:在RtΔABC中,BC＝8,AC
＝6,∴AB＝＝10,又∵点D是AB边上的中点,∴AD＝AB＝5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF＝FC＝AD＝5,∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝10＋8＋5＋5＝28.23.(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠DFB,∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE＝AD. (2)解:四边形BECD是菱形.理由:∵D为AB中点,∴AD＝BD.由(1)知CE＝AD,∴BD＝CE.又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ACB＝90°,D为AB中点,∴CD＝BD,∴四边形BECD是菱形. (3)解:当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形,理由:∵∠ACB＝90°,∠A＝45°,∴∠ABC＝∠A＝45°,∴AC＝BC.又∵D为AB中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB＝90°,由(2)知四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形.24.(1)证明:延长AE,BC交于点N,如图(1)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE＝∠MAE.∴∠ENC＝∠MAE.∴MA＝MN.在ΔADE和ΔNCE中,∴ΔADE≌ΔNCE(AAS).∴AD＝NC.∴MA＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC. (2)解:AM＝DE＋BM成立.证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图(2)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°,AB＝AD,AB∥DC.∵AF⊥AE,∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°-∠BAE＝∠DAE.在ΔABF和ΔADE中,∴ΔABF≌ΔADE(ASA).∴BF＝DE,∠F＝∠AED.∵AB∥DC,∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM,∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM. (3)解:(1)成立;(2)不成立. |
|
