单元测试(一) 特殊平行四边形(BJ)
(满分：150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)
1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如果要证明ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
7．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( )
A．12＋12 B．2＋6
C．12＋ D．24＋6
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( )
A．16a B．12a
C．8a D．4a
9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )
A．8 B．4
C．8 D．16
10．下列命题中，错误的是( )
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等且互相垂直平分
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )
A．40° B．35°
C．20° D．15°
13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A．75° B．60° C．55° D．45°
14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )
A. B．2 C. D．2
15．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)
16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．
18．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．
20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．
三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)
21．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？
22．(8分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．
23．(10分)如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为9，求正方形的边长．
24.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长．
25．(12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
26．(14分)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．
27．(16分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．
参考答案
1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C 11.B 12.C 13.B 14.A 15.B 16.2 17.60 18.①④ 19.AC＝BD或AB⊥BC 20.22.5
21.∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86 cm，且AC＝BD＝13 cm， ∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，
即矩形ABCD的周长是34 cm.
22.证明：∵∠BAD＋∠ADC＝180°， ∴AB∥CD.又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
∵△AOB是等边三角形， ∴AO＝BO. ∴2AO＝2BO，即AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． 2
23.设正方形的边长为x，
∵AC为正方形ABCD的对角线， ∴AC＝x. ∴S菱形AEFC＝AE·CB＝x·x＝x2. ∴x2＝9. ∴x2＝9. ∴x＝±3.舍去x＝－3. ∴正方形边长为3.
24.(1)在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∴∠ABD＝60°.
(2)由(1)可知BD＝AB＝4，
又∵O为BD的中点， ∴OB＝2.
又∵OE⊥AB，∠ABD＝60°， ∴∠BOE＝30°. ∴BE＝OB＝1.
25.(1)由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等．
(2)选择∠AFB＝∠AED，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD.
在Rt△BAF和Rt△ADE中， ∴Rt△BAF≌Rt△ADE(HL)． ∴∠AFB＝∠AED.
26.∵四边形CDEF是正方形， ∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.
∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°. ∴∠AOC＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠BOD＝90°. ∴∠AOC＝∠BOD.
∵在△COA和△DOB中， ∴△COA≌△DOB. ∴OA＝OB.
∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形．
由勾股定理得AB＝＝OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵四边形CDEF是正方形， ∴FC⊥CD，OD＝OF＝OC. ∴CA＝DA. ∴OA＝CF＝1. ∴AB＝. ∴AB的最小值为.
27.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.
又∵M是AD的中点， ∴AM＝DM.
在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS)．
（2）四边形MENF是菱形．
证明：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点， ∴NE∥MF，NE＝MF. ∴四边形MENF是平行四边形．
由(1)，得BM＝CM， ∴ME＝MF. ∴四边形MENF是菱形．
（3）当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点， ∴AD＝2AM.
∵AD∶AB＝2∶1， ∴AM＝AB.
∵∠A＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝45°.
同理：∠DMC＝45°. ∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°.
∵四边形MENF是菱形， ∴四边形MENF是正方形．
故答案为2∶1.
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