菱形的性质
选择题1. （2011江苏无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
2.（2011江苏淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）
A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm
3. （2011云南保山）如图，在菱形ABCD中，BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是___________．
4.（2011?青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A、20 B、14 C、28 D、24
5 （2011，台湾省）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（ ）
A、8 B、9 C、11 D、12
6. （2011山东济南）如图，菱形ABCD的周长是16，A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7. （2010广东佛山）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
8. （2011广东省茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
A、3公里 B、4公里C、5公里 D、6公里
9.（2011?包头）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A、16 B、16 C、8 D、8
10. （2011湖北孝感）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．(3，) B．(3，－)
C．(，) D．(，－)
11. （2011湖南衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4）
C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4）
12.（2011浙江嘉兴）如图，五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）
A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm答案：A
填空题1. （2011江苏南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
答案：2．
. （2011重庆綦江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离
答案：．
.（2011四川雅安）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为 ．
答案：（3，4）．
. （2011河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝ ．
故答案为：5．
. （2011福建龙岩）如图，菱形ABCD周长为8cm．BAD=60°，则AC= cm．
故答案为2．
. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 .
故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2．
解答题1. （2011南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点C的反比例函数解析式．
解答：解：（1）A（0，4），B（﹣3，0），OB=3，OA=4，AB=5．在菱形ABCD中，AD=AB=5，OD=1，D（0，﹣1）．（2）BC∥AD，BC=AB=5，C（﹣3，﹣5）．
设经过点C的反比例函数解析式为y=．把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15，y=．
. （2011四川广安）如图5所示，在菱形ABCD中，ABC＝ 60°，DEAC交BC的延长线于点E．求证：DE＝BE．
解答：ABCD是菱形，
AD//BC，AB＝BC＝CD＝DA．
又ABC＝ 60°，
BC＝AC＝AD．
DE∥AC
∴ACED为平行四边形．
CE＝AD＝BC，DE＝AC．
DE＝CE＝BC，
（2011?湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
解答：解（1）在矩形ABCD中，ABC=90°，
Rt△ABC中，ACB=30°，
AC=2AB=4．
（2）在矩形ABCD中，
AO=OA=2，
又AB=2，
AOB是等边三角形，
AOB=60°．
（3）由勾股定理，得BC=，
．
，
. （2011湖州）如图，已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，且AD=BC，AF∥EC，
BE=DF，AF=EC，四边形AECF是平行四边形．
（2）解：四边形AECF是菱形，AE=EC，1=∠2，3=90°﹣2，4=90°﹣1，
. （2011广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。
求证：△ACEACF
【解答】解：证明：AC是菱形ABCD的对角线， FAC=∠EAC， AC=AC，AE=AF， ACE≌△ACF．
一、选择题
. （2011?西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
故选B．
. （2011?莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：EG⊥FH，四边形EFGH是矩形，HF平分EHG，EG=（BC﹣AD），四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
故选C．
.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C．D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
故选：B．
4. (2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形
故选D．
.（2011清远）如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D. AC＝BD
故选C．
二、填空题
. （2011?贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 18cm2．
. （2011福建省三明市，14,4分）如图，ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使ABCD成为菱形．你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）
故答案为：AB=BC或ACBD等．
三、解答题
. （2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
解答：证明：AD⊥BD，
ABD是Rt△
E是AB的中点，
BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
BE=DE，
EDB=∠EBD，
CB=CD，
CDB=∠CBD，
AB∥CD，
EBD=∠CDB，
EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
BD=BD，
EBD≌△CBD （SAS ），
BE=BC，
CB=CD=BE=DE，
菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
. （2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AGBD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．
解答：证明：（1）四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD且AB＝CD，ADBC且AD＝BC
E，F分别为AB，CD的中点，BE＝AB，DF＝CD，
四边形DEBF是平行四边形
在△ABD中，E是AB的中点，AE＝BE＝AB＝AD，而DAB＝60°
AED是等边三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE
平行四边形DEBF是菱形．
（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：
AD∥BC且AG∥DB ∴四边形AGBD是平行四边形
由（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，ADE＝DEA＝60°，
EDB＝DBE＝30° 故ADB＝90°
平行四边形AGBD是矩形．
.（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解答：解：是菱形．
理由如下：PE⊥AB，PFAD，且PE=PF，
AC是DAB的角平分线，
DAC=∠CAE，
四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，
DCA=∠CAB，
DAC=∠DCA，
DA=DC，
平行四边形ABCD是菱形．
. （2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
解答：（1）证明：如图，AE平分BAD，
1=∠2，
AB=AD，AE=AE，
BAE≌△DAE，
BE=DE，
AD∥BC，
2=∠3=∠1，
AB=BE，
AB=BE=DE=AD，
四边形ABED是菱形．
（2）解：△CDE是直角三角形．
如图，过点D作DFAE交BC于点F，
则四边形AEFD是平行四边形，
DF=AE，AD=EF=BE，
CE=2BE，
BE=EF=FC，
DE=EF，
又ABC=60°，ABDE，
DEF=60°，
DEF是等边三角形，
DF=EF=FC，
CDE是直角三角形．
. （2011?安顺）如图，在△ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
解答：（1）证明：由题意知FDC=∠DCA=90°，
EF∥CA，
AEF=∠EAC，
AF=CE=AE，
F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又AE=EA，
AEC≌△EAF，
EF=CA，
四边形ACEF是平行四边形．
（2）当B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：B=30°，ACB=90°，
AC=，
DE垂直平分BC，
BE=CE，
又AE=CE，
CE=，
AC=CE，
四边形ACEF是菱形．
. （2011?西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DECA，AEBD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是 矩形 ．
解答：解：（1）证明：矩形ABCD，
OA=OC，OD=OB，AC=BD，
OA=OD，
DE∥CA，AEBD，
四边形AODE是平行四边形，
四边形AODE是菱形．
（2）DE∥CA，AEBD，
四边形AODE是平行四边形，
菱形ABCD，
AC⊥BD，
AOD=90°，
平行四边形AODE是矩形．
故答案为：矩形．
. （2011?临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AC=AD；
（2）若B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．
解答：证明：（1）AB=AC，
B=∠BCA，
AD平分FAC，
FAD=∠B，
AD∥BC，
D=∠DCE，
CD平分ACE，
ACD=∠DCE，
D=∠ACD，
AC=AD；
证明：（2）B=60°，AB=AC，
ABC为等边三角形，
AB=BC，
ACB=60°，
FAC=∠ACE=120°，
BAD=∠BCD=120°，
B=∠D=60°，
四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
平行四边形ABCD是菱形．
. （2011丽江市中考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解答：解：是菱形．
理由如下：PE⊥AB，PFAD，且PE=PF，
AC是DAB的角平分线，
DAC=∠CAE，
四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，
DCA=∠CAB，
DAC=∠DCA，
DA=DC，
平行四边形ABCD是菱形．
. （2011浙江宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DEBF；
（2）若G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
解答：证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
4＝C，AD＝CB，AB＝CD．
点E、F分别是AB、CD的中点，
AE＝AB，CF＝CD．AE＝CF，ADE≌△CBF，
3＝CBF，ADB＝CBD，2＝FBD，DE∥BF，
（2）G＝90°，四边形AGBD是矩形，ADB＝90°，
2+∠3＝90°，2∠2+2∠3＝180°．1＝2，3＝4．
DE＝AE＝BE，AB∥CD，DEBF，四边形DEBF是菱形．
0. （2011浙江衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．
解答：（1）证明：DE∥AB，AEBC，
四边形ABDE是平行四边形，
AE∥BD，且AE=BD
又AD是BC边上的中线，
BD=CD
∴AE∥CD，且AE=CD
四边形ADCE是平行四边形
AD=CE
（2）证明：BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，
AD=BD=CD
又四边形ADCE是平行四边形
四边形ADCE是菱形
. （2011?安顺）如图，在△ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
解答：（1）证明：由题意知FDC=∠DCA=90°，
EF∥CA，
AEF=∠EAC，
AF=CE=AE，
F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又AE=EA，
AEC≌△EAF，
EF=CA，
四边形ACEF是平行四边形．
（2）当B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：B=30°，ACB=90°，
AC=AB，
DE垂直平分BC，
BE=CE，
又AE=CE，
CE=AB ，
AC=CE，
四边形ACEF是菱形．
. （2011?恩施）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PCCD与AE交于点P，QCBC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．
解答：解：AC=AD，AF是CD边上的中线，
AFC=90°，
ACF+∠CAF=90°，
ACF+∠PCA=90°，
PCA=∠CAF，
PC∥AQ，
同理：APQC，
四边形APCQ是平行四边形．
PEC≌△QFC，
PC=QC，
四边形APCQ是菱形．
. （2011邵阳）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
解答：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：连接AC、BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EF∥AC，EF=AC，HGAC，HG=AC，GF=BD，EF=HG，EFHG，四边形EFGH是平行四边形．
（2）添加的条件是AC=BD．
图5
A
D
F
E
B
C
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