（一）讲
1．(8分)如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
(1)求证：BE＝BF；
(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
2.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由。同时指出△BCF是由△BDE经过如何变换得到?
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
证明：(l)∵菱形ABCD的边长为2，BD=2．
∴BD=BC 且∠BDE=∠8CF=60°．
∵AE+CF=2．
又∵AE+DE=AD=2
∴DE=CF
∴△BDE≌△BCF
(2)△BEF是等边三角形
理由如下：由(1)得：△BDE≌△BCF
∴BE=BF ，∠CBF=∠DBE。
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°
∴△BEF是等边三角形．
△BCF是由△BDE绕点B顺时针旋转60°得
到
3、（2011?恩施州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。
专题：证明题。
分析：等腰三角形三线合一，可得出∠AEC和∠AFC都是直角，这样用角的等量代换可证明∠FAC和∠PCA相等，可证明AQ∥PC，同理AP∥CQ，所以可先证明是平行四边形，然后根据邻边相等证明是菱形．
解答：解：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠ACF+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠CAF，
∴PC∥AQ，
同理：AP∥QC，
∴四边形APCQ是平行四边形．
∵△PEC≌△QFC，
∴PC=QC，
∴四边形APCQ是菱形．
4、（2011?海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．
（1）求证：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。
分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；
（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，
∵AP=BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；
（2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵△BDQ≌△ADP，
∴BQ=AP=2，
∵AD∥BC，
∴∠QBE=60°，
∴QE=QB?sin60°=2×=，BE=QB?cos60°=2×=1，
∵AB=AD=3，
∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1，
∴PE=PB+BE=2，
∴在Rt△PQE中，PQ==，
∴cos∠BPQ===．
点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
(二)资料
1．（本小题满分7分）
如图，已知四边形是菱形，点分别是边，的中点．求证：．
1．如图4，菱形ABCD中，∠BAD=60o ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为 ．
23．（本题满分10分）
已知：如图11所示，在中，
分别是边上的中点．
（1）求证：四边形是菱形（6分）
（2）若，求菱形的周长．（4分）
21．（本题满分10分）
如图8，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的
中点，连接E、BF、BD．
（1）求证：．（5分）
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊
四边形？请证明你的结论．（5分）
22、如图（11），E、F分别是等腰△ABC的腰AB、AC的中点。
（1）用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝5cm，BC＝8cm，求菱形AEMF的面积
22如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。
请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
23．(本题8分)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上， CE∥BF，连接BE、CF．
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．
已知：如图（12），在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连结BE、CE，。
求证：BE平分；
若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。
解：（1）证明：取BC的中点F，连贯EF。
∵E、F是AB、AC的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴AE ∥BF，即四边形ABFE为平行四边形。……………………1分
又∵，F为BC的中点，
∴。……………………………………………………2分
∴四边形ABFE为菱形。……………………………………………………3分
∴BE平分。 ……………………………………………………4分
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H。
∵四边形ABFE为菱形，∴AB=BF=。………………………………5分
∴，∵
又∵，∴。………………………………6分
∵BC=2EC=8，
。………………………………8分
∴。………9分
7．（本题满分8分）
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，
CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．
22.（8分）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°。
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由。
9．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达C1点的位置，连接AC1．
求证：四边形ABDC1是菱形．
25、（2011?安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。
分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．
解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，
∴EF∥CA，
∴∠AEF=∠EAC，
∵AF=CE=AE，
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．
又∵AE=EA，
∴△AEC≌△EAF，
∴EF=CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
又∵AE=CE，
∴CE=，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．
23、（2002?徐州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
考点：菱形的判定。
专题：证明题。
分析：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．
解答：证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （SAS ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．
18．（本小题8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
18. （9分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。
求证：△ACE≌△ACF
18、证明：∵ AC是菱形ABCD的对角线
∴ ∠CAE=∠CAF
在△ACE和△ACF中
AE=AF，∠CAE=∠CAF，AC=AC
∴ △ACE≌△ACF
23．（11·贵港）（本题满分9分）
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，CE＝2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD ∴∠1＝∠2
∵AB＝AD AE＝AE
∴△BAE≌△DAE ………………2分
∴BE＝DE
∵AD∥BC ∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠3 ∴AB＝BE ………………3分
∴AB＝BE＝DE＝AD
∴四边形ABED是菱形 ………………4分
（1）△CDE是直角三角形 理由如下：………………5分
如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，………………6分
则四边形AEFD是平行四边形
∴DF＝AE，AD＝EF＝BE
∵CE＝2BE
∴BE＝EF＝FC
∴DE＝EF
又∵∠ABC＝60°，AB∥DE
∴∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形 ………………8分
∴DF＝EF＝FC
∴△CDE是直角三角形 ………………9分
23．（11·西宁）（本小题满分8分）如图12 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）．若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，
其余条件不变，则四边形AODE是_ ▲ ．
【答案】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线相交于点O
∴AC＝BD（矩形对角线相等）
OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD（矩形对角线互相平分）
∴OA＝OD ………………2分
∵DE∥CA AE∥BD
∴四边形AODE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
………………4分
∴四边形AODE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）…………6分
（2）矩形
22、（2011?湖州）如图，已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
考点：平行四边形的判定与性质；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，
∴∠3=∠4，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=BC=5．
点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质及菱形的性质，解题的关键是运用平行四边形的性质和菱形的性质推出结论．
17、（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形。
17、证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,OB=OD …………………1分
∵∠EDO=∠FBO, ∠OED=∠OFB …………………2分
∴△OED≌△OFB
∴DE=BF …………………3分
又∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形 …………………4分
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF是菱形。 …………………5分22、（2011?临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．
考点：菱形的判定；等腰三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD；
（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．
解答：证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；
证明：（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．
23、在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G，
（1）求证：DE∥BF
（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形
22、(本题10分)
如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC。
求证：AD=EC； (2)当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；
22、(1)解法1
证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
∴AE∥CD，且AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=CE
解法2
证明：∵DE∥AB，AE∥BC
∴四边形ABDE是平行四边形，∠B=∠EDC
∴AB=DE
又∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∴△ABD≌△EDC(SAS)
∴AD=EC
(2)解法1
证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
解法2
证明：∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，
∴DE⊥AC
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
解法3
证明：∵∠BAC=Rt∠，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵AD=EC
∴AD=CD=CE=AE
∴四边形ADCE是菱形
(3)解法1
解：∵四边形ADCE是菱形
∴AO=CO，∠ADO=90°,
?又∵BD=CD
∴OD是△ABC的中位线，则
∵AB=AO
∴
∴在Rt△AOD中，
解法2
解：∵四边形ADCE是菱形
∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90°，
∵AB=AO
∴AB=
∴在Rt△ABC中，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA
∴
22、（2011?肇庆）如图．矩形ABCD的对角线相交于点0．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而积为，求AC的长．
考点：矩形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形。
分析：（1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．
解答：解：（1）∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴四边形OCED是菱形；
（2）∵∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°﹣30°=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
过D作DE⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=，
∴DF=x．
∴OC?DF=8．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．
点评：本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，菱形的判定和性质，以及解直角三角形等知识点．
23、如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE=BE．
22、（2011?雅安）如图，在?ABCD中，E，F分别是BC，AD中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形．
考点：平行四边形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；锐角三角函数的定义。
专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=DA，BE=CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．
（2）证明：
过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为，
∴BE=AB=2，×EB×AH=，
∴AH=，
∴sinB=，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
P
B
C
A
D
M
图4
A
D
F
B
E
C
图11
（图8）
A
B
C
D
E
F
A
B
F
E
C
A
B
C
D
C1
F
E
D
C
B
A
F
B
D
C
E
A
F
D
E
A
C
P
B
第18题图
A
D
F
E
B
C
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
F
1
2
3
A
B
C
D
E
O
B
A
O
第17题
E
D
C
F
A
B
C
D
E
O
(第22题)
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