活用正方形性质解题
正方形具有四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角等性质.在解决有关正方形问题时，要注意其性质的灵活应用.
计算问题
例1.如图1，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC, 试求∠DCE的度数.
分析：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以∠DBC=45°.又因为BE=BC,所以∠BCE=∠BEC=,所以可求出∠DCE的度数.
解：因为四边形ABCD是正方形，
所以∠BCD=∠ABC=90°
因为BD是正方形ABCD的对角线，
所以∠DBC=45°.
又因为BE=BC，
所以∠BCE=∠BEC=,
所以∠DCE=∠BCD-∠BCE=22.5°.
证明问题
例2. 已知：如图2，过正方形ABCD的对角线BD上的一点P, 作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F ，求证：PA=EF.
分析：如图3，由PE⊥BC,PF⊥CD可知四边形PECF为矩形，连接PC, 则有PC= EF. 这时只须证AP=PC. 根据正方形的对称性可知AP=PC，故可得证.
证明：连接PC、AC.
因为四边形ABCD是正方形，
所以BD垂直平分AC，∠BCD =90°，
所以AP=PC，
又因为PE⊥BC,PF⊥CD，∠BCD =90°，
所以四边形PECF为矩形，
所以PC= EF，所以PA=EF.
三、探索问题
例3. 如图4，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图5，若点E在AC的延长线上，AM与EB的延长线交于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
分析：（1）要证OE=OF，只需证明△AOF和△BOE重合，根据已知条件和正方形的特征容易得证. （2）“问题”的基本思路是先假设结论成立，然后用分析法探求其成立条件，如果题设所给条件满足要求，则成立，反之则不成立．
（1）证明：因为四边形ABCD是正方形．
所以∠BOE=∠AOF=90°，OA=OB．
又因为AM⊥EB，
所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA．
所以∠MAE=∠OBE．
所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合．
所以OE=OF．
（2）解：OE=OF仍成立，理由如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
因为AM⊥EB，所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM．
所以∠OEB=∠OFA．
所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合．
所以OE=OF．
点评：在正方形中，我们常利用对角线互相垂直平分证明线段相等.无论是正方形还是矩形，经常通过连接对角线来解题，这样可将分散的条件集中起来.
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