认识正方形
平行四边形——这是一个漂亮和有用的图形，它使我们记起重量单位，事实上与重量单位一点没有关系。作两对平行直线，如图1考虑这样形成的四边形。它的边成对平行：，。这种四边形称做平行四边形。
图1
图2
在图2上画着各种不同的平行四边形。是的，是的，不要奇怪，连菱形、矩形和正方形都是平行四边形。它们是带有某些补充性质的平行四边形。
菱形——这是一个所有边都相等的平行四边形。
矩形——这是一个所有角都是直角的平行四边形。
那么事实上矩形是不是平行四边形呢？和对不对（图3）？
图3
我们回忆一下三条垂直的直线的性质（94页）。它说，在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。在矩形中，，，这就是说，。而角与也都是直角，也即，．于是就有。由此得到，矩形的边成对平行。因此，矩形是平行四边形。
正方形是非常有趣的四边形，能够给它几个定义。
1．正方形像菱形一样，所有边都相等，只是还要所有角都是直角。这就是说，正方形是具有直角的菱形。
2．正方形像矩形一样，所有角都是直角。只是还要所有边都相等。这就是说，正方形是所有边都相等的矩形。
3．正方形像平行四边形一样，边成对平行的。只是还要所有边都相等和所有角都是直角。这就是说，正方形是所有角都是直角和所有边都相等的平行四边形。
正方形还有一整套有趣的性质。例如，如果要用给定长度的篱笆围住一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域选成正方形形状。
用纸张的实验能帮助我们更好地学习平行线、垂线和平行四边形。
用纸张的实验
在纸上标明两点和，随后把纸对折，使得与重合。直线与折线相对位置是怎样的？
通过折一张纸，去得到一对平行直线和一对垂直直线。
从一张任意形状的纸折叠并且随后剪出一个矩形。指明在这矩形中哪些边彼此平行或垂直。
剪切一个矩形，使其得到一个正方形。剪下这一正方形并研究它。通过正方形两个相对顶点的折叠线称为正方形的对角钱。用折叠的方法可得到两条对角钱。只用折叠纸的方法你们还能发现哪些性质？记录下这些性质。
如果寻找这些性质有困难，下面的研究计划可能有帮助：
1．按长度比较两条对角线。
2．两条对角线之间相对位置怎样？
3．交点把对角线分成什么比例？
4．每一条对角线把正方形分成什么样的图形？
5．这些图形是哪种类型？
6．对它们彼此之间进行比较。
把正方形这样对折，使它的两条对边重合。折叠线经过哪些点？折叠线相对正方形各边的位置怎样？它把正方形分成什么样的图形？
教师给孩子们一个任务，从一张彩色纸中剪出一个正方形。瓦夏剪出了一个正方形时，这样检验它：他比较了边的长度。全部4条边发现是相等的，瓦夏就判定地完成了这个任务。这种检验可信赖吗？
阿廖沙用另一种方法检验了工作：他量的不是边，而是对角线．对角线是相等的，阿廖沙就认为正确地剪出了正方形。这对吗？
莱娜剪了正方形后，比较了由对角线相互分成的所有4个线段。发现它们都是相等的。按照莱娜的意见，这证明了，剪出的四边形是正方形。你们的意见怎样？
从一张纸剪出一个边长为和的矩形。从这矩形剪出一个边长为的正方形。余下一个边长为和的矩形，也就是一条边同样是另一条边的大约1.6倍。随后再从这矩形剪去一个边长为的正方形。余下的矩形，它的一条边同样是另一条边的大约1.6倍。
这一过程可以继续下去，对于进之间的比近似1.6：l的矩形，很早以前就有人注意到了。看一看雅典帕德嫩神庙的造型（图4）。甚至现在这还是世界最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的。如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形（图5），那么发现，它的长是宽的大约1.6倍，这种矩形称为黄金矩形。据说，它的边组成黄金分割。数学家给出了黄金分割的精确定义。
图4
图5
黄金分割——它将一个整体分割成两个不相等的部分，使得大的部分对整体的比等于小的部分对大的部分的比。数1.6只是近似地（精确到0.1）表示黄金分割的值。
假如线段分成两部分，小的部分长度为，而大的部分长度为（图6），那么在黄金分割情况下。有趣的是，
图6
在正五角星里，组成这一图形的5条线中，每一条都把另外一条分成黄金分割的比（图7）。
图7
图8中画着一个贝壳：点分线段近似于黄金分割。
图8
你看到过任何有黄金矩形形状的物体吗？
按照图9中给出的指示，用圆规直尺作一个黄金矩形。
图9
延长底边到与弧相交，在直角下作一侧边，这样我们就完成黄金矩形的作图。
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