2022年甘肃省武威市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）（2022?武威）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
2．（3分）（2022?武威）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
3．（3分）（2022?武威）不等式3x﹣2＞4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
4．（3分）（2022?武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6
5．（3分）（2022?武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022?武威）2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（ ）
A．完成航天医学领域实验项数最多
B．完成空间应用领域实验有5项
C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%
7．（3分）（2022?武威）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
8．（3分）（2022?武威）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝1
9．（3分）（2022?武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（ ）
A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm
10．（3分）（2022?武威）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）（2022?武威）计算：3a3?a2＝ ．
12．（3分）（2022?武威）因式分解：m3﹣4m＝ ．
13．（3分）（2022?武威）若一次函数y＝kx﹣2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k＝ （写出一个满足条件的值）．
14．（3分）（2022?武威）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为 cm．
15．（3分）（2022?武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ °．
16．（3分）（2022?武威）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ．
17．（3分）（2022?武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．
18．（3分）（2022?武威）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（4分）（2022?武威）计算：×﹣．
20．（4分）（2022?武威）化简：÷﹣．
21．（6分）（2022?武威）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义 甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线． 如图2，∠ABC为直角，
以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；
以点D为圆心，以BD长为半径画弧与交于点F；
再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与交于点G；
作射线BF，BG． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．
22．（6分）（2022?武威）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE＝1.5m，∠CAF＝26.6°，∠CBF＝35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23．（6分）（2022?武威）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京﹣张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
24．（7分）（2022?武威）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A.3≤t＜5，B.5≤t＜7，C.7≤t＜9，D.9≤t＜11，E.11≤t≤13，其中t表示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量 平均数 众数 中位数 锻炼时间（h） 7.3 m 7 请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
25．（7分）（2022?武威）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
26．（8分）（2022?武威）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
27．（8分）（2022?武威）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：GE＝（﹣1）DE．
28．（10分）（2022?武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．
2022年甘肃省武威市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）（2022?武威）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
【考点】相反数．菁优网版权所有
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（3分）（2022?武威）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【分析】根据互余两角之和为90°计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．
3．（3分）（2022?武威）不等式3x﹣2＞4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．
【解答】解：3x﹣2＞4，
移项得：3x＞4+2，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．
4．（3分）（2022?武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5．（3分）（2022?武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到，然后根据BC＝6，EF＝4，即可得到的值．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵BC＝6，EF＝4，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答．
6．（3分）（2022?武威）2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（ ）
A．完成航天医学领域实验项数最多
B．完成空间应用领域实验有5项
C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%
【考点】扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】应用扇形统计图用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，不能算出完成空间应用领域的实验次数，所以B选项说法错误，故B选项符合题意；
C．完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多说法正确，故C选项不符合题意；
D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的应用是解决本题的关键．
7．（3分）（2022?武威）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【考点】多边形的对角线．菁优网版权所有
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．
【解答】解：连接AD，CF，AD、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
8．（3分）（2022?武威）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝1
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程＝总路程即可得出答案．
【解答】解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x＝1，
∴（+）x＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程＝总路程列出方程是解题的关键．
9．（3分）（2022?武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（ ）
A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm
【考点】圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度．
【解答】解：∵半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，
∴这段弯路（）的长度为：＝40π（m），
故选：C．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确弧长计算公式l＝．
10．（3分）（2022?武威）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质；动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为3解答即可．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，
∴△ABD的面积＝a2＝3，
解得：a＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）（2022?武威）计算：3a3?a2＝ 3a5 ．
【考点】同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的乘法法则化简即可
【解答】解：原式＝3a3+2
＝3a5．
故答案为：3a5．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握am?an＝am+n是解题的关键．
12．（3分）（2022?武威）因式分解：m3﹣4m＝ m（m+2）（m﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）（2022?武威）若一次函数y＝kx﹣2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k＝ 2（答案不唯一） （写出一个满足条件的值）．
【考点】一次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可．
【解答】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小是解题的关键．
14．（3分）（2022?武威）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为 8 cm．
【考点】菱形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，
∵AB＝2cm，
∵BO＝＝4cm，
∴DO＝BO＝4cm，
∴BD＝8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（3分）（2022?武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ 70 °．
【考点】圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16．（3分）（2022?武威）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ∠A＝90°（答案不唯一） ．
【考点】矩形的判定．菁优网版权所有
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17．（3分）（2022?武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
且﹣5＜0，
∴当t＝2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
18．（3分）（2022?武威）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm．
【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据矩形的性质可得AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，从而可得∠ABD＝∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG＝BG，从而可得∠BEG＝∠ABD，进而可得∠BEG＝∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG＝BG＝EF，
∴∠BEG＝∠ABD，
∴∠BEG＝∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝6，
∴EF＝＝＝2（cm），
∴BG＝EF＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（4分）（2022?武威）计算：×﹣．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝﹣2
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握?＝（a≥0，b≥0）是解题的关键．
20．（4分）（2022?武威）化简：÷﹣．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．
【解答】解：原式＝?﹣
＝﹣
＝
＝1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．
21．（6分）（2022?武威）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义 甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线． 如图2，∠ABC为直角，
以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；
以点D为圆心，以BD长为半径画弧与交于点F；
再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与交于点G；
作射线BF，BG． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．
【考点】作图—复杂作图．菁优网版权所有
【分析】（1）按题干直接画图即可．
（2）连接DF，EG，可得△BDF和△BEG均为等边三角形，则∠DBF＝∠EBG＝60°，进而可得∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．
【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．
（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．
理由：连接DF，EG，
则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，
即△BDF和△BEG均为等边三角形，
∴∠DBF＝∠EBG＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．
【点评】本题考查尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
22．（6分）（2022?武威）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE＝1.5m，∠CAF＝26.6°，∠CBF＝35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】设BF＝xm，根据题意可得：DE＝FG＝1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设BF＝xm，
由题意得：
DE＝FG＝1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF＝35°，
∴CF＝BF?tan35°≈0.7x（m），
∵AB＝8.8m，
∴AF＝AB+BF＝（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF＝26.6°，
∴tan26.6°＝＝≈0.5，
∴x＝22，
经检验：x＝22是原方程的根，
∴CG＝CF+FG＝0.7x+1.5＝16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（6分）（2022?武威）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京﹣张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为＝．
【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
24．（7分）（2022?武威）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A.3≤t＜5，B.5≤t＜7，C.7≤t＜9，D.9≤t＜11，E.11≤t≤13，其中t表示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量 平均数 众数 中位数 锻炼时间（h） 7.3 m 7 请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 6 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体．菁优网版权所有
【分析】（1）由众数的定义可得出答案．
（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．
（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．
【解答】解：（1）由数据可知，6出现的次数最多，
∴m＝6．
故答案为：6．
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）600×＝340（名）．
答：估计有340名学生能完成目标．
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
25．（7分）（2022?武威）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
【分析】（1）根据直线y＝x﹣1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
∴x＝1，
即直线y＝x﹣1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1＝AD，
又∵CD＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的图象为y＝；
（2）方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE＝1，
∴EC＝3﹣1＝2，
∴S△BCE＝×2×（3﹣2）＝1，
答：△BCE的面积为1．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
26．（8分）（2022?武威）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出∠A+∠ABC＝90°，根据圆周角定理得出∠A＝∠D，推出∠DCE＝90°即可得出结论；
（2）根据tanA＝tanD得出，再根据勾股定理得出CE即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BC＝BC，
∴∠A＝∠D，
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D+∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tanA＝tanD，
即，
∴CD＝2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝4，
∴（2CE）2+CE2＝（4）2，
解得CE＝4，
即线段CE的长为4．
【点评】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
27．（8分）（2022?武威）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：GE＝（﹣1）DE．
【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；
（2）①先判断出∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；
②过点F作FH⊥AB于H，先求出AG＝BG＝2，AD＝4，进而求出AH＝3，进而求出FH＝2，最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出EF＝BE，由（1）知，BE＝DE，由（2）知，FG＝BF，即可判断出结论．
【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：①△FBG为等腰三角形，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵PB⊥BE，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB，
∴△FBG是等腰三角形；
②如图，过点F作FH⊥AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，
∴AG＝BG＝2，AD＝4，
由①知，FG＝FB，
∴GH＝BH＝1，
∴AH＝AG+GH＝3，
在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH＝∠DGA，
∴tan∠FGH＝tan∠DGA，
∴＝2，
∴FH＝2GH＝2，
在Rt△AHF中，AF＝＝；
（3）∵FB⊥BE，
∴∠FBG＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EF＝BE，
由（1）知，BE＝DE，
由（2）知，FG＝BF，
∴GE＝EF﹣FG＝BE﹣BF＝DE﹣DE＝（﹣1）DE．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键．
28．（10分）（2022?武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数解析式求出OA的长度，根据三角函数求出DE的长度，根据P点的坐标得出PE的长度，根据DP＝DE+PE得出结论即可；
（3）①连接DG交AB于点M，设OM＝a（a＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣a，得出G（﹣a，（a﹣3）），根据G点在抛物线上得出a的值，即可得出G点的坐标；
②在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，连接EQ，CQ，构造△AEQ≌△CDB，得出当C、E、Q三点共线时，BD+CE＝EQ+CE最小，最小为CQ，求出CQ的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，
∴（4+3）（4﹣a）＝0，
解得a＝4，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣3，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）在y＝（x+3）（x﹣4）中，令y＝0，得x＝﹣3或4，
∴A（﹣3，0），OA＝3，
∵OC＝OB＝4，
∴C（0，4），
∵AE＝1，
∴DE＝AE?tan∠CAO＝AE＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴E（﹣2，0），
∵DE⊥x轴，
∴xP＝xD＝xE＝﹣2，
∴yP＝（﹣2+3）（﹣2﹣4）＝﹣，
∴PE＝，
∴DP＝DE+PE＝+＝；
（3）①如下图，连接DG交AB于点M，
∵△BCD与BFG关于x轴对称，
∴DG⊥AB，DM＝GM，
设OM＝a（a＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣a，
MG＝MD＝AM?tan∠CAO＝（3﹣a），
∴G（﹣a，（a﹣3）），
∵点G（﹣a，（a﹣3））在抛物线y＝（x+3）（x﹣4）上，
∴（﹣a+3）（﹣a﹣4）＝（a﹣3），
解得a＝或3（舍去），
∴G（﹣，﹣）；
②如下图，在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，连接EQ，CQ，
∵AE＝CD，
∴△AEQ≌△CDB（SAS），
∴EQ＝BD，
∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE＝EQ+CE最小，最小为CQ，
过点C作CH⊥AQ，垂足为H，
∵OC⊥OB，OC＝OB＝4，
∴∠CBA＝45°，BC＝4，
∵∠CAH＝180°﹣∠CAB﹣∠EAQ＝180°﹣∠CAB﹣∠DCB＝∠CBA＝45°，
AC＝＝＝5，AH＝CH＝AC＝，
HQ＝AH+AQ＝AH+BC＝＝，
∴CQ＝＝＝，
即BD+CE的最小值为．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识是解题的关键．
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