2022年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）（2022?乐山）下面四个数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．π
2．（3分）（2022?乐山）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022?乐山）点P（﹣1，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）（2022?乐山）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022?乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．﹣
6．（3分）（2022?乐山）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ）
A．88 B．90 C．91 D．92
7．（3分）（2022?乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
8．（3分）（2022?乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
9．（3分）（2022?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
10．（3分）（2022?乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）（2022?乐山）|﹣6|＝ ．
12．（3分）（2022?乐山）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝ ．
13．（3分）（2022?乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 cm2．
14．（3分）（2022?乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．
15．（3分）（2022?乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ．
16．（3分）（2022?乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k＝ ．
三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）（2022?乐山）sin30°+﹣2﹣1．
18．（9分）（2022?乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ．
19．（9分）（2022?乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）（2022?乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
21．（10分）（2022?乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
22．（10分）（2022?乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）（2022?乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（10分）（2022?乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）（2022?乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝ ．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．
26．（13分）（2022?乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
2022年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）（2022?乐山）下面四个数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．π
【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．
【解答】解：π＞＞1＞0＞﹣2，
∴比0小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要利用了负数小于0．
2．（3分）（2022?乐山）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）（2022?乐山）点P（﹣1，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．
【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，
∴P点在第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握其特点是解题关键．
4．（3分）（2022?乐山）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可知存在6+18＝24种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．
【解答】解：∵一个布袋中放着6个黑球和18个红球，
∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
5．（3分）（2022?乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．﹣
【分析】直接把x＝1代入一元二次方程即可求出m的值，根据根与系数的关系即可求得．
【解答】解：∵方程的其中一个根是1，
∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，
∵两根的积为，
∴两根的积为﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根已经根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
6．（3分）（2022?乐山）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ）
A．88 B．90 C．91 D．92
【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．
【解答】解：李老师的综合成绩为：90×30%+92×60%+88×10%＝91（分）；
故选：C．
【点评】本题考查了加权成绩的计算．加权成绩等于各项成绩乘以不同的权重的和．
7．（3分）（2022?乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【分析】根据平行四边形的性质可得S△ABC＝S平行四边形ABCD，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴，
∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，
∴8BF＝6×4，
解得BF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（3分）（2022?乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8÷10＝0.08（千米/分），乙的速度是1.2÷10＝0.12（千米/分），
∴甲比乙的速度慢，故A正确，不符合题意；
经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，不符合题意；
∵甲40分钟走了3.2千米，
∴甲的平均速度为3.2÷40＝0.08（千米/分钟），故C正确，不符合题意；
∵经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，
∴甲比乙走过的路程多，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，从图中获取有用的信息．
9．（3分）（2022?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
【分析】过D点作DE⊥AB于E，由锐角三角函数的定义可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝2DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，
∴，
解得AC＝，
∴AB＝，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键．
10．（3分）（2022?乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，利用相似三角形的性质求出CF″可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，
点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AE∥BC，AE＝BC，
∴AE＝CH，
∴四边形AHCE是平行四边形，
∵∠AHC＝90°，
∴四边形AHCE是矩形，
∴EC⊥BF″，AH＝EC，
∵BC＝2，S△ABC＝2，
∴×2×AH＝2，
∴AH＝EC2，
∵∠BFF″＝∠ECB＝∠ECF″，
∴∠BEC+∠CEF″＝90°，
∠CEF″+∠F″＝90°，
∴∠BEC＝∠F″，
∴△ECB∽△F″CE，
∴EC2＝CB?CF″，
∴CF″＝＝6，
∴M′M″＝3
故选：B．
【点评】本题考查轨迹，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）（2022?乐山）|﹣6|＝ 6 ．
【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．
【解答】解：﹣6＜0，
则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|＝．
12．（3分）（2022?乐山）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝ 40° ．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠ACB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠1＝50°，
则∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ACB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．
13．（3分）（2022?乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 24 cm2．
【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，
∴菱形的面积是＝24（cm2），
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积＝对角线乘积的一半．
14．（3分）（2022?乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ．
【分析】根据完全平方公式得出m和n的值即可得出结论．
【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据完全平方公式得出m和n的值是解题的关键．
15．（3分）（2022?乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 10 ．
【分析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入5x中即可求出结论．
【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，
依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，
解得：x＝2，
∴5x＝5×2＝10，
即正方形d的边长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16．（3分）（2022?乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k＝ 3 ．
【分析】连接DE、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE＝，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）（2022?乐山）sin30°+﹣2﹣1．
【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并即可求解．
【解答】解：原式＝+3﹣
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点的运算．
18．（9分）（2022?乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 x＞﹣2 ．
解不等式②，得 x≤3 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ﹣2＜x≤3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2．
解不等式②，得x≤3．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，
故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（9分）（2022?乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．
【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）（2022?乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝时，原式＝+1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
21．（10分）（2022?乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【分析】设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为10千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（10分）（2022?乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ①③②④ ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 D ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；
（2）根据抽样调查的特点解答即可；
（3）根据样本估计总体思想解答即可．
【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，
故答案为：①③②④；
（2））根据抽样调查的特点易判断出：D，
故答案为：D；
（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：
×1000＝200（人），
200÷40＝5，
答：至少应该开设5个班．
【点评】本题考查条形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）（2022?乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）将A点坐标代入直线l解析式，求出n的值，确定A点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
（2）通过已知条件求出直线l′解析式，用△BOC的面积﹣△ACD的面积解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则，
解得：，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝×4×4﹣×2×1＝7．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
24．（10分）（2022?乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．
【分析】（1）证明∠CDG＝∠DCG可得结论；
（2）证明△COH∽△BOD可得∠BDO＝90°，从而得结论．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵线段AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDG＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDG＝∠DAF，
∵＝，
∴∠DAF＝∠DCG，
∴∠CDG＝∠DCG，
∴CG＝DG；
（2）连接OD，交CE于H，
∵＝，
∴OD⊥EC，
∵sin∠ACE＝＝，
∵BC＝4，OD＝OC＝6，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠COH＝∠BOD，
∴△COH∽△BOD，
∴∠BDO＝∠CHO＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的判定和性质，切线的判定，垂径定理，直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，第二问证明△COH∽△BOD是解本题的关键，难度中等．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）（2022?乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝ ．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．证明△CME∽△BAF，推出＝，可得结论．
【解答】解：（1）结论：＝1．
理由：如图1中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝BC，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴＝1；
（2）如图2中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝EC，
在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
∴＝，
∵AB＝m，BC＝AD＝n，
∴＝．
故答案为：；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．
∵CM⊥AB，
∴∠CME＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△CME∽△BAF，
∴＝，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴＝＝sin60°＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
26．（13分）（2022?乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C坐标，将二次函数设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情形．当点P在第三象限时，设点P（a，a2﹣a﹣2），可表示出△BCD的面积，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得出E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC＝S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴tan∠OAC＝＝2，
∴OC＝2OA＝2，
∴点C（0，﹣3），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）?（x﹣2），
∴a?1×（﹣2）＝﹣2，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）?（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；
（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），
如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2，
∴当y＝a2﹣a﹣2时，x＝y+2＝a2﹣a，
∴PE＝a2﹣a﹣a＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝PE?OC，
∵抛物线的对称轴为直线y＝，CD∥x轴，C（0，﹣2），
∴点D（1，﹣2），
∴CD＝1，
∴S△BCD＝OC，
∴PE?OC＝?OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+（舍去），a2＝1﹣，
当x＝1﹣时，y＝a2﹣a﹣2＝a﹣1＝﹣，
∴P（1﹣，﹣），
如图2，当点P在第一象限时，
作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，
∴F（a，a﹣2）
∴PF＝（a2﹣a﹣2）﹣（a﹣2）＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝OB＝CD?OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），
当a＝1+时，y＝a2﹣a﹣2＝a2﹣2a+a﹣2＝1+1+﹣2＝，
∴P（1+，），
综上所述：P（1+，）或（1﹣，﹣）；
（3）如图3，
作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），
∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴＝＝﹣+，
∴当t＝1时，（）最大＝．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
第1页（共1页）
|
|
