如何用 一元二次方程解决增长率问题？答案：求增长率问题时，应正确运用增长率公式： 【举一反三】典例：市政府计划2年内将人均住房面积由现在的1
0m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．思路导引：一般来说，此类问题应先分析数量关系式，正确运用增长率的公式，设出相关未
知数，表示关系式。 设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就
应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1
+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x
2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．标准答案
：每年人均住房面积增长率应为20%如何列一元二次方程解行程问题？难易度：★★★★★ 关键词：一元二次方程的应用 答案：行程问题应把
握好路、速度、时间三者之间的关系，设置恰当的未知数列出正确的关系式，求解时注意实际问题中不合理的解要舍去。 【举一反三】典例：20
08年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车
速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和
时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的
运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不
超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到
B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
思路导引：一般来说，此类问题应根据路程、速度、时间三者关系列出等量关系式。 解：（1）设地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为千米，由
题意得，解得．地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．（2）（元），该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元
． （3）设这批货物有车，由题意得， 整理得，解得，（不合题意，舍去），这批货物有8车． 标准答案：（1）A地经杭州湾跨海大桥到宁
波港的路程为180千米．（2）该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元（3）这批货物有8车如何列一元二次方程解动点
问题？ 难易度：★★★★ 关键词：一元二次方程的应用 答案：运动变化的题目需要在动中找静，准确把握数量关系，并注重检验解的合理性。
【举一反三】【举一反三】典例：如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点
B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于
8cm2？ 思路导引：一般来说，此类问题需找一静点，找出数量关系式。设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依
题意，得：x·2x=8?x2=8 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两
根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．标准答案：2秒点的运动与解一元二次方程的完美结合在当前新课程改革
的大背景下,点的运动问题以设计新颖、格调清新等特点备受命题者的青睐,而点的运动与一元二次方程的解法结合起来的试题更让人赏心悦目,请
看例题:例：如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=8，BC=12，AB=4.动点E从点B出发,沿射线BA以每秒
3个单位的速度移动;同时动点F从点A出发,在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动.当点F与点D重合时,E 、F两点同时停止移动
.设点E移动时间为t秒.求当t为何值时,以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形?图1分析: 以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形
，由于每一个顶点均可作为等腰三角形顶角的顶点，故本题应分三种情况,利用勾股定理可建立一元二次方程关系式,从而求出t的值.解：如图2
，连结BF、EF,则BE=3t,AF=2 t,下面分三种情况讨论:[(1)若EF=BF，∵AF⊥BE，∴AB=AE．∵ AB=4，
AE=3t-4,[中即3t-4=4，∴t=. 图2若BE=BF，即BE2=BF2在Rt△ABF中, ∵BF2=AB2＋AF2 ∴B
F2=，又BE=3t, ∴BE2=， ∴. 解得，∵t＞0，∴. (3) 若BE＝EF，即BE2＝EF2 在Rt△AEF中,∵EF
2=AE2+AF2=，∵BE2= ∴= 整理得: 解得．其中＞4,由题意知0≤t≤4, 故舍去,∴综上所述,当t的值为，，时，△B
EF为等腰三角形．评析:注意分类思想在本题中的应用，在第（2）问和第（3）问中要把线段相等转化为线段的平方相等，这样才便于利用勾股
定理列出一元二次方程，从而求解，体现了转化思想.请你仿照上面例子,做下面这道题.如图3,在平面直角坐标系中,四边形为矩形,点、的坐
标分别(3,0)、(3,4).动点、分别从、同时出发,以每秒1个单位的速度运动.点沿向终点运动,点沿向终点运动.已知动点运动了秒,
过点作⊥,交于点,连结. 图3请你探索:当为何值时,△是一
个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的解题过程.(提示:延长交于点,当t的值为，，时，△为等腰三角形.)如何列一元 二次方程求数
字问题？答案：一般来说，常用的是十进制计数法。十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b。如123=1×100+2
×10+3×1;【举一反三】典例：两个连续偶数积为288，求这两个数。思路导引：一般来说，此类问题应分析数字的特点。两个连续偶数差
2，可设x，。设这两个偶数分别为x，x+2，根据题意，，解得：。。标准答案：这两个连续偶数是16，18或－18，－16。如何列 一
元二次方程解直角三角形？ 答案：很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数
化”。【举一反三】 典例：一个直角三角形，斜边，两条直角边长相差，求这个直角三角形的两条直角边的长。思路导引：一般来说，此类问题根
据直角三角形三边关系。在Rt△中，三边a，b，c满足，这是构造方程的相等关系。设一条直角边长为x cm，则另一条边长为。根据题意列
方程? ， 解得? （不合题意，舍去）。。标准答案：两条直角边长分别是8cm和4cm如何列 一元二次方程解决平移问题？答案：平移是
物体运动的一种形式，恰当的平移往往能产生事半功倍的效果。 【举一反三】典例：某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地
上修建宽都是2米的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形小场地建成草坪。（1）如图，请分别写出每条道路的面积（用含a或含b的代数式表示
）（2）已知a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为312米2 ，试求原来矩形场地的长和宽各为多少米？ 思路导引：一般来说，此类问
题应表示出图形中的面积，特别注意重合部分。虽然表示出两条道路的面积为2a米2 和2b米2，但由于两条道路有重合的部分，草坪的面积是
矩形场地的面积减去两条道路的总面积(2x+4x-4) 米2.（1）这两条道路的面积分别为2a米2 和2b米2 （2）设b=x米，则
a=2x米，由题意可得x?2x-(2x+4x-4)=312即x2-3x-154=0(x-)2=所以x-=或x-=-整理得：x1=1
4 ,x2=-11? (舍负根)所以b=14? ,a=28? 即矩形的长为28米，宽为14米。标准答案：（1）这两条道路的面积分别
为2a米2 和2b米2（2）矩形的长为28米，宽为14米。如何 列一元二次方程解翻番问题？ 答案：关于翻番问题，应清晰地知道翻一番
，即为原来数值的两倍，翻两番即为原数值的四倍。【举一反三】典例：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生
产总值以2020年比2000年翻两番．在本世纪的头二十年（2001年~2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的
国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（ ）A． B．C． D．思路导引：一般来说，此类问题注意翻番的特点。翻一番，即为原来数
值的两倍，翻两番即为原数值的四倍。设2000年生产总值为a，则2010年的生产总值为a(1+x),2020年的生产总值为a(1+x
)2?列方程得：aa,即标准答案：B如 何列一元二次方程解决利润问题？ 答案： 利润问题中常用用到的公式是：（1）单位利润×销量＝
总利润（2）总利润=总销售额-总成本 【举一反三】典例：黄岗百货商店服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六·一”，商场决定降价，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？思路导引：一般来说，此类问题为经济类问题应用，应找准数量关系。要切实理解减少库存是本题需要。 解：设每件童装应降价x元，根据题意， 解得： 因要减少库存，∴，标准答案：每件童装应降价20元 |
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