列一元二次方程解几何图形问题代数、几何的综合题一直是中考的热点，用代数方法解几何问题，是初中数学的一种重要思想.在解几何题时，如果能根据几何
问题中的数量关系，恰当地建立一元二次方程模型，并借助一元二次方程的相关知识来求解，定能收到事半功倍的效果.下面举例说明.一、利用勾
股定理建立一元二次方程模型例1.(深圳中考题)在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为_
_____________________.分析：对于本题，先画出图形，判断出△ABC为直角三角形后，再利用勾股定理建立一元二次方
程模型求边长.解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∵ CD=3，AB=6，∴AD=BD=3，∴CD=AD=BD.∴∠A=
∠ACD，∠B=∠BCD.∵∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD=180°.∴∠A＋∠B=90°.∴△ABC为直角三角形，∴AC2＋BC
2=AB2=36.又∵BC+AC=8，∴设BC的长为，则.∴，整理，得.解得.∴，.或，.∴·.说明：本题主要考查直角三角形中线的
有关性质、一元二次方程的相关知识以及综合分析、解答问题的能力.二、利用面积公式建立一元二次方程模型例2. (辽宁十一市中考题)如图
，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．(部分参
考数据：，，)分析：本题是一道典型的列一元二次方程解决的实际应用问题.下面从两个角度给出如下的解法.解法(1)：由题意转化为右图，
设道路宽为米.根据题意，可列出方程为.整理得.解得(舍去)，.答：道路宽为米.解法(2)：由题意转化为右图，设道路宽为米，根据题意
列方程得：.整理得：.解得：，(舍去).答：道路宽应是米.说明：把不规则的图形转化为规则的图形是解决这类问题的关键所在，同时整体代
换的思想方法在解题中起着化难为易的作用，同学们应该既能理解它，又会应用它列一元二次方程可解决几何体面积有关的应用题，注意舍根，面积
问题还要画图分析。【举一反三】典例：要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？ 设长为x
cm，则宽为（x-5）cm 列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题： （1）x可能小于5吗
？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表： x1011121314151617…x2-5x-150????????? （3）
你知道铁片的长x是多少吗？思路导引：一般来说，x2-5x-150=0的形式不能用平方根的意义和整式中的分解因式的方法去求根，但是
我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可
能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2） x?10?11?12?1314151617…
…x2-5x-150-100-84-66-46-2402654…… （3）铁片长x=15cm标准答案：（1）x不可能小于5．理由：
如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能。（2
） x?10?11?12?1314151617……x2-5x-150-100-84-66-46-2402654……?（3）铁片长x=15cm |
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