教案
一元二次方程
1.1 建立一元二次方程模型
教学目标
1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。
2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。
3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点难点
重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。
难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。
教学过程
（一）创设情境
前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。
1、展示课本P.2问题一
引导学生设人行道宽度为xm，表示草坪边长为35-2xm，找等量关系，列出方程。
(35-2x)2=900 ①
2、展示课本P．2问题二
引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系?怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程？
通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相遇，用s表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程
2t+ ×0.01t2=3t ②
3、能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：
4x2-140x+32 ③
0.01t2-2t=0 ④
（二）探究新知
1、观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，
其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。
2、让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项。
（三）讲解例题
例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
[解]去括号，得 3x2+5x-12=x2+4x+4，
化简，得 2x2+x-16=0。
二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-16。
点评：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0。此外要使学生认识到：二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的。
例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程?
(1) 2x+3=5x-2； (2) x2=25；
(3) (x-1)(x-2)=x2+6； (4) (x+2)(3x-1)=(x-1)2。
[解]方程(1)，(3)是一元一次方程；方程(2)，(4)是一元二次方程。
点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义。
（四）应用新知
课本P．4，练习第3题，
（五）课堂小结
1、一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。
2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。
3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
（六）思考与拓展
当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?
当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程。
布置作业
课本习题1.1中A组第1，2，3题。
教学后记：
1.2.1 因式分解法、直接开平方法（1）
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点
重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入1、提问：
(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？
(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25
（二）创设情境
说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x1= ，，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?
（三）探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0
解得 tl=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
（四）讲解例题
1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
（五）应用新知
课本P．10，练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。议一议：对于含括号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1)； (2) (x-1)(x+3)=12。
[解] (1) 原方程可变形为 2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0，
(3x-2)(x+3)=0， 3x-2=0，或x+3=0，
所以xl= ，x2=-3
(2) 去括号、整理得 x2+2x-3=12，x2+2x-15=0，
(x+5)(x-3)=0， x+5=0或x-3=0，
所以x1=-5，x2=3
先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述(1)；否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述(2)。
布置作业
教学后记：
1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2）
教学目标
1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
3、引导学生体会“降次”化归的思路。
重点难点
重点：掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、判断下列说法是否正确
(1) 若p=1，q=1，则pq=l( )， 若pq=l，则p=1，q=1( )；
(2) 若p=0，g=0，则pq=0( )， 若pq=0，则p=0或q=0( )；
(3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，
若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )；
(4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。
答案：(1) √，×。 (2) √，√。 (3)√，√。 (4)√，×。
2、填空：若x2=a；则x叫a的 ，x= ；若x2=4，则x= ；
若x2=2，则x= 。
答案：平方根，± ，±2，± 。
（二）创设情境
前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?
（三）探究新知
让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。
（四）讲解例题
展示课本P．7例1，例2。
按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。
引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。
因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。
注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
(2) 直接开平方法适用于形如(ax+b)2=k(k≥0)的方程，由于负数没有平方根，所以规定k≥0，当k<0时，方程无实数解。
（五）应用新知
课本P．8，练习。
（六）课堂小结
1、解一元二次方程的基本思路是什么?
2、通过“降次”，把—元二次方程化为两个一元一次方程的方法有哪些？基本步骤是什么？
3、因式分解法和直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程？
（七）思考与拓展
不解方程，你能说出下列方程根的情况吗？
(1) -4x2+1=0； (2) x2+3=0； (3) (5-3x)2=0； (4) (2x+1)2+5=0。
答案：(1)有两个不相等的实数根；(2)和(4)没有实数根；(3)有两个相等的实数根
通过解答这个问题，使学生明确一元二次方程的解有三种情况。
布置作业
1.2.1 因式分解法、直接开平方法（3）
考标要求：
1 体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解为两个一次因式的乘积的一元二次方程；
2 会用因式分解法解某些一元二次方程。
重点：用因式分解法解一元二次方程。
难点：用因式分解把一元二次方程化为左边是两个一次二项式相乘右边是零的形式。
一 填空题（每小题5分，共25分）
1 解方程（2+x）(x-3)=0,就相当于解方程（ ）
A 2+x=0 , B x-3=0 C 2+x=0 且 x-3=0 ，D 2+x=0或x-3=0
2 用因式分解法解一元二次方程的思路是降次，下面是甲、乙两位同学解方程的过程：
（1）解方程：,小明的解法是：解：两边同除以x得：x=2;
(2) 解方程： （x-1）(x-2)=2,小亮的解法是：解：x-1=1,x-2=2 或者x-1=2,x-2=1，或者，x-1= -1,x-2= -2，或者x-1= -2,x-2= -1∴=2，=4，=3，=0
其中正确的是（ ）
A 小明 B 小亮 C 都正确 D 都不正确
3 下面方程不适合用因式分解法求解的是（ ）
A 2-32=0, B 2( 2x-3) - =0 ，，D
4 方程2 x (x-3) = 5 (x-3)的根是（ ）
A x=, B x=3 C =, =3 D x=
5 定义一种运算“※”，其规则为：a※b=(a+1) (b+1),根据这个规则，方程x※(x+1)=0的解是（ ）
A x=0 B x= -1 C =0, =-1, D = -1 = - 2
二 填空题（每小题5分，共25分）
6 方程（1+）-（1-）x = 0解是=_____,=__________
7当x=__________时，分式值为零。
8 若代数式与代数式4（x-3）的值相等，则x=_________________
9 已知方程（x-4）(x-9)=0的解是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长=_______.
10 如果，则关于x的一元二次方程a+bx=0的解是_________
三 解答题（每小题10分，共50分）
11 解方程
（1）+2x+1=0 (2) 4-12x+9=0
(3) 25=9 (4) 7x (2x-3)=4 (3-2x)
12 解方程 =（a-2）(3a-4)
13已 知k是关于x的方程4k-8x-k=0的一个根，求k的值。？
14 解方程 ：-2+1=0
15 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的情况下，有如下关系：h=vt -g,其中h是上升到高度，v是初速度，g是重力加速度，（为方便起见，本题中g取10米/），t是抛出后所经过的时间。
如果将一物体以每秒25米的初速向上抛，物体多少秒后落到地面
1.2.2 配方法（1）
教学目标
1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程
（一）复习引入
1、a2±2ab+b2=?
2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢?
（二）创设情境
如何解方程x2+6x+4=0呢？
（三）探究新知
1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢？让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
（四）讲解例题
例1（课本P.11，例5）
[解](1) x2+2x-3 (观察二次项系数是否为“l”)
=x2+2x+12-12-3 (在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使它与原式相等)
=(x+1)2-4。 (使含未知数的项在一个完全平方式里)
用同样的方法讲解(2)，让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
例2 引导学生完成P．11~P．12例6的填空。
（五）应用新知
1、课本P.12，练习。
2、学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结
1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？
2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
（七）思考与拓展
解方程：(1) x2-6x+10=0； (2) x2+x+ =0； (3) x2-x-1=0。
说一说一元二次方程解的情况。
[解] (1) 将方程的左边配方，得(x-3)2+1=0，移项，得(x-3)2=-1，所以原方程无解。
(2) 用配方法可解得x1=x2=- 。
(3) 用配方法可解得x1= ，x2=
一元二次方程解的情况有三种：无实数解，如方程(1)；有两个相等的实数解，如方程(2)；有两个不相等的实数解，如方程(3)。
课后作业
课本习题
教学后记：
1.2.2 配方法（2）
教学目标
1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点
重点：会用配方法解一元二次方程．
难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程
（一）复习引入
1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做”．
2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么?
（二）创设情境
现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?
怎样解这类方程：2x2-4x-6=0
（三）探究新知
让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。让学生进一步体会化归的思想。
（四）讲解例题
1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P．14例9的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
（五）应用新知
课本P．15，练习。
（六）课堂小结
1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?
2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解
一元二次方程的算法。
（七）思考与拓展
不解方程，只通过配方判定下列方程解的
情况。
(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；
(3) –x2+2x-5=0；
[解] 把各方程分别配方得
(1) (x+ )2=0；
(2) (x-1)2=6；
(3) (x-1)2=-4
由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。
点评：通过解答这三个问题，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。
布置作业
1.2.2 配方法（3）
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，3x2-1=5 （2）4（x-1）24x2+16x+16=9
二、自主学习，解读目标
针对目标自学教材31—34页内容，自学后要求能讲清问题2方程的建立过程，会用例1解决问题的方法解一元二次方程，并通过演练34页练习题检查自己是否达到自学要求，然后在小组交流。
三、总结反思，巩固提高
总结自己学习新知情况，解决疑难问题后，强化训练，巩固提高：
巩固训练：
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）22-3 C．（x+2）2+2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3. 方程x2+4x-5=0的解是________
4. 解下列关于x的方程
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
5.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
应用拓展
6. 代数式的值为0，则x的值为________．
7．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
8.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
9．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．
1.2.2 配方法（4）
教学任务分析
教学
目标 会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。
能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。 教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图 一、知识回顾：
1、求出或表示出下列各数的平方根。
（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5）（6）121
2、求出下列各式中的x.
（1）x2=49 (2) 9 x2 =16 (3) x2=6 (4) x2=－9 第一题为口答题，复习平方根，旨在引出第二题。
第2题要结合平方根的意义，看能否求取x.的值。 二、自主学习：
自学课本Ｐ30---P31思考问题：
1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？
2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？
3、请你总结一下问题1解方程的过程。
4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。
5、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？
6、观察方程x2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为 ；
进行降次（开平方）得 ；方程的两根x1= x2= 。
7、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？
老师点评：
同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。
在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。
形如x2=a(a≥0)得x=即直接开平方法。
师生共同交流教材归纳中x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、例题学习：
例：解下列方程
（1）(1+x)2-2=0
(2)(2x+3)2+3=0
（3）4x2-4x+1=0
(4)9(x-1)2-4=0
教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时注意符号，这是易错之处。 牢牢把握通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n1、解下列方程：
（1）2x2-8=0 (2)9x2-5=3
(3)(x+6)2-9=0 (4)3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6)9x2+6x+1=4
(让学生分组板演，教师点评)
通过练习加深学生对直接开平方法解一元二次方程的方法。 五、布置作业 1、教材P42习题22.2第1题 六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
用直接开平方解一元二次方程。理解“降次”思想。理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。
对照目标，自查完成情况。
1.2.2 配方法（5）
教学任务分析
教
学
目
标 能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。
会用配方法解数字系数的一元二次方程。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图 一、温故知新：
填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
（1）x2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2
（3）x2-12x+ =(x- )2 (4) x2-+ =(x- )2
(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )2
2、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2 第一题为口答题，复习完全平方公式，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本思考：
1.仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？
2.怎样解方程x2+6x-16=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？
3.什么叫配方法？配方法的目的是什么？
4.配方的关键是什么？ 交流与点拨：
重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。
学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想
三、例题学习：
例（教材P33例1）解下列方程：
(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x
(3) 3x2-6x+4=0
教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。
交流与点拨：
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。
牢牢把握通过配方将原方程变为(x+k)2=a的形式方法。 四、课堂练习：
1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）
2、教材Ｐ34练习2
对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评。
通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法。 五、布置作业 1、教材P42习题22.2第3题 六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
1、理解配方法解方程的含义。
2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，
3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
1.2.2 配方法（6）
一、教学目标 (一)使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;
(二)记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；
(三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。
重点和难点
重点：掌握用配方法配一元二次方程。
难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
1.从逆向思维启发学生，关键在于把方程左边构造出一个完全平方式.
2.通过练习加深学生对“添一次项系数一半的平方”这句话的认识和理解.
过程(一)复习
1.一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)
.对于一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
例解方程：(x-3) 2=4? (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得? x-3=±2，移项，得? x=3±2。
所以? x1=5,x2=1.????? (并代回原方程检验，是不是根)
.其实(x-3) 2=4展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)
(x-3) 2=4, ??x2-6x+9=4,?? ② x2-6x+5=0. ③
(二)新课
1.逆向思维
我们把上述由方程→方程→方程的变形逆转过来，可以发现，对于一个的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。
?? 2.通过观察，发现规律
问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。?? (添一项+1)
?即?? (x2+2x+1)=(x+1) 2.
练习填空：
x2+4x+( )=(x+? ) 2;???? y2+6y+(? )=(y+? ) 2.
算? x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。
总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.
(让学生对式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)
?? 总左边的常数项是一次项系数一半的平方。
????问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么?
巩固练习(填空配方)
?? ??x2-bx+(? )=(x-? ) 2;??????????? x2-(m+n)x+(? )=(x-? ) 2.
?.用配方法解一元二次方程(先将左边化为(x±) 2形式)
? ? 例1 解方程：x2-8x-9=0.?????????? 解：移项，得?? x2-8x=9,
???? 两边都加一次项系数一半的平方，
???????????????????? x2-8x+42=q+42,
???? 配方，得????????????? (x-4) 2=25,
???? 解这个方程，得??????? x-4=±5，
???? 移项，得????????????? x=4±5. 即????? x1=9,x2=-1.????????? 例2??? 解方程：x2-8x-8=0.
????解：原方程移项，像x2-8x=8，方程左边配方添一次项系数一半的平方，方程右边也添一次项系数一半的平方
??????????????????????? x2-8x+(x-4) 2=8+(-4) 2,
??????????????????????????? (x-4) 2=24,
??????????????????????????? x-4=±2 6，
???? 所以 x1=4+2 6 ,x2=4-2 6.
???? 例3??? 解方程：x2-8x+18=0.
????????解： 移项，得? x2-8x=-18.???
???? 方程两边都加(-4) 2,得?x2-8x+(-4) 2=-18+(-4) 2,
??????????????(x-4) 2=-2.
??? 因为平方不能是负数，x-4不存在，所以x不存在，即原方程无解.
? 例4?? 解方程x2+2mx+2=0，并指出m2取什么值时，这个方程有解.
????? 分析：由例3可见，在方程左边配方后，方程右边式子的值决定了此方程是否有解，当方程右边式子的值是正数或零，此方程有解，当方程右边式子的值是负数，此方程无解.
???? 解：移项，得x2+2mx=-2.
???? 配方，两边加m2,得
?????????????????????x2+2mx+m2=m2-2,
?????????????????????(x+m) 2=m2-2,
????? 当m2-2≥0，即m2≥2时
????? 所以m2≥2，原方程有解.
????例5?? 解方程：3x2+2x-3=0.
????? 提问：二次项系数不是1，怎么办?????????五、课堂练习
?????? 1.用配方法解方程：x2-4x-3=0.2.用配方法解法程：2x2+5x-1=0.
???小结
?????? 1.填空：x2+px+(? )=(x+? ) 2.
?????? 2.用语言说出对于x2+px添上什么，才能成为一个完全平方?
?????? 3.用配方法解一元二次方程的步骤是：
?????? (1)化二次项系数为1；
?????? (2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；
???? ??(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；
?????? (4)变形为(x+m2)n的形式，如果n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m-.
??? ???? ?用配方法解方程：
?????? (1)x2-10x+24=0;?????? (2)x2+2x-99=0;
?????? (3)y2+5y+2=0;????? (4)3x2-1=4x;???? (5)ax2+x-2=0? (a＞0)；??? (b2-4ac≥0).并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法.
（三）讲解例题
1、展示课本P．16~P．17例10(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号.
2、引导学生完成P．17例10(3)的填空，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式.
3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.
（四）应用新知
课本P．18练习，第(1)~(4)题.
（五）课堂小结
1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0.
2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.
3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程.
1.2.3 公式法(2)
教学目标
1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。
2、了解b2-4ac的值与一元二次方程解的情况的关系。
3、会用适当的方法解一元二次方程。
4、通过训练，提高学生运算的正确率，养成良好的运算习惯。
重点难点
重点：熟练地运用公式法解一元二次方程。
难点：选用适当的方法解一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、一元二次方程的求根公式是什么？其成立的条件是什么？
2、引导学生完成P．17例11填空，并让学生思考：此方程可以直接用因式分解法求解吗？试一试。
（二）探究新知
1、让学生观察课本P．16-P．17例10，例11，并思考问题：b2-4ac的值与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况有什么关系？引导学生归纳：由例10知，当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；由例11知，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
2、让学生观察方程(x+ )2- =0，当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解吗？试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解？
通过对此问题的讨论让学生明确：当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数解。所以在运用公式法解一元二次方程时，先要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，可以用公式法求解；当b2-4ac<0时，方程无实数解，就不必再代入公式计算了。
3、谈一谈：我们已学了哪些解一元二次方程的方法？怎样选择适当的方法解一元二次方程？
让学生展开讨论，教师引导学生归纳：我们已学了因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法四种解一元二次方程的方法。在这些解法中，公式法是通法，即能解任何一个一元二次方程，但对某些特殊形式的一元二次方程，用因式分解法或直接开平方法较简便，配方法也是解一元二次方程的通法，但不如公式法简便，在解一元二次方程时，实际上很少用。
（三）应用新知
1、不解方程判定下列方程的根的情况。
(1)4y+2y2-3=0； (2)x2+ =3x； (3) x2-6x+21=0
提醒学生：在运用b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况时，先要将一元二次方程化为一般形式，从而才能正确地确定a，b，c的值。
[解] (1) 原方程可化为2y2+4y-3=0，
因为b2-4ac=42-4×2×(-3)=40>0，
所以原方程有两个不相等的实数根。
(2) 原方程可化为x2-3x+ =0，
因为b2-4ac=(-3)2-4×1× =0，
所以原方程有两个相等的实数根。
(3) 因为b2-4ac=(-6)2-4× ×21=-6<0，所以原方程无实数根。
2、课本P．19习题1．2，B组1(1)，(3)，(5)，(7)。
注意：选用适当的方法解一元二次方程。
（四）课堂小结
1、举例证明怎样运用适当的方法解一元二次方程。
2、用公式法解一元二次方程为什么要先算b2-4ac的值？怎样由b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况?
3、一元二次方程的四种解法各不相同，可用于不同形式的方程；但又相互紧密联系，都体现了“降次”的转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程求解。
（五）思考与拓展
已知关于x的方程： x2-(m-2)x+m2=0。
(1) 有两个不相等的实数根，求m的范围；
(2) 有两个相等的实数根，求m的值；
(3) 无实数根，求m的范围．
[解] b2-4ac=[-(m-2)]2-4× ×m2=-4m+4，
(1) 因为原方程有两个不相等的实数根，所以-4m+4>0，即m<1。
(2) 因为原方程有两个相等的实数根，所以-4m+4=0，即m=1。
(3) 因为原方程无实数根，所以-4m+4<0，即m>1。
布置作业
教学后记：
1.3 一元二次方程的应用（）教学目标
1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。
2、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
重点难点
重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
难点：把一代数问题化归为解一元二次方程的问题。
教学过程
（一）复习引入
1、回顾：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？让学生自己总结，因人而异，教师可以加以引导归纳。
2、填空：
（1）当x= 时，代数式3x-5与3-2x的值互为相反数。
（2）当x= ，y= 时，代数式2x+y的值为6，代数式3x-y的值为9。
（3）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程没有实数根。
（二）创设情境
前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用，数学的价值 。
（三）讲解例题
1、展示课本.19~P.20，例1，例2。
说明和建议：（1）让学生明确解这尖题的步骤是：首先用方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。
（2）对于基础较好学生可让他们自己探索解题方法，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验，教师加以适当的总结。
2、展示课本P.21，例3。
注意：（1）利用“复习引入”中的内容让学生明确，当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根。
(1)解这类题,首先要将方程整理成关于x2的一般形式,从而正确地确定x的二次项系数、一次项系数及常数项a，bc (此题是用t表示)，然后把问题化归为解一个（此题是关于t的）一元二次方程。
（四）应用新知
课本P.21，练习第1，2题
（五）课堂小结
1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？
2、在本节课的解题中要注意一些什么问题？
（六）思考与拓展
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润。
（1）写出x与y之间的关系式；
（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？
[解]（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是50-10x个，则依题意得y=[（50+x）-40]（500-10x），即y=-10x2+1000x+5000。
（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000。
整理，得x2-40x+300=0。
解得x1=10, x2=30。
所以商品的单价右定为50+10=60（元）或50+30=80（元）
当商品和单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）
布置作业
课本习题 1.A组第1，2题，选做B组第1题 。
1.3 一元二次方程的应用（）教学目标
1、会建立一元二次方程的型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释。
2、让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识。
重点难重
重点：应用一元二次方程解决实际问题。
难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型
教学过程
（一）复习引入
1、复习列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）设未知数：用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
（4）解方程：求出所给方程的解；
（5）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
（6）作答：根据题意，选择合理的答案。
2、说一说，菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？
（二）讲解例题
1、展示课本P.22例4，按下列步骤讲解：
（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（2）确定本题的等量关系是：菱形的面积=×矩形面积；
（3）引导学生根据题意设未知数；
（4）引导学生根据等量关系列方程；
（5）引导学生求出所列方程的解；
（6）检验所求方程的解合理性；
（7）根据题意作答；
（8）按课本P.22∽P.23格式写出解答过程。
注意：设未知数和作答时都不要漏写单位。
2展示课本P.23例5，让学和仿照例4解答此题，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验。在检验所求方程解的合理性时，教师要特别注意用图形引导学生思考，作出正确判断。
（三）应用新知
课本P.24，练习。
（四）课堂小结
1、用“（1）审、（2）设、（3）列、（4）解、（5）验、（6）答”六个字概括列方程解应用题的六步，使学和生对方程解应用题的步骤更熟悉。
2、在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。
（五）思考与拓展
如图1-2，一个长为10 一元二次方程的应用（）教学目标
1、一元二次方程 2、重点难
重点：一元二次方程解难点：一元二次方程的模型
教学过程
（一）复习引入
？解：
三、知识应用
１、两个数的和为１６，积为４８。求这两个数。
２、有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大６，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与原数相乘，积为３６２７。求这个两位数。
３、一个直角三角形的三边长是连续整数。求这三条边长。
４、一个多边形有１４条对角线，那么这个多边形的边数是多少？
５、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。
６、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3 无盖的长方体盒子。求截去小正方形的边长。
７、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了１８２件。求全组人数。
四、拓展延伸
如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
1.3 一元二次方程的应用(5)
教学目标
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
教学重点：
学会用列方程的方法解决有关增长率问题．
教学难点：
有关增长率之间的数量关系．
教学过程：
一、新课引入：
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
二、新课讲解：
例1?某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？
分析：设月平均增长的百分率为x．
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
练习1. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
练习2．教材P.96中3．
练习3．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．
以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为_________，增长两次后的产值为__________，…………增长n次后的产值为____________．
例2? 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？
分析：设每次降价的百分数为x．
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）·x=600（1-x）2（元）．
解：
引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降的百分数为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为 a（1+x）2=b或a（1-x）2=b．
练习4. 教材P.96中4．
三、课堂小结：
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．
四、作业:教材P.99习题4.3中1.2. 教材 P.102复习题中7.
1.3 一元二次方程的应用(6)
教学目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：
一、情境问题
问题1、一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：
矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，
可以列出方程求解。
解：
问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?
解：
二、练一练
1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？
解：
2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
解：
三、课后自测：
1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
2、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？
4、如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。
5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
小结与复习（）教学目标
1、 2、重点难重
重点：一元二次方程解难点一元二次方程
教学过程
（一）复习引入 （2）用配方法解方程4 x2+4 x-15=0时将方程配方的结果是 （ ）
A（x+2）2=19 B（2 x+1）2=16 C（x+ ）2=4 D（x+1）2=4
评注：（1）先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式（m+1）x2-3x+2=0然后确定m+1≠0,即m≠-1。
（2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。
例2 选择适当的方法解下列方程：
（1）（x-1）2+ x（x-1）2=0 （2）9（x-3）2-4（x-2）2=0
（3）-2y2+3= y （4）x2+2 x-4=0
评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。
2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式。
3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解。
（三）巩固练习
1填空：
（1）（k-1）x2-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 。
（2）填写下表。
一元二次方程 一般形式 二次项数 一次项系数 常数项 3 x2-5=2 x （x+1）2=4 πx 2=0 x（x + ）=0 答案：（1）k≠1。（2）见下表：
一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次系数 常数项 3 x2-5=2 x 3 x2-2 x-5=0 3 -2 -5 （x+1）2=4 x 2+-3=0 1 2 -3 x 2=0 x 2=0 π 0 0 x（x+ ）=0 x 2+ x=0 1 0 2、选做课本复习题一中B组第1，2题。
（四）课堂小结
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么？
3、怎么选择适当的法解一无二次方程？
（五）思考与拓展
1、已知方程mx2+mx+3m-x2+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程。
2、选做课本复习题一的C组题。
布置作业
课本复习题一中A组第1、2、3题。
教学后记：
小结与复习（）
教学目标
1、 2、重点难重
重点：一元二次方程解难点一元二次方程
教学过程
（一）复习引入分析：浓度问题，关键是利用基本关系式：浓度=
[解] 设每次倒出x升，第一次倒出后剩下的纯精为63-x升，加水充满后酒精溶液的浓度是 ，第二次倒出纯酒精 ·x升，第二次倒出后剩下纯酒精（63-x）- 升。
根据题意，得（63-x）- =28
即（63-x）（1- ） =28
63（1- ）2=28
所以1- =±
x1=21， x2=105（不合题意，舍去）
答；每次倒出酒精溶液21升。
布置作业
课本复习题一中A组第4、5、6题 ，选做B组第3题 。
教学后记：
教案
命题与证明
2.1定义与命题（1）
【教学目标】
1．．?重点：命题的概念．
?难点：象范例中第（3）题，这类命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果…那么…” 形式学生会感到困难，是本节课的难点．
【教学过程
（1）阅读新华社酒泉2005年10月11日这篇报导：
神舟六号载人飞船将于10月12日上午发射，……神舟六号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务．按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角42.4°、近地点高度为200千米、远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道．
要读懂这段报导，你认为要知道哪些名称和术语的含义?
（2）什么叫做平行线？（在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线）．
什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）．
二、合作交流，探求新知
1．定义概念的教学
从以上两个问题中引入定义这个概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．
象问题（1）中的轨道倾角、近地点高度、远地点高度、变轨的含义必须有明确的规定，即需要给出定义．
完成做一做
请说出下列名词的定义：
(1)无理数；(2)直角三角形；(3)一次函数；(4)频率；(5)压强．
2．命题概念的教学
教师提出问题：
判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；
(4)，两条直线平行吗? (5)鸟是动物； (6)若，求的值； (7)若，则．
答案：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．
在此基础上归纳出命题的概念：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．象句子(1)(3)(5)(7)都是命题；句子(2)(4)(6)都不是命题．
说明：讲解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．
3．命题的结构的教学
告诉学生现阶段我们在数学上学习的命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论．如“两直线平行，
同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行，那么同位角相等”．
三、师生互动 运用新知
下面通过书本中的范例介绍如何找出一个命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．
例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)三条边对应相等的两个三角形全等；
(2)在同一个三角形中，等角对等边；
(3)对顶角相等；
(4)同角的余角相等；
(5)三角形的内角和等于180°；
(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．
分析：找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去．
（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．
（2）学生可能会说条件是“在同一个三角形中”，结论是“等角对等边”．教学时可作这样引导：“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等，`然后提问学生，一个三角形满足什么条件时，有两条边相等？这个命题的条件是什么？结论是什么？
值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．
（3）可作如下启发：对顶角指两个角的关系，相等指两个角相等．把“两个角”添补上去，写成“是对顶角的两个角相等”，这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；
(6) 如果“一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．
例2 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?
(1)若a
(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?
(4)两点之间线段最短；
(5)解方程；
(6)1＋2≠3．
答案：（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．
例3
请给下列图形命名，，并给出名称的定义：
① ②
答案：略
（2）观察下列这些数，找出它们的共同特征，给以名称，并作出定义：
－52，－2，0，2，8，14，20，…
答案：能被2整除的整数是偶数．
四、应用新知 体验成功
课内练习：教材中安排了4个课内练习，第1题是为定义这个概念配置的，第2题是为命题这个概念配置的，第3、4题是为命题的结构配置的．第4题可以通过同伴或同桌的合作交流完成．
五、总结回顾，反思内化
学生自由发言，这节课学了什么？教师做补充．
三个内容：
六、布置作业 巩固新知
课本P72作业题．
2.2 定义与命题（2）
【教学目标】
?知识目标：理解真命题、假命题、公理和定义的概念
?能力目标：会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题。
?情感目标：通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法。
【教学重点、难点】
?重点：判断一个命题的真假是本节的重点。
?难点：公理、命题和定义的区别。
【教学过程3/4ａ２ ．
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
对于任何实数ｘ，ｘ２ ＜０．
提问：上述命题中，哪些正确？哪些不正确？
２：得出真命题、假命题的概念：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
３：把学生分成两组，一组负责说命题，然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题
（二）：举例：判断下列命题是真命题还是假命题
x=1是方程x2-2x-3=0 的解。
x=2是方程 （x2 –4）/（x2 -3x+2）＝０的解。
如图，若∠1=∠2，则∠３=∠４。
一个图形经过旋转变化，像和原图形全等。
（三）讲述公理和定义
１：公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。
例如：“两点之间线段最短” ，“一条直线截两条平行所得的同位角相等” ，然后提问学生：你所学过的还有那些公理
２：定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
３：举例
请用学过的公理或定理说明下面这个命题的正确性：“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线互相重合“
（四）：课内练习：见书本作业题
（五）：作业：见作业本
2.3 公理和定理
考标要求：
1 了解公理与定理到概念，以及他们之间的内在联系；
2 了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；
3 掌握教材十条公理和已学过的定理。
重点难点
一 选择题（每小题5分，共25分）
1 下面命题中：
（1）旋转不改变图形的形状和大小， （2）轴反射不改变图形的形状和大小
（3）连接两点的所有线中，线段最短，（4）三角形的内角和等于180°
属于公理的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2 下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（ ）
A 公理和定理都是真命题， B公理就是定理，定理也是公理，
C 公理和定理都可以作为推理论证的依据D公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
3推理：如图∵ ∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是（ ）
A 等量加等量和相等，B等量减等量差相等C 等量代换 D 整体大于部分
4 推理：如图：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知) ∴AD=CD,CD=DB( 等腰三角形的性质) ∴AD=DB( )
括号里应填的依据是（ ）
A 旋转不改变图形的大小
B 连接两点的所有线中线段最短
C等量代换
D 整体大于部分
5 下面定理中，没有逆定理的是
（ ）
A 两条直线被第三条直线所
截，若同位角相等，则这两条直线平行
B 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C 平行四边形的对角线互相平分
D对顶角相等
二 填空题（每小题5分，共25分）
6 人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为____
运用基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫_______;
7定理： “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是：___________________
_______________________________________;
8 ____________________________________________________是定理“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”的逆定理
9 如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下面结论中
（1） △ABC≌△DEF,（2）∠DEF=90°，(3) AC=DF (4) AC∥DF (5) EC=CF 正确的是______________(填序号)，你判断的依据是_______________________________________
10 要使平行四边形ABCD成为一个菱形，
需要添加一个条件，那么你添加的是
_____________,依据是___________
______________________________。
三 解答题（3×12+14=50分）
11 仔细观察下面推理，
填写每一步用到的公理或定理
如图：在平行四边形ABCD中，
CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，
求∠BCE
解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)
∴AD∥BC（ ） ∵∠A=125°（已知） ∴∠B=180°-125°=55°（ ）
∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°( )
12 如图将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A’OB’若A点的坐标为（a,b）,则B点的坐标为（ ），你用到的依.据是________________________________________________
13如图所示，在直角坐标系xOy中， A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根据轴反射的定义和性质完成下面问题：(1)在右图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；(2)写出点C关于y轴的对称点C′的坐标
14如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所学公理、定理、定义说明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD
2.4证明（1）
【教学目标】
1．了解证明的含义。
2．体验、理解证明的必要性。
3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
【教学重点、难点】
?重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式。
?难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。
【教学过程 倍”是真命题吗？请说明理由
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。
教师对具体的说理过程予以详细的板书。
小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。
（2）通过例2的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求
例2、 证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。
证明过程的具体表述 （略）
小结：证明几何命题的表述格式 （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）
在“证明”中写出推理过程。
（3）练习：P76课内练习2
例题教学
例2、 已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。
求证： AB∥CD （证明略）
练习巩固
P76 课内练习3
小结
证明的含义
真命题证明的步骤和格式
思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？
六、作业布置
2.4证明（2）
【教学目标】
１．进一步体会证明的含义；
２．探索并理解三角形内角和定理的几何证明；
３．进一步熟练证明的方法和表述；
４．让学生体验从实验几何向推理几何的过渡．
【教学重点、难点】
?重点：探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述．
?难点：例１是由较复杂的题设条件得出若干结论，用到多个定理，是本节的难点．
【教学过程（一）通过一个简单的例子向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证，让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。
命题：求证：三角形任何两边之和大于第三边．
（1）让学生回顾七年级对此命题的说明过程
（2）教师通过“两点之间线段最短”来说明上述命题，
并板书论证过程．
（二）探究新知
问题：三角形内角和定理是什么？
出示命题：
求证：三角形三内角和等于180°．
分析：（1）这个命题的条件和结论是什么？并根据条件和结论画出图形，写出已知，求证．
（2）请同学们回顾，在三角形部分，对这个命题是用哪种实验方法加以说明的．（可请成绩较好的同学回答）
（3）请同学们思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容易产生相等的角？（同学之间相互合作，讨论学习，时间可稍长）
根据学生的回答，添辅助线并引导学生梳理推理的过程（此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线）
（4）师生共同完成推理过程．
启发学生再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他方法，比如选三角形边上一点（此处也可让学生相互讨论并尝试），师生共同探究出证明过程：
可在BC边上任意取一点P，作PD∥AB，交AC于点D；作PE∥AC，交AB于点E．
证明：∵PD∥AB（已知）
∴ ∠DPC=∠B
∠CDP=∠A (两直线平行，同位角相等)
又 ∵ PE∥AC
∴ ∠EPB=∠C (两直线平行，同位角相等)
∴ ∠EPB+∠EPD+∠DPC=∠C+∠A+∠B=180° (等量代换)
设问：三角形内角和外角之间有什么关系？
（学生讨论，自己试着给出证明过程）
运用新知，体验成功
如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断
（可让学生自行完成，并口述过程，老师作点评）
拓展提高，综合运用
例１ 已知：如图，AD是∠BAC的角平分线，BC⊥AD于点O，
AC⊥DC于点C．
求证：（1）⊿ABC是等腰三角形；
（2）∠D=∠B．
（一）启发诱导，形成思路
（1）要证明⊿ABC是等腰三角形，只需证明什么？
（AB=AC或∠B=∠ACB）
（2）证明两边相等或两角相等常用的方法是什么？
（三角形全等）
图中能否找到以AB，AC为对应边的全等三角形？⊿ABO与⊿ACO全等吗？应该满足什么条件？
（3）要证明∠D=∠B，你能找到合适的全等三角形吗？
根据已知AC⊥DC，能得到∠D与三角形中哪个角互余？
根据已知BC⊥DA，能得到∠B与三角形中哪个角互余？
（二）指导学生完成证明过程；
（三）指明此题是由结论出发寻求解题思路，这是常用的一种数学方法――分析法．
五、疏理全过程，形成小结
（1）本节课你的最大收获是什么？
（可根据学生的回答大概归纳为：三角形内角和定理的证明方法――作平行线法；
常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路――分析法．）
六、课外作业：见作业本．
2.4证明（3）
【教学目标】
1、继续学习证明的方法和表述
2、通过探求，让学生归纳和掌握证明的两种思考方法。
【教学重点、难点】
?重点：本节教学重点是如何分析证明的途径．
?难点：难点是例6的证明，要用逆向思维的思考方法．
【教学过程 教学内容 学生活动 一、引例 显示引例 在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D。 和老师一起读题，并要求能根据题意准确画图。
二、回顾 图形中，有几个锐角 4个 回答问题 提问：通过观察,图形中这4个锐角大小有什么关系？ 两两分别相等 学生思考，然后个别提问 提出问题，提问学生时帮助总结证明方法。 问题：求证：∠ACD=∠A
证明：∵∠ACB=Rt∠
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠BCD=∠A(其它证法亦可) 同学们思考，然后让一学生归纳方法。 板书：课题 §4.2证明（3） 三、新课讲解
例5 1、指导学生，理解题意 已知：如图，AD是ΔABC的高，E是AD上一点，若AD=BD，DE=DC，求证：∠1=∠C
审题，认真思考并且积极回答老师的提问 2、思考：证明两个角相等的方法有哪些？ 证明两个角的方法较多，如两条直线平行，同位角相等或内错角相等，在本题总结的过程中帮助学生引导∠1和∠C在两个三角形有什么特点。 学生讨论，然后提问总结。 三、新课讲解
例5 3、教师帮助总结 通过证明∠1与∠C所在的三角形全等 通过提问学生总结方法 4、问：如何证明？ 在全等的证明过程中，已知两条件：AD=BD，DE=DC
通过AD是ΔABC的高，可证出∠ADC=∠BDE=Rt∠ 学生找已知条件和需证条件 5、给出解题步骤 证明：∵AD是ΔABC的高
∴∠BDE=∠ADC=Rt∠
又∵BD=AD（已知）
DE=DC（已知）
∴ΔBDE≌ΔADC（SAS）
∴∠1=∠C（全等三角形的对应角相等） 学生口述证题过程 四、课堂练习一 学生完成练习一后，出示参考证明核对（略） 已知：如图，在ΔABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠1=∠2，求证：∠B=∠ADE 一学生在黑板上演示，其他学生在课本上完成练习。 五、新课讲解
例6 显示例6（屏幕显示）
问：证明两直线平行的方法有哪些？
已知：AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，求证：EF∥BC 审题后思考：证明两直线平行主要有哪些方法。 2、通过学生的回答，总结两直线平行的方法 平行的证法较多，有时无从着手，但联系本题，需引导学生从结论出发进行思考。 分组讨论，前面组回答，后面组补充总结 3、问，若在多条交流的河流下游发现河水被污染，该怎么找到污染源？ 总结出一条可行的方法——逆流而上寻找污染源。 发挥学生的发散思维，让学生充分思考，尽情发挥。 4、联想本题，发生类比，从结论出发总结证明思路。
联系本题，让学生总结出逆流而上寻找证题思路。 5、出示证明过程 证明：因为将纸片沿直线EF折叠后，点A与点D重合，所以EF是线段AD的对称轴。
∴EF⊥AD（对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段）
∵AD是ΔABC的高（已知）
∴BC⊥AD（三角形的高的定义）
∴EF∥AD（垂直于同一条直线的两直线平行） 通过总结，完成证题 6、提出问题，让学生课外思考完成后上交。 问：审题从结论出发，还有其它的解法 让学生解一题多种，学生可以互相讨论。 六、课堂练习2 出示（屏幕显示） 已知：如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证，ΔADC≌CBA
请写出分析和证明过程
学生仔细审题 要求学生用逆向思维的思考方式写出分析过程 学生独立完成，互相讨论，总结方法。 七、课堂小结 问：这节我们学到了什么？ 1、会正确表述证明的过程
2、会判断如何证明角、边相等，两直线平行
3、学会用证明的两种思考方法，特别要体验逆向思维的必要性 学生自由回答 八、作业布置 1、完成课本“作业题”
2、预习下一节 记录
2.4反例与证明
【教学目标】
1、理解反例的意义和作用。
2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的
【教学重点、难点】
?重点：用反例证明一个命题是错误的．
?难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．
【教学过程有一条边、两个角相等的两个三角形全等
解（1）是假命题。
取x = -1 , y = 2 ，
则2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0
但x≠0且y≠0。
即x = -1，y = 2 具备2 x + y = 0 的条件，
但不具备命题的结论，
所以此命题为假命题
（2） 假命题。
如图：△ABC和△A’B’C’中，
∠A=∠B’
∠B=∠C’
AB=A’B’
但很明显△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命题为假命题
例题小结： 如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。
3、变式练习： 判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。
分析：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例。本题可以从以下两方面考虑，（1）三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点），如图4-4-4（2），则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，显然它们不全等。
解 这是一个假命题，证明如下：
如图4 – 4 – 4（1），在△ABC中，AB=AC，延长CB到D，连结AD。
则AB=AC，（已知）
AD=AD，（公共边）
∠D=∠D，（公共角）
但△ADB与△ADC不全等。
评注 能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。
练习 P85 课内练习1、2
小结：1、如何去判断一个命题是假命题
2、怎么样的反例才可以证明一个命题是假命题
五、作业：见作业本
教案
图形的相似
3.1 相似的图形（1）
教学目标：理解相似形的特征，掌握相似形的识别方法.
教学重点：通过测量、计算让学生感受相似形的特征，了解相似形的识别方法.
教学难点：在运用特征解决有关线段或角度的问题时，应注意“对应”.
教学过程：
一、情境创设：
通过对生活中形状相同的图形的观察和欣赏，初步感受相似：
你能看出上述图片的共同之处吗？（它们的大小不等，形状相同. ）
二、新课探究：
你还记得全等的图形吗？说一说全等的图形和形状相同的图形之间有什么联系与区别！
定义1：形状相同的图形是相似的图形。
想一想： 你能举出生活中所见过的相似图形吗？
定义2：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F； ，则△ABC与△DEF相似，
记做“△ABC∽△DEF”。其中k叫做它们的相似比。
注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的
字母写在对应的位置上。
思考：
如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
定义3：类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比。
三、例题教学：
例1：如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，
△DEF与△ABC相似吗？为什么？
(具体解题过程见教案P112)
B
例2：如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长
(具体解题过程见教案P112)
教学后记：
3.1 相似的图形（2）
[新知导读]
1、给你一块巴掌大的多边形的玉石，你能在上面雕刻曹雪芹的名著《红楼梦》吗？也许你会瞠目结舌：那字得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似的图形．
①你还能举几个生活中常见的相似形吗？
如： ；
②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．
答：①略；②形状、大小。
2、下列图形不是形状相同的图形是（ ）
A、某人的侧身照片和正面
B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C、像同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
D、一棵树与它倒影在水中的像 答：A
[范例点睛]
例1：放大镜下的图形和原来的图形相似吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？一对双胞胎兄弟同时拍的照片是相似形吗？
思路点拨：放大镜的作用是把整个图形变大，不会改变原图形的形状；哈哈镜是一种改变人的形状的特殊镜子，可以把长变短，圆变椭圆，以达到搞笑、开心的效果；科学家研究发现世上没有相同的两个人（长相不会完全相同），通常我们说某某与某人长得好像是相似形，这是生活中语言文字描述上的相似，而不是数学上的相似形．
例2：下面各组图形中，哪些是相似形？哪些不是？
(1) (2)
(3) (4)
方法点拨：①两个图形相似，则其中一个通过放大多少倍或缩小多少倍都能使它与另一个互相重合，若两个图形是相似图形，则对应边成比例，对应角相等．②判断两个图形是不是相似图形的标准是：形状完全相同，若形状不同或部分相同，则不是相似形．
例3、在图(2)所附的格点图里将(1)的图形放大
思路点拨：对应线段应放大相同的倍数．
易错辨析：相邻线段夹角的大小不能变化
[课外链接]放大图形的另一种方法
(1) 在原来的图片上画一些小方格子
(2) 在另一张纸上画同样数量的大方格子
（如果你想放大一倍，那么大方格子必须是小方格子边长的2倍，依此类推）．
(3) 将小方格子的内容画在相应的大方格子中放大下面的图形，并尝试说明其中的一些道理．
[随堂演练]
1、下列图形中不一定是相似图形的是 （ ）
A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形
C、两个长方形 D、两个正方形
2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( )
A、50° B、95° C、35° D、25°
3、若△ABC∽△A‘B‘C’，且，则△ABC与△A‘B‘C’相似比是 ，△A‘B‘C’与△ABC的相似比是 。
4、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。
5、如图，左图格点中有一个四边形，在右边格点图中画出一个与该四边形相似的图形。
与你的同伴比一比，看谁画得又快又好．
6、观察下面的各组图形，其中相似的图形有 （填序号）．
(1) (2) （3）
(4) (5) (6)
7、如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°.
求:(1)∠ADE和∠AED的度数；(2)DE的长.
8、如图，七巧板中有多少组相似三角形？拼一拼，看你能否设计出更新颖的相似图形，试一试，和你的同学交流拼法．
9、观察一组图形，图形中的三角形都是相似三角形，根据其变化规律，可得第10个图中三角形的个数为
10、如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(不全等)，且点A1、B1、、C1都在单位正方形的顶点上．
3.2.1 线段的比、成比例线段
教学内容：线段的比，成比例线段
教学目标：①知识与技能：结合现实情境了解比和成比例线段的概念。
②过程与方法：经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题
③情感与价值观：通过现实情境，培养应用意识，数学、自然、社会的密切联系
教学重点：线段的比，成比例线段的概念。
教学难点：判断四个数或四条线段成比例
教学准备：地图、直尺
教学方案：（包含教学的过程、教法与学法、练习、板书等）
一、复习引入
挂上两张中国地图，问：
1.这两个图形有什么联系?
它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。
2．两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
二、新课
先从这两张相似的地图上研究。
1．成比例线段；
请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置，如果我们用A、B、C分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB＝＿＿cm，上海到福州的直线距离，即线段BC＝＿＿cm，在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm。在地图上量出的AB与A′B′，BC与B′C′长度是否相等?为什么会不一样呢?
线段AB与A′B′，BC与B′C′有什么关系呢?请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB：A′B′，BC：B′C′会有什么样的结果呢?我们会得到AB与A′B′这两条线段的比与BC，B′C′这两条线段的比是相等的，即＝。
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即＝，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，那么其内项乘积等于外项乘积。a· d＝b·c，其它的比例性质也都适用。
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的距离， 即AC与A′C′，然后再算AC；A′C′，看看是否成比例。如果≠，那会出现什么情况?
如果＝那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2＝ac
例1：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求甲、 乙两地的实际距离。
例2：线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求: 与，这四条线段会成比例吗?
例3:如图AB＝21，AD＝15，CE＝40，并且＝，求：AC的长
三、练习
1．(1)根据图示求线段比、、、、
(2)指出图中成比例的线段。
2、等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底边的比是多少？
四、小结
同学回忆
1、什么样的线段成比例线段？
2、线段成比例与线段比有什么区别？
3、比例有哪些性质？
五、作业
课本65—66面的题： 1、2题
板书设计：
①线段的比：
a:b或
②成比例线段：
线段的比，成比例线段 a:b＝c:d或＝那
③注意：（1）长度单位
（2）线段的比有顺序
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割
课 题:比例的基本性质黄金争分割
教学目标: 1、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义。
2、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点。
重 点: 黄金分割的意义。
难 点: 怎样找一条线段的黄金分割点或在一个图形中找出黄金分割点。
学习过程: 一、课前预习与导学
1、如图所示的五角星中，与的关系是（ ）
A.相等 B＞ C. ＜ D不能确定
2、（1）如图所示，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则AC≈____BC≈_____；（2）一条线段的黄金分割点有____个。
3、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？（结果保留四个有效数字）
4、如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB＝1，求CD的长。
一、课题引入，激发学习兴趣
1、请同学们欣赏以下两幅图片
图（1） 图（2）
2．（1）调查并统计学生最喜欢一组矩形中的哪一个？（P84 T3）
（2欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例与人以匀称、协调的美感及上海东方明珠塔体的挺拔秀丽。引人课题：黄金分割
二、探索新知
1.我们都见过电冰箱吧，你们最常见到的冰箱一般都是什么形状的？(长方形)请看屏幕，如果老师把一个冰箱作成正方形，请同学们看看它和以前的相比哪个更美观实用呢？(学生判断感觉还是长方形好看。)
2.根据提供的一系列的数值计算出冰箱门宽与长的比值。
3.书上P86页上方也有一个类似的图形，请同学们量出线段BC与AB的比值，算算大约是多少？
4.把书上10-2中的矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上（如图10-3）所示，此时点B把线段AB分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割。（有一种通俗的说法是：小段与大段的比=大段与线段全长的比）
点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC的比值为，大约为0.618，这个比值称做黄金比。（屏幕展示）
问题：一条线段的黄金分割点有几个？
5.对于一个矩形，如果它的两条边长度的比值约为0.618，这种矩形称做黄金矩形，屏幕上同学们选中的矩形就是黄金矩形。
6.“黄金分割”给人以美的感觉，用数学眼光看事物，不难发现生活中存在大量的黄金分割。
（1）（展示国歌的歌谱）同学们，国歌一个国家的象征，《义勇军进行曲》是我国的国歌，其实它是散文式的自由体新诗，作曲家聂耳在谱曲时，创造性地将它谱成由6个长短不等的乐局组成的自由体乐段。歌曲的高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比的振奋！
（2）（展示芭蕾舞照片）芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。请同学测量书上AB与AC的长，然后求出比值，看看结果是多少 ？芭蕾舞演员的身材是苗条的，然而他们这个比值也只有0.58左右，于是人们设想：如果让演员在表演时踮起脚尖，那么整个身高就可以增加6~8cm，这时，肚脐以下部分与整个身长的比就可以接近黄金数0.618，从而给人以更为优美的艺术形象。
（3）（展示上海东方明珠电视塔）上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽。请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值。
（4）根据你的生活经验,你认为主持人应该站在舞台的什么位置，才能使得主持人的位置看起来更美观。
(5)你能举出生活中具有黄金分割的实际例子吗？请与同学们交流。
(6)教师在学生讨论交流的基础上进行总结:生活中很多地方都用到了黄金分割，比如：
一幅画，一幕舞台的设计都有它的中心，这个中心往往放在黄金分割点处使人感到更美。
舞台上，报幕员并不站在舞台的中央，而是偏在舞台的一侧，以站在舞台的长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的效果最好。假设一个舞台的长度为10M的话，请问这位报幕员应站在什么地方比较合适？
教科书都是长方形，它的宽与长的比约为0.618。书面太“胖”或者太“瘦”都不好看，只有符合黄金分割比的封面最好看。请你量一下自己的数学书的长和宽，算出他们的比值，看你的书本是否符合黄金分割啊？根据你的计算结果，说说你的看法。已知老师的教参书的长是29.6cm，请问教参的宽大约是多少？
⑤维纳斯雕像、雅典娜女神雕像等世界艺术珍品中，他们身材的比例合乎黄金分割，尤其是肚脐之下的长度与身高之比都接近0.618。假设某人是标准身材，他的身高是1.8m，请问他的头顶到肚脐约多少米？
三、训练提高，巩固新知
黄金分割在我们的周围有着广泛的应用，那我们怎么找出一条线段的黄金分割点呢？下面让我们一起来学习黄金分割点的画法。尝试画图：
1.作顶角为的等腰三角形ABC
2.分别量出底边BC与腰AB的长度
3.作的平分线，交AC于点D，量出的底边CD的长度。
并分别求出与的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）此时比值是多少？(大约是0.618)
所以我们把顶角为的三角形称为黄金三角形。它具有如下的性质：
（1）
（2）设BD是的底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点
（3）如再作的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形。
思考:五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，图中的点
F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？
四.课堂总结
1、黄金分割的意义,黄金矩形,黄金三角形等概念.
2、通过看书、网络等途径，寻找生活中的“黄金分割”建立自己的“黄金分割”档案。
3、通过本节课的学习，用黄金比设计一个图案，画出草图，并加以说明。
五.课堂作业 P87 T1、2
课外作业《数学补充题》P55～56 10.2 黄金分割
3.3.1 相似三角形的性质（1）
教学目标 1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理和有条理的表达能力。 重 点 相似三角形的性质。 难 点 有条理的表达与推理。 学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分
1、一个三角形变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的 ______ 倍。
2、一个三角形的三边之比为2︰3︰4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的长是_____ ，周长是_____。
3、若△ABC与A′B′C，且∠A=450，∠B=300，则∠C/=____。
4、两个相似多边形的面积之比为1︰4，周长之差为6，则两个相似多边形的周长分别是______。
5、如图，在□ABCD中，AE︰AB=1︰2。
(1)求⊿AEF与⊿CDF的周长的比；
(2)若S⊿AEF=8cm2,求S⊿CDF。
二、新课
(一)、情境创设：
情境1：在比例尺为1︰500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。
问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1︰500表示什么含义？
问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？
问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？
(二)、探索活动：
（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。
1、问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？
问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？
2、若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？
问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，要考虑什么？
问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？
问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？
问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？
得出：相似三角形的周长比等于相似比。
问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”
得出：相似多边形的周长等于相似比
3、若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？
问题1. 有前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？
问题2. 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？
问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
三、例题教学：
例1、 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长为面积。
例2、 如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离AD的长。
例3、如图，已知以点A、D、E为顶点的三角形与
△ABC相似，且AD=3，DE=2.5，AC=6，
∠AEB=∠B，求⊿ABC周长。
例4、如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF。
求证：EF∥BC；
若四边形BDFE的面积为6，求⊿ABD的面积。
四、课堂练习：
课本P106练习题
五、课堂小结与思考
(一)小结：本节课你有什么收获？
(二)思考：1、如图，□ABCD中，M是BC边上的一点，
且AM交与BD与N，AM∶NM=4∶1
（1）试说明△AND∽△MNB；
（2）若CM=2cm，试求BC和BM的长.
2、如图，已知，D为△ABC中AC边的中点，
AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，
若BG︰GA=3︰1，BC=8，求AE的长.
六、中考链接
如图，在△ABC中，DE//BC，若=，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。
说明：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这个例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系。
七、布置作业
课本P108 习题10.5 第1、2、3、4题
课外作业《数学补充题》P65～66 10.5 相似三角形的性质(1) 填空题填好后并说明理由。
有条理地书写解题过程。
操作、观察、思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。
思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。
说出解题思路。
写出解题的过程。
确定对应元素是关键：公共角是对应角。
确定对应边、对应角是解题和关键。
证明△AEF与△ABD相似且相似比是1︰2是关键。
教学后记：
3.3.1 相似三角形的性质（2）
教学目标：
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
教学过程：
一、创设情境
情境1：在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。
问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1：500表示什么含义？
问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？
问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？
情境2：（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。
问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？
问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？
情境3：若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？
问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？
问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？
问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？
问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？
得出：相似三角形的周长比等于相似比
问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”
得出：相似多边形的周长等于相似比
情境4：若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？
问题1. 有了前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？
问题2. 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？
问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
二、例题教学：
例1. 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长为面积。
例2. 如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离AD的长。
（例2） （拓展练习2）
说明：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这个例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系。
三、拓展练习：
1、P131 练习1、2、3
2、如图，在△ABC中，DE//BC，若AE/EC=1/2，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。
四、小结
3.3.2 相似三角形的判定1
一、教学目标
1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1． 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
2． 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
三、课堂引入
1．复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）带领学生画图探究；
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）教师带领学生探求证明方法．
4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）让学生画图，自主展开探究活动．
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
四、例题讲解
例1（教材P46例1）
分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
解：略
※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出 ，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式 ，从而求出AD的长．
解：略（AD= ）．
五、课堂练习
1．教材P47．2．
2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
六、作业
1．教材P47．1、3．
2．如图，AB?AC=AD?AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD?AD，
求证：△ADC∽△CDP．
3.3.2 相似三角形的判定2
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：三角形相似的判定方法2——“两角对应相等，两个三角形相似”
2．难点：三角形相似的判定方法2的运用．
三、课堂引入
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，
那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．
（4）教材P48的探究3 ．
四、例题讲解
例1（教材P48例2）．
分析：要证PA?PB=PC?PD，需要证 ，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．
证明：略（见教材P48例2）．
例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
解：略（DF=10/3 ）．
五、课堂练习
1．教材P49的练习1、2．
2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
3．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
六、作业
1． 已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证： ．
2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC?BC=BE?CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
3.3.2 相似三角形的判定3
〔教学目标〕掌握判定两个三角形相似的方法，让学生经历从实验探究到归纳证明的过程， 发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕两个三角形相似的判定方法2探究过程及其应用
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明 新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系： SSS
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
探究两个三角形相似判定方法3的途径 从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。 提出问题：利用刻度尺和量角器画?ABC与?A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究2
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
若∠A=∠A1，==k
则 ?ABC∽?A1B1C1
辨析：对于?ABC与?A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。
通过几何画板演示验证，培养学生学习在图形的动态变化中探究不变因素的能力。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。 应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ?ABC与?A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200
?ABC∽?A1B1C1
（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以?ABC与?A1B1C1不相似。
让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。
让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是
“夹角相等”。
运用提高：
P47练习题1（1）。
P47练习题2（1）。 运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。 课堂小结：说说你在本节课的收获。 学生回顾整理本节课所学知识。 3.3.2 相似三角形的判定4
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2．难点：三角形相似的预备定理的应用．
三、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明．
3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
四、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：略（AD=3，DC=5）
例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=ECDB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．
解：略（）．
五、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． （CD= 10）
六、作业
1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
3.4 相似多边形及性质1
教学目标
（一）知识与技能要求
1、探究图形的形状与大小，图形的边与角之间的关系，掌握相似多边形的定义 以及相似比；2、能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形。
（二）过程与方法要求
经历探索图形的边与角的关系，培养观察及分析判断能力。
（三）情感态与价值观要求
通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。
重点
探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相似。
难点
探索相似多边形的定义的过程。
过程情境引入大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思。“相似多边形”应怎么理解呢？4、究竟“两个多边形相似”需满足什么条件呢？本节课我们将进行探索。探究相似多边形的定义由上可知，书本上的大矩形与小矩形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例。那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有四边形才有呢？下面我们继续进行探讨。例题下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？请大家互相交流。
(1)正三角形ABC与正三角形DEF；
(2)正方形ABCD与正方形EFGH．从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？ 相似多边形相似比： 相似多边形应该怎样表示呢？正三角形ABC与正三角形DEF相似表示成： 正方形ABCD与正方形EFGH相似表示成： 在记两个多边形相似时，要注意什么？
要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。2、想一想如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
若两个多边形相似，那么它们的对应角 ，对应边 。3、做一做做一做”。
因为AB=BC=CD=DA
所以 = = =
所以四边形A,B,C,D,是 （ ）
③∠ABC与∠A,B,C,相等吗？∠BCD与∠B,C,D,呢？∠CDA与∠C,D,A,呢？∠DAB与∠D,A,B, 呢？与同伴交流。
综合②和③，我们知道菱形A,B,C,D,与菱形ABCD ，记作
四、应用巩固
完成P84“练习”。
五、总结提升
1、本节课你学会了什么？
本节课我们通过探究满足多边形相似的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形。判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？（回答“是”与“不是”）并简要说明理由。
(1)两个大小不等的矩形；(2)两个大小不等的正五边形；(3)一个正方形与一个平行四边形；(4)两个大小不等的菱形．,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
图4－38
［生］解：（1）===
（2）△ABC∽△A′B′C′
∵==
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.
（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）
∵由△ABC∽△A′B′C′得
∠B=∠B′
∵∠BCD=∠B′C′D′
∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）
（4）=
∵△BDC∽△B′D′C′
∴= =
2.议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
［师］请大家互相交流后写出过程.
［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么==k.
［生乙］如4－39图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么= =k.
图4－39
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′
∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.
∴∠ACD=∠A′C′D′
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
［生丙］如图4－40中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则= =k.
图4－40
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′，= =k.
∵CD、C′D′分别是中线
∴===k.
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解
投影片（§4.8.1 B）
图4－41
如图4－41所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60 cm,高AD=40 cm，四边形PQRS
是正方形.
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS的边长.
解：（1）△ASR∽△ABC，理由是：
四边形PQRS是正方形SR∥BC
（2）由（1）可知△ASR∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得
设正方形PQRS的边长为x cm，则AE=（40－x）cm，
所以
解得：
x=24
所以，正方形PQRS的边长为24 cm.
Ⅲ.课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
Ⅳ.课时小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.5图形的放大与缩小
教学目标
1.了解位似图形及其有关概念.
2.了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比的方法讲一个图形方法或缩小.
教学重点：位似图形的概念和性质
教学难点：体会用橡皮筋放大图形的原理，培养转换思想
教学过程
一、情景引入
如图，将点A（1，1），B（2，1），C（3，4）用线段顺次连接得到△ABC，将这三点的横坐标、纵坐标都乘以2得到△DEF，
提问：（1）△ABC与△DEF有什么关系？
（2）点A与点D之间的连线是否经过原点O？点B与E之间的连线是否经过原点O？换其他的对应点试一试，还有类似的规律吗？
归纳：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称位似比
二、巩固概念 加深理解
①判断下列每组中的两个图形是不是位似图形，并说明理由
②分别指出各个位似图形的位似中心,并说说它们的位置特点
③在图(1)中任取一对对应点,度量这两点到位似中心的距离,它们的比与位似比有什么关系?在图(5)中再试一试,还有类似的规律吗?
归纳：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
（此题旨在重点理解位似的概念，首先判别两个图形是不是相似形，然后在找对应点，做出几对对应点，做出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一点。如果符合位似图形的这两个条件，那么就可以判定两个图形是位似图形，而且也进一步让学生了解了相似图形与位似图形的关系以及位似图形的性质）
三、想一想 书P139
四、巩固练习
1.随堂练习(书P139)
2.补充练习：
1.下列说法正确的个数是（ ）
（1）位似图形一定是相似图形；
（2）相似图形一定是位似图形；
（3）两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；
（4）若五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1位似，则其中
△ABC与△A1B1C1也是位似图形.且位似比相等。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2，若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（ ）
A，每对对应点所在的直线相交于同一点
B，两个图形上的对应线段之比等于位似比
C，两个图形上的对应线段必平行
D，两个图形的面积比等于位似比的平方
3，位似图形上某一对对应点到位似中心的距离分别为5cm和10cm，则它们的位似比为
五、小结：
1、如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点， 那么这样的两个图形叫做位似图形。
2、 这个点叫做 位似中心 。
3、这时的相似比又称为 位似比 。
4、位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于 位似比 。
5、我学会了把任意图形 放大与缩小 。
教学反思：
3.5 位似变换
教学目标分析
1.知识与能力：
①了解位似图形、位似中心、位似比的概念；
②掌握位似图形的性质，会画位似图形。
2.过程与方法：
①先通过观察具有位似位置的图形，了解位似图形的定义和掌握位似图形的性质；
②画位似图形发展学生的应用意识和动手操作能力。
3.情感、态度、价值观
①养成独立观察思考的习惯，感受平面几何图形的美；
②通过学习培养学生的合作意识；
通过探究提高学生学习数学的兴趣。体验利用手持式图形计算设备充当数学认知工具的乐趣。
教学重点：了解并掌握位似图形的定义和性质；
教学难点：掌握位似变化的方法，运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算
教学过程：
一、创设情境 引入新知
观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1 都是相似图形。分别观察着五个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征?
（学生经过小组讨论交流的方式总结得出：）
特点：（1）两个图形相似（2）每组对应点所在的直线交于一点。
二、合作交流 探究新知
请同学们阅读课本58页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
议一议 观察上图中的五个图形，回答下列问题：
（1）在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？
（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与位似比有什么关系？再换一对对应点试一试。 （每小组同学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出：）
位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
由此得出：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
三、指导应用 深化理解
（同学们观察大屏幕出示的问题）
例1如图D，E分别是AB，AC上的点。 (1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗?为什么? (2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么? 小组讨论如何解这道题：
问题1，证位似图形的根据是什么？需要哪几个条件？
根据是位似图形的定义。
需要两个条件：
！、△ADE和△ABC相似；
2、对应点所在的直线交于一点。
问题2：已知△ADE和△ABC是位似图形，我们根据什么又能得出什么结论？
根据位似图形的性质得出：
1、对应点和位似中心在同一条直线上；
2、它们到位似中心的距离之比等于相似比。
解：（1）△ADE和△ABC是位似图形.理由是：
∵DE∥BC
∴∠AED=∠B, ∠AED=∠C.
∵△ADE∽△ABC.
又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形。
（2）DE∥BC.理由是：
∵△ADE和△ABC是位似图形
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC.
四、拓展延伸
已知五边形ABCDE，试将它缩小，使缩小后的五边形A`B`C`D`E`与原来的五边形ABCDE的对应边之比为1：2思路分析：先任取一点F作为位似中心，利用位似图形的性质和做法，作出五边形A`B`C`D`E`
解：如图所示，，在五边形ABCDE外任取一点F，连接FA、FB、FC、FD、FE，在FA、FB、FC、FD、FE上分别取点A`，B`，C`，D`，E`，使FA`=1/2FA，FB`=1/2FB，FC`=1/2FC，FD`=1/2FD，FE`=1/2FE，顺次连接A`B`，B`C`，C`D`，D`E`，E`A`，则五边形A`B`C`D`E`就是所求的缩小后的图形。
思想方法小结：位似中心可以任意选取，确定了位似中心以后可以将任意的多边形按要求放大或缩小
五、反馈练习 落实新知
挑战自我:
1、下面每组图形中都有两个图形.
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形?
（2）作出位似图形的位似中心
2、如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE与△BDE是位似图形吗？为什么？
（此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到黑板上板书，以备面对全体矫正）
六、归纳小结 反思提高
本节课我们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，位似图形有什么性质？我们可以利用定义来证明位似图形，已知位似图形我们可以根据性质得到有关结论。观察并判断位似图形的方法是，一要看是否针对两个图形，二要看这两个图形是否是相似图形，三要看对应边是否平行或在同一条直线上。
七、自我评价 检测新知
1、如果两个位似图形的每组________所在的直线都_________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________，这时的相似比又叫做________。
2、位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于_____________；位似图形的对应角__________，对应线段__________（填：“相等”、“平行”、“相交”
、“在一条直线上”等）
3、位似图形的位似中心，有的在对应点连线上，有的在___________的延长线上。
4、下列每组图形是由两个相似图形组成的，其中_____________中的两个图形是位似图形。
（由学生独立完成，教师巡视。最后公布答案，教师并将发现的问题及时矫正有利于学生知识的巩固和提高）
教案
解直角三角形
4.1 正弦和余弦（1）
教学目标： 1、知识与技能：
（1）使学生理解锐角正弦的定义。
（2）会求直三角形中锐角的正弦值。
2、过程与方法：
使学生经历探索正弦定义的过程。逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。
3、情感态度与价值观：
（1）在自主探索、共同发现、共同交流的过程中分享成功的喜悦；
（2）在讨论的过程中使学生感受集体的力量，培养团队意识；
（3）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。
教学重点：
1、理解和掌握锐角正弦的定义。
2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点：探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程
教学准备：课件、计算器、 量角器、刻度尺
教学流程:
一、创设情景 引入新课 [活动1]
1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）
2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）
学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。
二、师生互动 探究新知
[活动2]
如图2一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向；试问：C处和灯塔A的距离AC约等于多少米（精确到10m）？（课件演示）
启发：你能建立一个方位图，根据题意把这个实际问题转化为数学问题吗？
由题意△ABC是直角三角形，其中∠B＝90°,∠A＝65°，∠A所对的边(简称对边)BC＝2000m，如何求斜边AC的长度呢？
上述问题就是：知道直角三角形的一个为65°锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度。
启发：能否使用已学的直角三角形的有关知识来解决？
为了解决这个问题，可以去探究在直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值有什么规律？
[活动3]
(1)每位同学画一个直角三角形其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，并计算: ＝？
(2)与同桌和前后桌的同学交流计算结果，你有什么发现(精确到0. 1)？
由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。
发现:在有一个锐角为65°直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是常数，它约等于0.9。
(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？
∵∠D＝∠D′ ∠E＝∠E′ ∴△DEF∽△D′E′F′
∴ 即：
因此：在有一个锐角等于65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值为一个常数。
[活动4] 问:现在你能解决轮船航行到C处时与灯塔A的距离约等于多少米的问题吗？
[活动5] 可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数
定义：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫角α 的正弦，记作Sinα 即
如图:
三、应用新知 解决问题
[活动6] 如图AB=5，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC=3，AB=5
(1)求∠A的正弦SinA. (2)求∠B的正弦SinB.
解：(1) ∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ， 于是SinA=
(2)∠B的对边是AC，根据勾股定理，得AC2=AB2-BC2=52-32=16
于是AC=4， 因此SinB=
四、巩固提高 深化认识
五、回顾反思总结提炼
4.1 正弦和余弦(2)
［教学目标］
理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［教学重点与难点］ 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学过程］ 一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。（根据是__________________。）
2、正弦的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，
即：sinA＝________=________.
3、余弦的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，
即：cosA=______=_____。（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.
4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约
0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：
sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？
sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____.
sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
（4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。
从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。
当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
____________________________________________________________。
6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、随堂练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，
cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,
cosB=______,sinB=_______
四、请你谈谈本节课有哪些收获？
五、拓宽和提高
已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，
试求最小角的三角函数值。
4.2 正切（1）
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：
计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：
一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
图（1） 图（2）
[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图 的台阶更陡，理由
二、探索活动
1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述
台阶的倾斜程度呢？
可通过测量BC与AC的长度，
再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.
讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：________________________.
2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，
我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，
RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……
根据相似三角形的性质，
得：＝_________＝_________＝……
（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的
大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的
邻边的比值也_________。
3、正切的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA＝________＝__________
（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看.
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
（通过上述计算，你有什么发现？___________________.）
5、思考与探索三：
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65°的近似值为2.14。
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
θ 10° 20° 30° 45° 55° 65° tanθ 2.14 （3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
（4）思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？
三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，
则tanA＝________，tanB＝______。
2、如图，在正方形ABCD中，点E为
AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα＝_________。
四、请你说说本节课有哪些收获？
五、作业p40 习题7 .1 1、2
六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面，
根据图中的尺寸，请你通过计算判断
左右两个坡的倾斜程度更大一些？
2、在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标
分别为A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3），
试求tanB的值。
4.2 正切（2）
［目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。弦、余弦［过程］
一、知识回顾
1、在RtABC中，C＝90°，分别写A的三角函数关系式：sinA＝，cosA=，tanA＝。B的三角函数关系式。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？
①如图，在RtABC中，C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。如图，在RtABC中，C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。
在RtABC中，B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
如图，在RtABC中，C=90°，AB=10,sinA=，则BC=_____。
在RtABC中，C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____。
如图，在RtABC中，B=90°，AC=15,sinC=，则AB=_____。
在RtABC中，C=90°，cosA=，AC=12，则AB=_____,BC=_____。二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时小明的手离地面1m，若放出的风筝线长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m）
（参考数据：sin20.5°≈0.350，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结
谈谈本课的收获和体会
五、课外练习
1、已知：如图，在RtABC中，CB＝90°，CDAB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
、在ABC中，C＝90°，cosB=,AC＝10，求ABC的周长和斜边AB边上的高。、在RtABC中，C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考
题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，
可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
?例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80
海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形
来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
?
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树
15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的
高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
?
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
?
?
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
4.3 直角三角形及其应用（2）
?一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
? 逐步培养分析问题、解决问题的能力．
?二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
?三、教学过程
?（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
?tanA=
（二）新授概念?
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，
求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB=
AB===4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
?
例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
?
（三）．巩固练习
?1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
?
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（3）
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
?2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？
练习P95 练习1，2。?
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
?利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（4）
一．教学目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
?
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD
中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割
为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一
转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，
求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（5）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
?通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系： sinA= cosA= tanA
(2)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系：∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二）?探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例1：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=， a=，解这个三角形．
?例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
?在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
?1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2解决问题要结合图形。
四、布置作业
复习
一、考标要求：
1、探索并掌握勾股定理及其逆定理。
2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。
3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。
二、知识要点：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°。
∠A 的正弦：，∠A的余弦： cosA=，∠A的正切： tanA=。
2、特殊角度的三角函数值
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
3、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。
三、考点探视：三个三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值及简单运用三角函数的定义解题是本节的考查重点，主要以选择题和填空题的形式出现。
四、典例精析：
例1 （2007 天津）的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
例2 中，∠C＝900，AB＝5,sinA=,则AC＝ 。
例3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC等于AB边上的中线的，求sinB的值。
五、反馈检测：
一、选择题：
1、（2007 江苏宿迁）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A. B. C. D.
2、（2007 怀化）如图，菱形的周长为，，垂足为，，则下列结论正确的有（ ）
① ② ③菱形面积为 ④
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
3、（2007 滨州）如图7，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
4、（2007枣庄）如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为ａ(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D．若AC=3，BD=6,CD=12,则tanａ的值为 （ ）
A． B. C. D.
二、填空题：
5、（2007 黄冈）计算：2sin60°= .
，则的余角是 °， ．
7、（2007 南昌）在中，，分别是的对边，若，则 ．
8、（2007 济宁）计算的值是 。
9、（2007 湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_________m。(结果保留三个有效数字)
10、 （2007 河池）已知在中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin∠A=．中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的值为 ．
三、解答题：
13、（2007 眉山）计算： sin450＋cos300·tan600—
14、（2007芜湖）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求证：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的长． 红 绿 蓝 频 数 频 率 概 率 问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？_红色__. （2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？ 当试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率 .
2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组（90次）、前四组（120次）、五组（150次）。。。。。的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。
表格二：
问题:当试验次数较大时,比较数字 色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_____________________________________.
4、得出试验结论。
三、随堂练习。书本P158页 “柑橘的损坏率”填写表25--6
四、拓展提升：解决问题2
柑橘的损坏率是多少？
到达目的地后完好的柑橘还有多少千克？
把损坏的柑橘也算在内，到达目的地后柑橘的成本约是多少元？
设每千克定价为x元，则可以得到的方程是 ？
五、课堂小结：畅所欲言。
六、课内拓展:
教学反思_______________________________
5.2用列法计算概率
教学目标
??? (一)知识与能力
??? 学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．
??? (二)过程与方法
??? 1．培养学生合作交流的意识和能力，
??? 2．提高学生对所研究问题的反思和拓广的能力，逐步形成良好的反思意识．
??? (三)情感态度与价值观
??? 积极参与数学活动，经历成功与失败，获得成功感，提高学习数学的兴趣．
教学重点??? 用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．
教学难点??? 正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．
教学方法??? 引导——探索法．
教具准备??? 多媒体演示
教学过程
活动一：也许你曾被大幅的彩票广告所吸引，也许你曾经历过各种摇奖促销活动，不少同学会感到十分神秘，其实这只是一个概率问题。针对这一问题，我们一起做一个有趣的游戏：
玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手头只有一张票，怎么办呢？
玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”结果倩倩欣然答应。请问：你觉得这个游戏公平吗？
（学生思考、讨论，教师巡视，并不时对部分学生进行启发）。所以由上面的树状图可知，向空中抛两枚同样的一元硬币，出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）的可能性是相同的，而出现两面一样的概率为1/2，出现一正一反的概率也为1/2。
（引导学生分析，（正，反）、（反，正）是两种不同情况。）活动二：如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢？两张牌的牌面数字和为几的概率最大？总共有9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次。因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为3/9，即1/3。
小颖的做法：
通过列下表得到牌面数字和等于4的概率为1/5。牌面数字和的可能值 2 3 4 5 6 相应的概率 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 小亮的做法：
也用了列表的方法，可我得到牌面数字和等于4的概率为1/3。
（1，1） （2，1） （3，1） （1，2） （2，2） （3，2） （1，3） （2，3） （3，3） 问题一：你认为谁做得对？并说出你的理由。
问题二：小亮同学的方法是解决这类问题的又一常用方法，我们将这一方法叫做列表法。然而，小颖和小亮都用了列表法，为什么小颖的做法是错误的，而小亮的做法是正确的。这又是什么原因呢？你认为用列表法求概率时要注意些什么？
问题三：那么从小亮的表格中你还能获得哪些事件发生的概率呢？
??? ……
（学生的回答可以多种多样。安排此问的目的在于引导学生对所研究的问题，所用的方法进行反思和拓广，逐步形成良好的反思意识。）?练习：请你用列表法求出将两枚均匀的一元硬币抛出去，两个都是正面朝上的概率是多少？
由于每一枚硬币出现正面、反面的可能性是相同的，因此可列表如下：（正，正） （反，正） （正，反） （反，反） 因此，两枚硬币都是正面朝上的概率为1/4。
活动三：
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色“的游戏；下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘可以分成几个相等的扇形，游戏者同时可以转动两个转盘，如果转盘Ａ转出了红色，转盘Ｂ转出了蓝色，那么他就赢了。因为红色和蓝色在一起配成了紫色。
（1）利用树状图法或列表法表示游戏所有可能出现的结果。
（2）游戏者获胜的概率是多少？
分析：对于A盘转出红色、绿色的可能性一样，对于B盘转出黄色、蓝色、绿色的可能性也是一样的。
解：对于A转盘，转出黄色、蓝色、绿色的可能性是一样的；对于B转盘，转出红色、绿色的可能性是一样的。列表如下
黄色蓝色绿色红色（黄，红） （蓝，红） （绿，红） 绿色（黄，绿） （蓝，绿） （绿，绿） 由表格可以看出游戏者获胜的概率为1/6。请你设计：
提问：要怎样做才能使A转盘转动时，出现“红”、“蓝”的可能性相同？请大家想一想。
（学生讨论，老师点评。指出将A转盘红色部分等分成两份：红1、红2就行了。师生共同完成列表法）??????????? B转? 盘
A转? 盘 红???? 色 蓝??? 色 红? 色1 （红，红1） （蓝，红1） 红? 色2 （红，红2） （蓝，红2） 蓝? 色 （红，蓝） （蓝，蓝） ?由上表可知：游戏者获胜的概率是3/6即1/2。活动四：掷两枚骰子．它们的点数和可能有哪些值?用列表的方法求出点数和为6的概率．
??? 分析：每个骰子出现点数1，2，3，4，5，6的可能性是相同的．
??? 解：掷两枚骰子，它们的点数和可能有2，3，4，5，6，8，9，10，11，12这11个值．它们的点数和为6的概率为 ．列表如下：
第一次
第二次 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 根据表格，共有36种等可能的结果，其中点数和为6的有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，)，(5，1)这5种．?? 小组活动：用每组手中的骰子每人掷两次，记录下点数和，并统计得6的次数，结果相近但不等于概率为什么？活动五：探究训练
1、在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“—”，共得到多少种不同的代数式，能够称完全平方式的概率是多少？2、（2005年河南） 从一副扑克牌中取出两组牌，分别是黑桃1，2，3，4和方块1，2，3，4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？请用列举法（列表或画树状图）加以分析说明。3、（2005年黑龙江）有六张牌，牌面数字分别是4，5，6，8，9，10，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是多少？
?
4、 (2006浙江) 北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样，质地相同)放入盒子。
(1)小玲从盒子中任取一张,取到卡片欢欢的概率是多少?
(2)小玲从盒子中取出一张卡片,记下名字后放回,再从盒子中取出第二张卡片,记下名字.用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况,并求出两次都取到卡片欢欢的概率．
?
5、 (2006广东)妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平．?
(1)你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少??? ?
(2)妞妞决定这次出“布”手势，妞妞赢的概率有多大??
(3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少?
?
6、姐弟俩分别向看不同频道的电视节目，争执不下。正巧父亲下班，为他们调解说：“我拿两个骰子，各掷一次。点数和为5的倍数时，听姐姐的；点数和为4的倍数时，听弟弟的。”请问父亲的调节公平吗？他更偏袒谁呢？
?
7、玲玲是个特别爱美的女孩子，一次和爸爸妈妈外出去旅游，带了一大包衣服，妈妈问她都带了些什么，她高兴地说：“3件上衣分别是棕色，蓝色和白色，2条裤子分别是黑色和白色。”妈妈为了考考玲玲，问：“你一共可以配成多少套不同的衣服？如果任意拿出1件上衣和1条长裤，正好是白色套装的概率是多少？”你能帮玲玲解决这些问题吗？
?
活动六：归纳小结
你在本节课学到了什么？你有什么收获？
1、用树形图和列表法计算概率
2、用列表法的时候要注意每种情况发生的可能要相等。
?
活动七：作业
（1）??? 请你为新年联欢会设计一个游戏，使得参与游戏的双方都公平。
（2）??? 完成教材第145-146页习题。
58
4题图
3题图
9题图
10题图
11题图
12题图
13题图
A
B
C
A
C
B
E
D
P
A
C
B
D
1
E
3
2
A
C
B
O
D
A
B
C
A`|
B`~`~
C`
A
C
D
E
A
B
C
（1）
（2）
图4 - 4 - 4
E
A
B
C
D
E
F
C
A
F
D
D
B
A
C
75
45°
8
A′
α
45°
B′
C′
β
6
10
A
B
C
D
E
F
A
D
C
B
E
H
G
F
65°
B
A
C
⌒
北
东
D’
E’
F’
E
F
D
C
A
Bα
20m
13m
A
C1
C2A
C3
B1
B2
B3
A
对边b
C
对边a
B
斜边c
B
C
A
1
B
A
C
3
5
A
2
C
1
B
A
BA
CBA
DCBA
ECBA
1.2m
2.5m
1m
(单位：米)
频率
试验
次数 30 60 90 120 150 180 210 240 ……
P
A
B
65
34
D
C
B
E
A
A
B
C
3
4
11题
15°
75°
第9题图
试验次数
30 60 90 120 150 180……
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