中考数学《勾股定理的应用》专题练习（附答案解析）一、综合题1．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ， ． （1）求抛物线的
解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和 的度数． 2．如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F
，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）． （1）探究AE
''与BF''的数量关系，并给予证明； （2）当α=30°时，求证：△AOE''为直角三角形． 3．设△ABC的三边长为a，b，c，
其中a，b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根。（1）判断△ABC是否为直角三角形？是说明理由。（2）若△ABC
是等腰三角形，求a，b，c的值。4．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中
装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从
甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度． （1）请用树状图或列表的方法
求这三条线段能组成三角形的概率； （2）求这三条线段能组成直角三角形的概率． 5．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，，
，，为△ABC的外接圆．（1）的坐标为 ；（2）设弧AC与线段AB、BC所围成的封闭图形的面积为S（图中阴影部分），嘉琪说，请通过
计算判断嘉琪的说法是否符合题意；（3）我们把横纵坐标都是整数的点叫做格点．直线l与相切于点B，直接写出直线l经过的图中格点坐标．（
切点除外）6．下面是的正方形网格，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，如图1，的顶点均为网格上的格点．（1） ， ， ．
（2） ．（3）在格点上是否存在点P（点P不与点B重合），使，请在图中标出所有满足条件的格点P（用、表示）．（4）请在图2中画出一
个三角形，使三边长分别为，，，并求此三角形的面积．7．在如图的网格中建立平而直角坐标系， 的顶点坐标分别为 ， ， ，仅用
无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题： （1）直接写出 的形状；（2）画出 边上的高线 ；（
3）画出点 关于 的对称点 ；（4） ，点 在 上，若 ，直接写出点 的坐标．8．已知在中，的对边分别是，关于x的方
程有两个相等实根.（1）试判断的形状；（2）若，求.9．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0
，3），顶点为D.（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；（3）在x坐标轴上是否
存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由.10．如图，已知直角坐标系中一条圆
弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；（2）
若D点的坐标为（7，0），想一想直线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．11．如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一
象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P． （1）求
反比例函数y= 的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．12．已知：如图，双曲线y= （k≠0）与直线y＝mx（
m≠0）交于A（2，4）、B两点，点D是x轴上一点，C在双曲线上且是AD的中点. （1）求双曲线和直线AB的函数表达式；（2）连
结BC，求△ABC的面积.13．如图1是一款“雷达式”懒人椅。当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆AB，CD在点O处
连接，且分别与金属杆EF在点B，D处连接，金属杆CD的OD部分可以伸缩(即OD的长度可变)．已知0A=50cm，OB=20cm，O
C=30cm，DE=BF=5cm．当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB，CD，EF重合在一条直线上(如图3所示)，此时点E和点A重合。
（1）如图2，已知∠BOD=6∠ODB，∠OBF=140°。①求∠AOC的度数。②求点A，C之间的距离。（2）如图3，当懒人椅完全
叠合时，求CF与CD的长。14．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是某市实验中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为
80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响.（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响?请说明理由；（
2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米／时，那么学校受到影响的时间是多久?15．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB
、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运
动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．（1）当t=0时，
点F的坐标为 ；（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；（4）当以点F为圆心，FA
为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．16．如图，在 中，内角 、 、 所对的边分别为a、b、c． （1）若 ， ，
，请直接写出 与 的和与 的大小关系；（2）求证： 的内角和等于 ；（3）若 ，求证： 是直角三角形．参考答案与解析
1．【答案】（1）解：∵抛物线 经过点 ，∴解得 ∴ ．（2）解： ， 2．【答案】（1）证明：∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E′OF′，∴OE′=OF′，
∵∠F′OB=∠E′OA，OA=OB，在△E′AO和△F′BO中， ，∴△E′AO≌△F′BO（SAS），∴AE′=BF′；（2）
证明：∵取OE′中点G，连接AG， ∵∠AOD=90°，α=30°，∴∠E′OA=90°﹣α=60°，∵OE′=2OA，∴OA=
OG，∴∠E′OA=∠AGO=∠OAG=60°，∴AG=GE′，∴∠GAE′=∠GE′A=30°，∴∠E′AO=90°，∴△AOE
′为直角三角形．3．【答案】（1）△ABC是直角三角形 理由：∵ a，b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根 a
+b=c+2，ab=2（c+1）∴（a+b）2=（c+2）2，∴a2+2ab+b2=c2+4c+4 a2+2×2（c+1）+b2=
c2+4c+4， 整理得a2+b2=c2，∵a，b，c是△ABC的三边，∴△ABC是直角三角形.（2）解：∵△ABC是以c为斜边的
直角三角形， 当△ABC时等腰三角形时，则a=b∴c2=2a2则∴ 解之：∴c=4．【答案】（1）解：画树状图得： ∵共有12种
等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，∴这三条线段能组成三角形的概率为： （2）解：∵这三条线段能组成直角三角形的只有
：3cm，4cm，5cm； ∴这三条线段能组成直角三角形的概率为： 5．【答案】（1）（2，0）（2）解：如图2，连接、，由勾股
定理可知，，，，∴，∴为直角三角形，，∴，，，则阴影部分的面积，所以嘉琪的说法符合题意；（3）解：（6，3）和（2，5）．6．【答
案】（1）；；（2）90（3）解：如图所示：（4）解：如图所示：，7．【答案】（1）解：△ABC是直角三角形 （2）解：如图，线段
BE即为所求作； （3）解：如图，点F即为所求作； （4）P( ， )．8．【答案】（1）解：由题意，得?=4b2-4a2-4
c2=0，∴b2-a2-c2=0，∴b2=a2+c2，∴是直角三角形；（2）解：∵，∴，∵b2=a2+c2，∴b2=(3b-3c)
2+c2，∴4b2+5c2-9bc=0，∴，∴，或，为直角三角形的内角，舍去∴=.9．【答案】（1）解：∵设抛物线的表达式为y＝a
x2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵抛物线的对称轴为x
＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，∴点D的坐标为（﹣1，4）（2）解：∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD
2＝2，BD2＝20， ∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD为直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝ ＝ （3）解：存在，Q（﹣
，0），如图 作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，
将D、E两点坐标代入可得， ，解得 ，∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣ ，∴点Q的坐标为（
﹣ ，0）.10．【答案】（1）解：如图所示，点M即为所求，且M（2，0）． （2）解：直线CD是⊙M的切线， 由A（0，4）
，可得小正方形的边长为1， 设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD，∴CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝
5， 在Rt△CEM中，∠CEM＝90°， ∴MC2＝ME2+CE2＝42+22＝20， 在Rt△CED中，∠CED＝90°， ∴
CD2＝ED2+CE2＝12+22＝5，∴MD2＝MC2+CD2，∴∠MCD＝90°， 又∵MC为半径，∴直线CD是⊙M的切线．1
1．【答案】（1）解：将点A（4，3）代入y= ，得：k=12，则反比例函数解析式为y= （2）解：如图，过点A作AC⊥x轴于点
C， 则OC=4、AC=3，∴OA= =5，∵AB∥x轴，且AB=OA=5，∴点B的坐标为（9，3）；（3）解：∵点B坐标为（
9，3）， ∴OB所在直线解析式为y= x，由 可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于
点E，则点E坐标为（6，3），∴AE=2、PE=1、PD=2，则△OAP的面积= ×（2+6）×3﹣ ×6×2﹣ ×2×1=
5．12．【答案】（1）解：∵双曲线y= （k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（2，4）， ∴ ，解得 ，∴双曲线的解析
式为 ，直线AB的解析式为 ；（2）解：设 ， ， ∵C是AD的中点，∴ 即 ∴ ，∴ ，∴C（4，2），联立 ，解得
或 （舍去），∴B（-2，-4），∴ ， ， ，∴ ，∴△ABC是直角三角形，∴ .13．【答案】（1）①解：设∠ODB
=x度，则∠BOD=6 x度.∵∠OBF=∠BOD+∠ODB=140° ∴ ，解得 ∴∠AOC=∠BOD=120°. ②解：如图2
，连结AC，作AH⊥CD于点H. ∵∠AOC=∠BOD=120°，∠AOH =60°∴OH=25，AH= ∴ =70 ∴点A，C之
间的距离为70cm.（2）解：如图3，当懒人椅完全叠合时，OE=OA=50cm. ∵OB=20cm，OC=30cm，DE=BF=5
cm. ∴ 5cm. cm．14．【答案】（1）解：会受到影响.过点A作AE⊥MN于点E， 点A到铁路MN的距离为80米，AE=
80 m，周围100米以内会受到噪音影响，80<100，学校会受到影响；（2）解：以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于B
C两点，连接AB.AC。 则AB=AC=100 m，在Rt△ABE中，AB＝100 m，AE＝80mBE= ，BC=2BE=1
20 m，火车的速度是180千米／时=50 m／s，t= =2.4 s.答：学校受到影响的时间是2.4秒.15．【答案】（1）
F（3，4）（2）解：当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，O
E= AB=4，BO= ，∴点B下滑的距离为 （3）解：当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．
（4）解：在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF= =5，①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，∴∠BAO=∠FAD．∵∠BOA=∠D=90°，∴Rt△FAE∽Rt△ABO，∴ ，∴ ，∴t1= ，②设AO=t2时，⊙F与y轴相切，B为切点，同理可得，t2= ．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为 或 ．16．【答案】（1）（2）解：如图，过点 作 ， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换），即：三角形三个内角的和等于 （3）解： ， ， ， ， 是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 17 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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