1.3.2 公式法
●教学目标
（一）教学知识点
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
（二）能力训练要求
在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.
●教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
●教学难点
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.
●教学方法
观察—发现—运用法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§1.3.2 A）
第二张（记作§1.3.2 B）
●教学过程
.创设问题情境，引入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.
.新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以.
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=（a+b）2;
a2－2ab+b2=（a－b）2.
便得到用完全平方公式分解因式的公式.
［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.
［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.
［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
投影（§1.3.2 A）
练一练
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+2ab+b2;
（4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9;
（6）a2+a+0.25.
［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
［生］（1）是.
（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；
（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.
（5）不是，x2与－9的符号不统一.
（6）是.
2.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+n）2－6（m +n）+9.
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
.课堂练习
a.随堂练习
1.解：（1）是完全平方式
x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.
（3）是完全平方式
m2+3 m n+9n2
=（ m）2＋2× m×3n+（3n）2
=（ m +3n）2
（4）不是完全平方式
2.解：（1）x2－12xy+36y2
=x2－2·x·6y+（6y）2
=（x－6y）2;
（2）16a4+24a2b2+9b4
=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2
=（4a2+3b2）2
（3）－2xy－x2－y2
=－（x2+2xy+y2）
=－（x+y）2;
（4）4－12（x－y）+9（x－y）2
=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2
=［2－3（x－y）］2
=（2－3x+3y）2
b.补充练习
投影片（§1.3.2 B）
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab+b2;
（2）a2b2+8abc+16c2;
（3）（x+y）2+6（x+y）+9;
（4）－+n2;
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;
（6）x2y－x4－
解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－2·2a·b+b2=（2a－b）2;
（2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2·ab·4c+（4c）2=（ab+4c）2;
（3）（x+y）2+6（x+y）+9
=（x+y+3）2;
（4）－+n2=（）2－2××n+n2=（－n）2;
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9
=［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32
=［2（2a+b）－3］2
=（4a+2b－3）2;
（6）x2y－x4－
=－（x4－x2y+）
=－［（x2）2－2·x2·+（）2］
=－（x2－）2
.课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.
.课后作业
习题1.5
1.解：（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;
（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;
（3）y2+y+=（y+）2;
（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;
（5）+xy+y2=（+y）2;
（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
2.解：（1）（x+y）2+6（x+y）+9
=［（x+y）+3］2
=（x+y+3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2
=［a－（b+c）］2
=（a－b－c）2;
（3）4xy2－4x2y－y3
=y（4xy－4x2－y2）
=－y（4x2－4xy+y2）
=－y（2x－y）2;
（4）－a+2a2－a3
=－（a－2a2+a3）
=－a（1－2a+a2）
=－a（1－a）2.
3.满足条件的单项式可以是2x
（还可以是－2x）
4.解：设两个奇数分别为x、x－2,得
x2－（x－2）2
=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.
.活动与探究
写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.
分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：含字母a和b；三项式；可提公因式后，再用公式法分解.
参考答案：
4a3b－4a2b2+ab3
=ab（4a2－4ab+b2）
=ab（2a－b）2
●板书设计
§1.3.2 公式法
一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点
投影片（§1.3.2 A）
2.例题讲解
例1、例2
二、课堂练习
a.随堂练习
b.补充练习（投影片§1.3.2 B）
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式
1.－4xy－4x2－y2;
2.3ab2+6a2b+3a3;
3.（s+t）2－10（s+t）+25;
4.0.25a2b2－abc+c2;
5.x2y－6xy+9y;
6.2x3y2－16x2y+32x;
7.16x5+8x3y2+xy4
参考答案：
解：1.－4xy－4x2－y2=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2;
2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;
3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;
4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;
5.x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2;
6.2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2;
7.16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2.
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