第章 因式分解
●教学目标
（一）教学知识点
1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.
2.熟悉本章的知识结构图.
（二）能力训练要求
通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.
（三）情感与价值观要求
通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.
●教学重点
复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.
●教学难点
利用分解因式进行计算及讨论.
●教学方法
引导学生自觉进行归纳总结.
●教具准备
投影片三张
第一张（记作§A）
第二张（记作§ B）
第三张（记作§C）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.
Ⅱ.新课讲解
（一）讨论推导本章知识结构图
［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.
（2）分解因式与整式乘法的关系.
（3）分解因式的方法.
［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）
［生］
（二）重点知识讲解
［师］下面请大家把重点知识回顾一下.
1.举例说明什么是分解因式.
［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）
把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式.
［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:
（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2.分解因式与整式乘法有什么关系?
［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.
如:ma+mb+mc=m（a+b+c）
从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.
3.分解因式常用的方法有哪些?
［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:
ma+mb+mc=m（a+b+c）
a2－b2=（a+b）（a－b）
a2±2ab+b2=（a±b）2
4.例题讲解
投影片（§ A）
［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.
（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2
（2）6x2y3=3xy·2xy2
（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2
（4）4ab+2ac=2a（2b+c）
［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.
［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.
（2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.
（3）不是因式分解,而是整式乘法.
（4）是因式分解.
投影片（§B）
［例2］将下列各式分解因式.
（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;
（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;
（3）－x2;
（4）9（x+y）2－4（x－y）2;
（5）x4－25x2y2;
（6）4x2－20xy+25y2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.
解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5
=2a2b3（4a2－2ab+b2）;
（2）－9ab+18a2b2－27a3b3
=－（9ab－18a2b2+27a3b3）
=－9ab（1－2ab+3a2b2）;
（3）－x2=（）2－（x）2
=（+ x）（－x）;
（4）9（x+y）2－4（x－y）2
=［3（x+y）］2－［2（x－y）］2
=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］
=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）
=（5x+y）（x+5y）;
（5）x4－25x2y2=x2（x2－25y2）
=x2（x+5y）（x－5y）;
（6）4x2－20xy+25y2
=（2x）2－2·2x·5y+（5y）2
=（2x－5y）2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2
=（a+b）2+2·（a+b）·5c+（5c）2
=［（a+b）+5c］2=（a+b+5c）2
投影片（§C）
［例3］把下列各式分解因式:
（1）x7y3－x3y3;
（2）16x4－72x2y2+81y4;
解:（1）x7y3－x3y3
=x3y3（x4－1）
=x3y3（x2+1）（x2－1）
=x3y3（x2+1）（x+1）（x－1）
（2）16x4－72x2y2+81y4
=（4x2）2－2·4x2·9y2+（9y2）2
=（4x2－9y2）2
=［（2x+3y）（2x－3y）］2
=（2x+3y）2（2x－3y）2.
［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
［生］可以.
分解因式的一般步骤为:
（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
Ⅲ.课堂练习
1.把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2;
（2）（x2+4）2－（x+3）2;
（3）－4a2－9b2+12ab;
（4）（x+y）2+25－10（x+y）
解:（1）16a2－9b2=（4a）2－（3b）2
=（4a+3b）（4a－3b）;
（2）（x2+4）2－（x+3）2
=［（x2+4）+（x+3）］［（x2+4）－（x+3）］
=（x2+4+x+3）（x2+4－x－3）
=（x2+x+7）（x2－x+1）;
（3）－4a2－9b2+12ab
=－（4a2+9b2－12ab）
=－［（2a）2－2·2a·3b+（3b）2］
=－（2a－3b）2;
（4）（x+y）2+25－10（x+y）
=（x+y）2－2·（x+y）·5+52
=（x+y－5）2
2.利用因式分解进行计算
（1）9x2+12xy+4y2,其中x=,y=－;
（2）（）2－（）2,其中a=－,b=2.
解:（1）9x2+12xy+4y2
=（3x）2+2·3x·2y+（2y）2
=（3x+2y）2
当x=,y=－时
原式=［3×+2×（－）］2
=（4－1）2
=32=9
（2）（）2－（）2
=（+ ）（－）
=ab
当a=－,b=2时
原式=－×2=－.
Ⅳ.课时小结
1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.
2.利用因式分解简化某些计算.
Ⅴ.课后作业
复习题
Ⅵ.活动与探究
求满足4x2－9y2=31的正整数解.
分析:因为4x2－9y2可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y为正整数），而31为质数.
所以有或
解：∵4x2－9y2=31
∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31
∴或
解得或
因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5.
●板书设计
回顾与思考
一、1.讨论推导本章知识结构图
2.重点知识讲解
（1）举例说明什么是因式分解.
（2）分解因式与整式乘法有什么关系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例题讲解
例1、例2、例3
（5）分解因式的一般步骤
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
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