第5章 平行四边形
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）在平行四边形ABCD中，A：B：C：D的值可能是（ ）
A． 1：2：3：4 B． 1：2：2：1 C． 2：2：1：1 D． 2：1：2：1 2．（4分）（眉山）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12 3．（4分）平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（ ）
A． 4＜x＜6 B． 2＜x＜8 C． 0＜x＜10 D． 0＜x＜6 4．（4分）（泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． ABDC，ADBC B． AB=DC，AD=BC C． AO=CO，BO=DO D． ABDC，AD=BC 5．（4分）（云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A． SABCD=4S△AOB B． AC=BD C． ACBD D． ABCD是轴对称图形 6．（4分）（乐山）如图，点E是ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则ABCD的周长为（ ）
A． 5 B． 7 C． 10 D． 14 7．（4分）如图所示，线段a、b、c的端点分别在直线l1、l2上，则下列说法中正确的是（ ）
A． 若l1l2，则a=b B． 若l1l2，则a=c C． 若ab，则a=b D． 若l1l2，且ab，则a=b 8．（4分）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中BAC=（ ）度．
A． 30 B． 36 C． 40 D． 72 9．（4分）如图，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，则图中三个阴影三角形的周长和为（ ）
A． 6cm B． 8cm C． 9cm D． 10cm 10．（4分）（广州模拟）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（ ）
A． 30 B． 36 C． 54 D． 72
11．（4分）（达州）如图，在Rt△ABC中，B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 12．（4分）（重庆模拟）如图，平行四边形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：
ABC≌△AED；
ABE是等边三角形；
AD=AF；
S△ABE=S△CDE；
S△ABE=S△CEF．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，如果B=50°，则D= _________ ．
14．（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若添加一个条件 _________ ，则四边形EBFD为平行四边形（只填一个条件即可）．
15．（4分）（滨州）在ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE= _________ ．
16．（4分）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2，则这样的平行四边形有 _________ 个．
17．（4分）（德惠市一模）如图，直线GH与正六边形ABCDEF的边AB、EF分别交于点C、H，AGH=48°，则GHF的度数为 _________ ．
18．（4分）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=，则S2= _________ ．
三、解答题（每小题7分，共14分）
19．（7分）（攀枝花）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF
求证：AE=CF．
20．（7分）（郴州）如图，已知BEDF，ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
四、解答题（每小题10分.共40分）
21．（10分）（益阳）如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，ABC=80°，BD是ABC的平分线，DEBC．
（1）求EDB的度数；
（2）求DE的长．
22．（10分）如图，在六边形ABCDEF中，ABAF，BCDC，E+∠F=260°，求两外角和α+∠β的度数．
23．（10分）（顺义区二模）已知：如图，平行四边形ABCD中，AE、BE、CF、DF分别平分BAD、ABC、BCD、CDA，BE、DF的延长线分别交AD、BC于点M、N，连接EF，若AD=7，AB=4，求EF的长．
24．（10分）（贺州）如图，D是△ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，若MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若ACDN，CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．
25．（10分）（牡丹江）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DFAC交直线AB于点F，DEAB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图；当点D在边BC的反向延长线上时，如图，请分别写出图、图中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF= _________ ．
26．（10分）（淄博）分别以ABCD（CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）在平行四边形ABCD中，A：B：C：D的值可能是（ ）
A． 1：2：3：4 B． 1：2：2：1 C． 2：2：1：1 D． 2：1：2：1
考点： 平行四边形的性质． 专题： 计算题． 分析： 根据平行四边形的性质得到A=∠C，B=∠D，推出A+∠B=∠C+∠D，根据两个条件即可判断选项． 解答： 解：
四边形ABCD是平行四边形，
A=∠C，B=∠D，
A+∠B=∠C+∠D，
只有D符合以上两个条件2=2，1=1，2+1=2+1，
故选D．
点评： 本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键． 2．（4分）（眉山）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
考点： 多边形内角与外角． 分析： 利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案． 解答： 解：360°÷36°=10，
则这个正多边形的边数是10．
故选B． 点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容，要求同学们掌握多边形的外角和为360°．
3．（4分）平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（ ）
A． 4＜x＜6 B． 2＜x＜8 C． 0＜x＜10 D． 0＜x＜6
考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系． 分析： 平行四边形的两条对角线相交于平行四边形的两边构成三角形，这个三角形的两条边是3，5，第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足，解得即可． 解答： 解：平行四边形ABCD
OA=OC=3，OB=OD=5
在△AOB中，OB﹣OA＜x＜OB+OA
即：2＜x＜8
故选B．
点评： 本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，确定所求边所在三角形其他两边的长度，进而应用三边关系确定范围是解题的关键．
4．（4分）（泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． ABDC，ADBC B． AB=DC，AD=BC C． AO=CO，BO=DO D． ABDC，AD=BC
考点： 平行四边形的判定． 分析： 根据平行四边形判定定理进行判断． 解答： 解：A、由“ABDC，ADBC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“ABDC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选D． 点评： 本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．（4分）（云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A． SABCD=4S△AOB B． AC=BD C． ACBD D． ABCD是轴对称图形
考点： 平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可． 解答： 解：A、平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
AO=CO，DO=BO，
S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，
S?ABCD=4S△AOB，故此选项正确；
B、无法得到AC=BD，故此选项错误；
C、无法得到ACBD，故此选项错误；
D、ABCD是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
6．（4分）（乐山）如图，点E是ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则ABCD的周长为（ ）
A． 5 B． 7 C． 10 D． 14
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据平行四边形的性质可知DCAB，然后根据E为CD的中点可证DE为△FAB的中位线，已知DF=3，DE=2，可求得AD，AB的长度，继而可求得ABCD的周长． 解答： 解：四边形ABCD为平行四边形，
DCAB，ADBC，
E为CD的中点，
DE为△FAB的中位线，
AD=DF，DE=AB，
DF=3，DE=2，
AD=3，AB=4，
四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．
故选D． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题需要同学们熟练掌握平行四边形的基本性质．
7．（4分）如图所示，线段a、b、c的端点分别在直线l1、l2上，则下列说法中正确的是（ ）
A． 若l1l2，则a=b B． 若l1l2，则a=c C． 若ab，则a=b D． 若l1l2，且ab，则a=b
考点： 平行四边形的判定与性质． 分析： 根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得a=b． 解答： 解：l1∥l2，ab，
四边形ABCD是平行四边形，
a=b，
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，关键是掌握平行四边形的判定方法与性质定理．
8．（4分）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中BAC=（ ）度．
A． 30 B． 36 C． 40 D． 72
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据三角形内角和定理解答即可． 解答： 解：因为正五边形的每个内角是108°，边长相等，
所以BAC=（180°﹣108°）÷2=36°．
故选B． 点评： 主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
9．（4分）如图，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，则图中三个阴影三角形的周长和为（ ）
A． 6cm B． 8cm C． 9cm D． 10cm
考点： 平行四边形的判定与性质． 分析： 由过三角形内一点分别作三边的平行线，即ENBC，PMAB，DQAC，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求得四边形EFBP，FQCN，ADFM是平行四边形，又由平行四边形的对边相等，即可求得答案． 解答： 解：EN∥BC，PMAB，DQAC，
四边形EFBP，FQCN，ADFM是平行四边形，
DF=AM，FM=AD，EF=BP，PF=BE，FQ=NC，FN=CQ，
三个阴影三角形的周长和为：DE+EF+FD+FM+FN+MN+FP+PQ+FQ=DE+BP+AM+AD+QC+MN+BE+PQ+NC=（AD+DE+BE）+（BP+PQ+CQ）+（NC+MN+AM）=AB+BC+AC=6（cm）．
故选A．
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，注意有两组对边分别平行的四边形是平行四边形与平行四边形的对边相等定理的应用．
10．（4分）（广州模拟）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（ ）
A． 30 B． 36 C． 54 D． 72
考点： 平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理的逆定理． 专题： 压轴题；转化思想． 分析： 求ABCD的面积，就需求出BC边上的高，可过D作DEAM，交BC的延长线于E，那么四边形ADEM也是平行四边形，则AM=DE；在△BDE中，三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理，因此△BDE是直角三角形；可过D作DFBC于F，根据三角形面积的不同表示方法，可求出DF的长，也就求出了BC边上的高，由此可求出四边形ABCD的面积． 解答： 解：作DEAM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，
DE=AM=9，ME=AD=10，
又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，
在△BDE中，BD2+DE2=144+81=225=BE2，
BDE是直角三角形，且BDE=90°，
过D作DFBE于F，
则DF==，
S?ABCD=BC?FD=10×=72．
故选D．
点评： 此题主要考查平行四边形的性质和勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
11．（4分）（达州）如图，在Rt△ABC中，B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离． 专题： 压轴题． 分析： 由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当ODBC时，DE线段取最小值． 解答： 解：在Rt△ABC中，B=90°，
BC⊥AB．
四边形ADCE是平行四边形，
OD=OE，OA=OC．
当OD取最小值时，DE线段最短，此时ODBC．
OD是△ABC的中位线，
OD=AB=1.5，
ED=2OD=3．
故选B．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
12．（4分）（重庆模拟）如图，平行四边形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：
ABC≌△AED；
ABE是等边三角形；
AD=AF；
S△ABE=S△CDE；
S△ABE=S△CEF．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定． 专题： 压轴题． 分析： 由四边形ABCD是平行四边形，可得ADBC，AD=BC，又因为AE平分BAD，可得BAE=∠DAE，所以可得BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则ABE=∠EAD=60°，所以△ABCAED（SAS）；因为△FCD与△ABD等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），所以S△FCD=S△ABD，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，所以S△ABE=S△CEF． 解答： 解：四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AD=BC，
EAD=∠AEB，
又AE平分BAD，
BAE=∠DAE，
BAE=∠BEA，
AB=BE，
AB=AE，
ABE是等边三角形；正确；
ABE=∠EAD=60°，
AB=AE，BC=AD，
ABC≌△AED（SAS）；正确；
FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
S△FCD=S△ABC，
又AEC与△DEC同底等高，
S△AEC=S△DEC，
S△ABE=S△CEF；正确．
AD与AF不一定相等，
不一定正确；
BE不一定等于CE，
不一定正确．
故选C． 点评： 此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，如果B=50°，则D= 50° ．
考点： 平行四边形的判定与性质． 分析： 首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形两组对角相等可得B=∠D=50°． 解答： 解：AB∥CD，ADBC，
四边形ABCD是平行四边形，
B=∠D=50°，
故答案为：50°． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形的判定定理与性质定理．
14．（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若添加一个条件 AE=FC（答案不唯一） ，则四边形EBFD为平行四边形（只填一个条件即可）．
考点： 平行四边形的判定． 分析： 四边形EBFD要为平行四边形，则要证DE=BF，就要证△AEBCFD，而在平行四边形中已有AB=CD，A=∠C，因而可添加AE=FC或ABE=∠CDF就可用SAS或ASA得证． 解答： 解：四边形EBFD要为平行四边形
BAE=∠DCF，AB=CD
又AE=FC
AEB≌△CFD
∴AE=FC
∴DE=BF
∴四边形EBFD为平行四边形．
可添加的条件是AE=FC，同理还可添加ABE=∠CDF．
故答案为：AE=FC或ABE=∠CDF． 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，是开放题，答案不唯一，可以针对各种平行四边形的判定方法，给出条件，本题可通过要证DE=BF，且DEBF，即可证明平行四边形成立，于是构造条件证△AEBCFD即可．
15．（4分）（滨州）在ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE= 5 ．
考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 先画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD的中点，可判断OE是△DBC的中位线，继而可得出OE的长度． 解答： 解：
四边形ABCD是平行四变形，
点O是BD中点，
点E是边CD的中点，
OE是△DBC的中位线，
OE=BC=5．
故答案为：5． 点评： 本题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答本题的关键是根据平行四边形的性质判断出点O是BD中点，得出OE是△DBC的中位线．
16．（4分）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2，则这样的平行四边形有 6 个．
考点： 平行四边形的判定． 专题： 网格型． 分析： 根据平行四边形ABCD的面积为2可以推知：平行四边形的底边长为2，高为1；正方形的边长为；可通过在正方形网格中画图得出结果． 解答： 解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况：ABC2D3、ABC1D2、AC1BD1、AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．
故答案为：6．
点评： 本题考查了平行四边形的判定．本题应注意数形结合，防止漏解或错解．
17．（4分）（德惠市一模）如图，直线GH与正六边形ABCDEF的边AB、EF分别交于点C、H，AGH=48°，则GHF的度数为 72° ．
考点： 多边形内角与外角． 分析： 首先根据正六边形可计算出正六边形每一个内角的度数，再根据四边形内角和为360°可以计算出GHF的度数． 解答： 解：多边形ABCDEF是正六边形，
A=∠F=120°，
AGH=48°，
GHF=360°﹣120°﹣120°﹣48°=72°，
故答案为：72°． 点评： 此题主要考查了正多边形，关键是掌握多边形内角和公式．：（n﹣2）．180° （n≥3）且n为整数）．
18．（4分）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=，则S2= ．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的性质． 分析： 根据图形的特征设出四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可． 解答： 解：将四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=，
得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
S1+S2+S3=3x+12y=，故3x+12y=，
x+4y=
S2=x+4y=．
故答案为：． 点评： 此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=求出是解决问题的关键．
三、解答题（每小题7分，共14分）
19．（7分）（攀枝花）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF
求证：AE=CF．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 求出DE=BF，根据平行四边形性质求出AD=BC，ADBC，推出ADE=∠CBF，证出△ADECBF即可． 解答： 证明：BE=DF，
BE﹣EF=DF﹣EF，
DE=BF，
四边形ABCD是平行四边形，
AD=BC，ADBC，
ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中
ADE≌△CBF（SAS），
AE=CF． 点评： 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
20．（7分）（郴州）如图，已知BEDF，ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： 首先根据平行线的性质可得BEC=∠DFA，再加上条件ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADFCBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可． 解答： 证明：BE∥DF，
BEC=∠DFA，
在△ADF和△CBE中，
ADF≌△CBE（AAS），
BE=DF，
又BE∥DF，
四边形DEBF是平行四边形． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
四、解答题（每小题10分.共40分）
21．（10分）（益阳）如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，ABC=80°，BD是ABC的平分线，DEBC．
（1）求EDB的度数；
（2）求DE的长．
考点： 三角形中位线定理；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 专题： 计算题． 分析： （1）根据平行线及角平分线的性质可求出EDB的度数；
（2）根据三角形中位线定理可求出DE的长． 解答： 解：（1）BD是ABC的平分线，
ABD=∠CBD=∠ABC，
DE∥BC，
EDB=∠DBC=∠ABC=40°．
（2）AB=BC，BD是ABC的平分线，
D为AC的中点，
DE∥BC，
E为AB的中点，
DE=AB=6cm． 点评： 本题考查的是平行线，角平分线，及三角形中位线的判定与性质，需同学们熟练掌握．
22．（10分）如图，在六边形ABCDEF中，ABAF，BCDC，E+∠F=260°，求两外角和α+∠β的度数．
考点： 多边形内角与外角． 分析： 先根据垂直的定义和多边形内角和定理得到EDC+∠ABC的度数，再根据多边形内角与外角的关系即可求解． 解答： 解：AB⊥AF，BCDC，
A+∠C=180°，
E+∠F=260°，
EDC+∠ABC=（6﹣2）×180°﹣90°×2﹣260°=280°，
α+∠β=360°﹣（EDC+∠ABC）=80°．
故两外角和α+∠β的度数为80°．
点评： 考查了垂直的定义和多边形内角和定理多边形内角与外角的关系，注意整体思想的运用．
23．（10分）（顺义区二模）已知：如图，平行四边形ABCD中，AE、BE、CF、DF分别平分BAD、ABC、BCD、CDA，BE、DF的延长线分别交AD、BC于点M、N，连接EF，若AD=7，AB=4，求EF的长．
考点： 平行四边形的判定与性质． 分析： 根据平行四边形的性质和角平分线的定义先证明AM=AB=4，再利用已知条件证明四边形BNDM是平行四边形，进而得到BM=DN，BMDN，所以四边形MEFD也是平行四边形，再利用平行四边形的性质：对边相等即可求出DM的长，所以也就求出EF的长． 解答： 解：四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AD=BC，AB=CD．
2=∠3．
BE平分ABC，
1=∠2．
1=∠3．
AM=AB=4．
AE平分BAD，
EM=BM，
．同理，CN=CD，DF=DN，
AM=CN．
AD﹣AM=BC﹣CN，即 DM=BN．
四边形BNDM是平行四边形，
BM=DN，BMDN．
EM=DF，EMDF．
四边形MEFD是平行四边形．
EF=MD．
DM=AD﹣AM=AD﹣AB=7﹣4=3，
EF=DM=3．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定以及角平分线的定义，题目的难度中等．
24．（10分）（贺州）如图，D是△ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，若MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若ACDN，CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 分析： （1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD=AN；
（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM=，则S四边形ADCN=4S△AMN=2． 解答： （1）证明：CN∥AB，
1=∠2．
在△AMD和△CMN中，
，
AMD≌△CMN（ASA），
AD=CN．
又ADCN，
四边形ADCN是平行四边形，
CD=AN；
（2）解：AC⊥DN，CAN=30°，MN=1，
AN=2MN=2，
AM==，
S△AMN=AM?MN=××1=．
四边形ADCN是平行四边形，
S四边形ADCN=4S△AMN=2．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半． 25．（10分）（牡丹江）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DFAC交直线AB于点F，DEAB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图；当点D在边BC的反向延长线上时，如图，请分别写出图、图中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF= 2或10 ．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析： （1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 解答： 解：（1）证明：DF∥AC，DEAB，
四边形AFDE是平行四边形．
AF=DE，
DF∥AC，
FDB=∠C
又AB=AC，
B=∠C，
FDB=∠B
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；
（2）图中：AC+DE=DF．
图中：AC+DF=DE．
（3）当如图的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；
当如图的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2或10． 点评： 本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．
26．（10分）（淄博）分别以ABCD（CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出FDG=∠EAF，进而得出△EAFGDF即可得出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出FDG=∠EAF，进而得出△EAFGDF即可得出答案． 解答： 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，DAB+∠ADC=180°，
ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
EAF=360°﹣BAE﹣DAF﹣BAD=270°﹣（180°﹣CDA）=90°+CDA，
FDG=∠EAF，
在△EAF和△GDF中，
，
EAF≌△GDF（SAS），
EF=FG，EFA=∠DFG，即GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
GFE=90°，
GF⊥EF，GF=EF；
（2）GFEF，GF=EF成立；
理由：四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，DAB+∠ADC=180°，
ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
EAF+∠CDF=45°，
CDF+∠GDF=45°，
FDG=∠EAF，
在△EAF和△GDF中，
，
△EAF≌△GDF（SAS），
EF=FG，EFA=∠DFG，即GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
GFE=90°，
GF⊥EF，GF=EF． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出△EAFGDF是解题关键．
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