2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在二次根式中
，x的取值范围是（ ）A．x≥2B．x≥﹣2C．x＞2D．x＜22．（3分）下列各组中的三条线段，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．4，5，6D．5，12，133．（3分）下列各式成立的是（ ）A．B．2C．D．4．（3分）菱
形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（ ）A．48B．24C．20D．165．（3分）下列四个命题，
其逆命题成立的是（ ）A．两直线平行，内错角相等B．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等C．若a＝b，则a2＝b2D．若，则
a＝b6．（3分）如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（ ）A．5mB．6mC．
7mD．8m7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF
，则四边形ADEF的周长为（ ）A．6B．9C．12D．158．（3分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码
头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（1）海里．观测站B到AC的距
离BP是（ ）A．B．1C．2D．9．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方
向旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则C
F＝FG；其中正确的结论是（ ）A．①②③B．①②C．②③D．①③10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的
两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当0＜x＜42，△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的
说法中，P点最多有（ ）A．8个B．10个C．12个D．14个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计
算：的结果是 ．12．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△AOB的周长
是 ．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝4．则矩形ABCD的面积是
．14．（3分）运用因式分解的方法可以求方程的解，如x2﹣5＝（x）（x），则方程x2﹣5＝0的解为x或，用这种思想解高次方程
x3﹣2x＝0，它的解是 ．15．（3分）如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最
短路程是 cm．16．（3分）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝ ．三、解
答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）4；（2）．18．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．19．（8分）实数x，y使（y+2）2＝0成立，求的值．20．（8分）如图
，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接BE．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠AOB＝60°，A
B＝2，求BE的长．21．（8分）仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．（1）如图（1），四边形ABCD为平行四
边形，过点E作一条直线平分平行四边形ABCD的面积；（2）如图（2），已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩
形，请你在图中画出∠AOB的平分线；（3）如图（3），四边形ABCD为菱形，E为CD的中点，画出AD的中点P．22．（10分）定义
：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．例如，如图（1）四边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，则四边形
ABCD是“等补四边形”．（1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“等补四边形”的是 ．（2）
如图（2），在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是CD，AD边上的动点（不与点A，D，C重合），且AF＝DE．求证：四边形B
EDF为等补四边形．23．（10分）问题背景 如图（1），已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，求证：△
CBD≌△CAE．尝试应用 如图（2），已知△ACB，CA＝CB，∠ACB＝90°，点D是△ABC外一点，且∠ADC＝45°，求证
：AD2+BD2＝2AC2．拓展创新 如图（3），点D是等边三角形ABC外一点，若DC＝10，DB＝6，DA＝2，直接写出∠ADB
的大小．24．（12分）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，4）．（1）直接写出点C的坐标是
；（2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF，求点E的坐标；（3）如图（3），动点E，
F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，
设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式．2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷参考答
案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在二次根式中，x的取值范围是（ ）A．x≥2B．x≥
﹣2C．x＞2D．x＜2【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：A．2．（3分）下列各组中的三条线段，不能组成直角三
角形的是（ ）A．3，4，5B．6，8，10C．4，5，6D．5，12，13【解答】解：A、32+42＝52，故能组成直角三角形
，不符合题意；B、62+82＝102，故能组成直角三角形，不符合题意；C、42+52≠62，故不能组成直角三角形，符合题意；D、5
2+122＝132，故能组成直角三角形，不符合题意．故选：C．3．（3分）下列各式成立的是（ ）A．B．2C．D．【解答】解：A
、原式，所以A选项正确；B、原式＝3，所以B选项错误；C、原式，所以C选项错误；D、与不能合并，所以D选项错误．故选：A．4．（3
分）菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（ ）A．48B．24C．20D．16【解答】解：∵菱形A
BCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，∴这个菱形的面积是24，故选：B．5．（3分）下列四个命题，其逆命题成立的是（ ）A．
两直线平行，内错角相等B．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等C．若a＝b，则a2＝b2D．若，则a＝b【解答】解：A、逆命题
为内错角相等，两直线平行，成立，符合题意；B、逆命题为如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等，不成立，不符合题意；C、逆命题为
若a2＝b2，则a＝b，不成立，不符合题意；D、逆命题为若a＝b，则，不成立，不符合题意．故选A．6．（3分）如图，一根木杆在离地
面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（ ）A．5mB．6mC．7mD．8m【解答】解：∵一棵垂直于地
面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为5，∴折断前高度为5+3＝8（米）．故选：D．7．（3分
）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周
长为（ ）A．6B．9C．12D．15【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DEAC＝2.5，AFAC＝2.
5，EFAB＝2，ADAB＝2，∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝9，故选：B．8．（3分）如图是某区域的平面示意图
，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC
为（1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）A．B．1C．2D．【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠AB
C＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，∵BP⊥AC，∴∠BPA＝∠BPC＝90°，∵∠C＝4
5°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP＝PC，∵∠BAC＝30°，∴PABP，∵PA+PC＝AC，∴BPBP1，解得：BP＝1（
海里），故选：B．9．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到
△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确
的结论是（ ）A．①②③B．①②C．②③D．①③【解答】解：设AF交BC于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABK＝90°
，∴∠KAB+∠AKB＝90°，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，∴∠KAB＝∠BCG，∵∠AKB＝∠C
KF，∴∠BCG+∠CKF＝90°，∴∠KFC＝90°，∴AF⊥CG，故①正确；∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠
AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BEFG是矩形，又∵BE＝BG，∴四边形BE
FG是正方形，故②正确；如图，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AHAE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形
ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠
AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BEAE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CG，∵四
边形BEFG是正方形，∴BE＝GF，∴GFCG，∴CF＝FG，故③正确；∴正确的有：①②③，故选：A．10．（3分）如图，在正方形
ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当0＜x＜42，△PEF
是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，P点最多有（ ）A．8个B．10个C．12个D．14个【解答】解：如图：由图可知，△P
EF是等腰三角形时，P点最多有8个，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：的结果是 5
．【解答】解：5，故答案为：512．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△A
OB的周长是 29 ．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC+BD＝36，AB＝11，∴OAAC，OBBD，∴△OAB
的周长为：AB+OA+OB＝11+18＝29．故答案为：29．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，△OAB是
等边三角形，且AB＝4．则矩形ABCD的面积是 16 ．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC，∵△
OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8，∠ACB＝30°，∴BCAB＝4，∴矩形ABCD的面积
＝AB×BC＝4×416．故答案为：16．14．（3分）运用因式分解的方法可以求方程的解，如x2﹣5＝（x）（x），则方程x2﹣5
＝0的解为x或，用这种思想解高次方程x3﹣2x＝0，它的解是 x＝0或x或x． ．【解答】解：原方程化为：x（x2﹣2）＝0，∴
x（x）（x）＝0．∴原方程的解为：x＝0或x或x．故答案为：x＝0或x或x．15．（3分）如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16
cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 10 cm．【解答】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连
接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AD16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：AB1
0（cm）．故答案为：10．16．（3分）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝ 5 ．
【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴CE＝8，∴AD6，设∠CAD＝x
，则∠CAD＝3x，∵AE⊥BC，AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝2x，∴∠EAD＝∠DAC，∴DE＝DF，设CD＝a，则DE＝
8﹣a，∵，∴，解得a＝5，即CD＝5，故答案为：5．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）4；（2）．
【解答】解：（1）原式＝4×3 ＝6；（2）原式＝223＝3．18．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，
OB＝OD∵E、F分别是OA、OC的中点∴OEOA，OFOC∴OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形∴BE＝DF．19．（8分）实
数x，y使（y+2）2＝0成立，求的值．【解答】解：∵（y+2）2＝0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，即x＝3，y＝﹣2，∴，即的值是
．20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接BE．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若
∠AOB＝60°，AB＝2，求BE的长．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABC
D是矩形，∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形；（2）解：∵∠AOB＝60°，AB＝2，在菱形OCED中，OC＝CE＝ED＝DO，
∴△OCD、△CDE均为等边三角形，∴OB＝OD＝DE＝CD＝2，如图，作EF⊥BD交BD延长线于点F，∵∠ODE＝60°+60°
＝120°，∴∠EDF＝60°，∴DF＝1，EF，∴BF＝BD+DF＝4+1＝5，∴BE2．21．（8分）仅用无刻度直尺完成下列画
图，保留作图痕迹，不需要写作法．（1）如图（1），四边形ABCD为平行四边形，过点E作一条直线平分平行四边形ABCD的面积；（2）
如图（2），已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你在图中画出∠AOB的平分线；（3）如图（3），四边
形ABCD为菱形，E为CD的中点，画出AD的中点P．【解答】解：（1）如图（1），直线EF即为所求；（2）如图（2），射线OM即为
所求；（3）如图（3），点P即为所求；22．（10分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．例如，如图（1）四
边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是“等补四边形”．（1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，
③矩形，④正方形，一定是“等补四边形”的是 ④ ．（2）如图（2），在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是CD，AD边上的
动点（不与点A，D，C重合），且AF＝DE．求证：四边形BEDF为等补四边形．【解答】（1）解：根据“等补四边形”的定义可知，正方
形是等补四边形，故答案为：④；（2）证明：如图，连接BD，在菱形ABCD中，AD＝AB，AB∥CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等
边三角形，∠A+∠ADC＝180°，∴AB＝BD，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠ADC＝120°，∴∠BDE＝60°，在△ABF和
△DBE中，，∴△ABF≌△DBE（SAS），∴∠ABF＝∠DBE，BF＝BE，∵∠ABD＝60°，∴∠ABF+∠FBD＝60°，
∴∠ABF＝∠DBE，∴∠DBE+∠FBD＝60°，即∠FBE＝60°，∵∠FDE＝120°，∴∠FBE+∠FDE＝180°，在四
边形BFDE中，∠FBE+∠FDE＝180°，BF＝BE，根据“等补四边形”的定义，∴四边形BEDF为等补四边形．23．（10分）
问题背景 如图（1），已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，求证：△CBD≌△CAE．尝试应用 如图（2
），已知△ACB，CA＝CB，∠ACB＝90°，点D是△ABC外一点，且∠ADC＝45°，求证：AD2+BD2＝2AC2．拓展创新
如图（3），点D是等边三角形ABC外一点，若DC＝10，DB＝6，DA＝2，直接写出∠ADB的大小．【解答】问题背景证明：∵△A
BC和△DCE为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△
CBD和△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（SAS）；尝试应用证明：∵△ACB，CA＝CB，∠ACB＝90°，∴△ACB是等腰直角
三角形，∴AB2＝AC2+BC2＝2AC2，过点C作CE⊥CD，交DA延长线于E，如图（2）所示：∵∠ADC＝45°，∴△ECD是
等腰直角三角形，∴∠CEA＝45°，同问题背景得：△CBD≌△CAE（SAS），∴∠CDB＝∠CEA＝45°，∴∠ADB＝∠ADC
+∠CDB＝45°+45°＝90°，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD2+BD2＝2AC2；拓展创新解：以BD为边向右侧作等边△BD
M，连接AM，过点M作MN⊥AD于N，如图（3）所示：∵△ABC、△BDM都是等边三角形，∴CB＝AB，BD＝BM＝DM＝6，∠A
BC＝∠DBM＝∠BDM＝60°，∴∠ABC+∠ABD＝∠DBM+∠ABD，即∠CBD＝∠ABM，在△CBD和△ABM中，，∴△C
BD≌△ABM（SAS），∴DC＝AM＝10，∵MN⊥AD，∴AM2﹣AN2＝DM2﹣DN2，即102﹣（2+DN）2＝（6）2﹣
DN2，解得：DN＝6，∴MN6，∴DN＝MN，∴△DNM是等腰直角三角形，∴∠MDN＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDM﹣∠
MDN＝180°﹣60°﹣45°＝75°．24．（12分）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0
，4）．（1）直接写出点C的坐标是 （4，4） ；（2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF
，求点E的坐标；（3）如图（3），动点E，F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上
（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式．【解答】解：（1）∵四边形O
BCD是正方形，O（0，0），D（0，4），∴OB＝BC＝CD＝OD＝4，BC⊥x轴，∴C（4，4），故答案为：（4，4）；（2）
如下图，过点F作FG⊥DE于点G，连接EF，∵四边形OBCD是正方形，O（0，0），D（0，4），∴OB＝BC＝CD＝OD＝4，∠
C＝∠OBC＝∠BOD＝90°，∵FG⊥DE，∴∠DGF＝∠C＝90°，在△DGF和△DCF中，，∴△DGF≌△DCF（AAS），
∴GD＝CD＝4，GF＝CF，∵点F为线段BC的中点，∴BF＝CF＝BC4＝2，∴GF＝BF＝2，在Rt△EFG和Rt△EFB中，，∴Rt△EFG≌Rt△EFB（HL），∴GE＝BE，设OE＝a（a＞0），则GE＝BE＝OB﹣OE＝4﹣a，∴DE＝GD+GE＝4+4﹣a＝8﹣a，在Rt△DOE中，根据勾股定理得，OE2+OD2＝DE2，即a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴OE＝3，∵点E在x轴的正半轴上，∴E（3，0）；（3）如下图，分别连接BM、MF、BF，∵EF是折痕，∴EF垂直平分BM，∴ME＝BE，MF＝BF，设ME＝BE＝m，CF＝n，且m＞0，n＞0，则OE＝OB﹣BE＝4﹣m，DF＝CD﹣CF＝4﹣n，∵OM＝x，点B的对应点M始终落在边OD上（M不与点O，D重合），∴DM＝OD﹣OM＝4﹣x（0＜x＜4），在Rt△DMF中，根据勾股定理得，OM2+OE2＝ME2，即x2+（4﹣m）2＝m2，解得m，在Rt△DMF和Rt△CBF中，BF2＝BC2+CF2，∵MF＝BF，∴DM2+DF2＝BC2+CF2，∴（4﹣x）2+（4﹣n）2＝42+n2，解得n，即CF＝n，∵S＝S四边形BEFC（CF+BE）?BC，∴S（）×4x2﹣2x+8，即S和x的关系式为：Sx2﹣2x+8（0＜x＜4）．第1页（共1页） |
|
