2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）要使二次根式有意义
，则x的取值范围是（ ）A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥32．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A．B．C
．D．3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）用下列长度的线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中不能构
成直角三角形的是（ ）A．a＝8，b＝15，c＝17B．a＝1，b，c＝2C．a：b：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝65
．（3分）已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（ ）A．9B．C．D．186．（3分）在下列给出的条件中，可以判定四边
形ABCD为平行四边形的条件是（ ）A．AB＝CD，∠A＝∠CB．AB＝CD，AD＝BCC．AB∥CD，AD＝BCD．AB∥CD
，∠A＝∠B7．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．如果四边形是矩形，那么它的对角线相等B．如果两个实数相等，那么它们
的绝对值相等C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2D．如果四边形是菱形，那么它的对角线互相
垂直8．（3分）一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12，6，则这个平行四边形的一条边上的高为（ ）A．B．C．8D
．9．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1
A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3
A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4；…．设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…
．依此下去，则S2022的值为（ ）A．B．C．22020D．2202110．（3分）如图，在△ABC，△BED中，AB＝CB，
BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝50°，且A，B，D三点在一条直线上，连接CE，分别取AD，AC，CE的中点F，H，G，连FH，F
G，则∠HFG＝（ ）A．65°B．60°C．70°D．不能确定二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：
．12．（3分）已知，，则代数式（x+y）2的值为 ．13．（3分）直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边
的长为 ．14．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是
．15．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折
痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB，则AM＝ ．16．（3分）如图，矩形ABCD中，BD＝2AB，将△BCD绕
D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，得到△B′C′D，在边B′C′上取点M，使得C′M＝AB，若AB，则△MCD的面积等
于 ．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是
AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．19．（8分）我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公
式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC于D，AD为Rt△ADC，Rt△ADB的
公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出BD，再求出高AD，从而求出三角形ABC的面积．请你用这一方法，解决下列
问题：已知△ABC，AB＝13，AC＝15，BC＝14，求△ABC的面积．20．（8分）如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形
边长均为1，A，B在三角形的顶点处，且AB＝3，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，
结果用实线表示）．（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为；（2）过（1）中的点C作AB的平行线段CD，使其长度为3；（3）作一
个平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D（C，D为（2）中的点）．21．（8分）如图，将平行四边形ABCD的对角线
BD向两端分别延长至点E和点F，使得BE＝DF，若AF＝FC，求证：四边形AFCE为菱形．22．（10分）如图，在△ABC，△AD
E中，∠BCA＝∠DEA＝90°，A，C，E在一条直线上，且BC＝DE，连接BD，M，N分别为AB，CE的中点，连MN．（1）求证
：AD＝2MN；（2）若∠ABC＝45°，∠ADE＝60°，BD＝2，求MN的长．23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60
°，E为动点．（1）如图1，当点E在线段AB上，且∠CEN＝60°时，求证：CE＝EN；（2）如图2，当E在对角线BD的延长线上，
且△AEN为等边三角形时，求证：CN⊥AD．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0
）．（1）求点D到直线AC的距离；（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求
∠ACF的大小；（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ ．（直接写出结果）
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1
．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥3【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，解
得x≥3．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不
符合题意；B选项，原式＝|a|，故该选项不符合题意；C选项，原式，故该选项不符合题意；D选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；故
选：D．3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、原式2，故此选项不符合题意；B、原式，故此选项符合
题意；C、原式，故此选项不符合题意；D、2与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；故选：B．4．（3分）用下列长度的
线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ）A．a＝8，b＝15，c＝17B．a＝1，b，c＝2C．a：b
：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝6【解答】解：A、∵a2+b2＝82+152＝289，c2＝172＝289，∴a2+b2＝
c2，∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵a2+b2＝12+（）2＝4，c2＝22＝4，∴a2+b2
＝c2，∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k
，∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝16k2，c2＝（5k）2＝25k2，∴a2+b2＝c2，∴以线段a，b，c首尾相连能构成
直角三角形，故C不符合题意；D、∵a2+b2＝42+52＝41，c2＝62＝36，∴a2+b2≠c2，∴以线段a，b，c首尾相连不
能构成直角三角形，故D符合题意；故选：D．5．（3分）已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（ ）A．9B．C．D．18
【解答】解：已知等边△ABC，过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：则点D为BC的中点，∵等边三角形的边长为6，∴AB＝6，BD＝3
，根据勾股定理，得AD，∴△ABC的面积为，故选：B．6．（3分）在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（
）A．AB＝CD，∠A＝∠CB．AB＝CD，AD＝BCC．AB∥CD，AD＝BCD．AB∥CD，∠A＝∠B【解答】解：A、由A
B∥CD，∠A＝∠C，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行
四边形，故选项B符合题意；C、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；D、由AB∥CD，
∠A＝∠B，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．7．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．
如果四边形是矩形，那么它的对角线相等B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长
为c，那么a2+b2＝c2D．如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直【解答】解：A、如果四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题
是如果四边形的对角线相等，那么四边形是矩形，逆命题是假命题；B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对
值相等，那么它们相等，逆命题是假命题；C、如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2的逆命题是如果
三角形三条边满足a2+b2＝c2，那么三角形是直角三角形，逆命题是真命题；D、如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直的逆命题是如
果四边形的对角线垂直，那么四边形是菱形，逆命题是假命题；故选：C．8．（3分）一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12
，6，则这个平行四边形的一条边上的高为（ ）A．B．C．8D．【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分，所以62+（3）2＝3
6+45＝81＝92，所以平行四边形的对角线互相垂直，所以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知这个平行四边形是菱形．所以这个
平行四边形的一条边上的高为4，故选：A．9．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形O
A1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再
以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4；…．设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A
4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．依此下去，则S2022的值为（ ）A．B．C．22020D．22021【解答】解：∵四边
形OAA1B1 是边长为1的正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S11×121﹣2，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝OA2+
AA12，∴OA1OA，∴OA2OA1＝2，∴A2B1＝OA2﹣OB1＝2﹣1＝1，∴S22×1＝1＝22﹣2，同理可求：S32×
2＝2＝23﹣2，S4＝24﹣2，…，Sn＝2n﹣2，∴S2022＝22020，故选：C．10．（3分）如图，在△ABC，△BED
中，AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝50°，且A，B，D三点在一条直线上，连接CE，分别取AD，AC，CE的中点F，H
，G，连FH，FG，则∠HFG＝（ ）A．65°B．60°C．70°D．不能确定【解答】解：连接GH，连接AE交FH于点Q，连接
CD，分别交GH、AE于点P、M，∵∠ABC＝∠EBD＝50°，∴∠ABE＝∠CBD＝180°﹣50°＝130°，在△ABE和△C
BD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，∵∠AMC＝∠EAB+∠CDB，∠EBD＝∠EAB+∠
AEB，∴∠AMC＝∠EAB+∠AEB＝∠EBD，∵∠EBD＝50°，∴∠AMC＝50°，∵点F，H，G分别是AD，AC，CE的中
点，∴GH∥AE，GHAE，FH∥CD，FHCD，∴∠GHF＝∠AQH＝∠AMC＝50°，GH＝FH，∴∠HFG＝∠HGF（180
°﹣∠GHF）130°＝65°，故选：A．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算： 3 ．【解答】解：3．
故答案为3．12．（3分）已知，，则代数式（x+y）2的值为 8 ．【解答】解：∵x1，y1，∴x+y＝（1）+（1）＝2，则（
x+y）2＝（2）2＝8，故答案为：8．13．（3分）直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 或5 ．【解答】
解：当5为直角边时，第三边为，当5为斜边时，第三边为4，故答案为：或5．14．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE
＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是 19° ．【解答】解：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形
，∴AD∥BE，AC＝BD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠CBD＝∠ADB＝38°，OB＝OC，∴∠ACB＝∠CBD＝38°，又∵C
E＝BD，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝38°，∴∠E＝19°．故答案为：19°．15．（3分）如图
，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的
对称点N落在EF上，如果AB，则AM＝ 2 ．【解答】解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴BEAB，∠B
EN＝∠AEN＝90°，∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．∴AB＝BN，∴BE
BN，∵∠BEN＝90°，∴∠BNE＝30°，∴∠ABN＝60°，由折叠的性质得：∠ABM＝∠MBN＝30°，在Rt△ABM中，A
MAB22，故答案为：2．16．（3分）如图，矩形ABCD中，BD＝2AB，将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD
上，得到△B′C′D，在边B′C′上取点M，使得C′M＝AB，若AB，则△MCD的面积等于 ．【解答】解：如图，连接CC''，过
点C作CH⊥B''C''，交B''C''于点H，∵将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，∴CD＝C''D，∠B''C''D＝
90°，∵BD＝2AB＝2CD＝2，∴BD＝2C''D，∴BC''＝C''D，∵∠BCD＝90°，∴BC''＝C''D＝CC''，∴CD＝DC
''＝CC''，∴△CDC''是等边三角形，∴S△C''DC（）2，∠CC''D＝60°，∵C′M＝AB，∠MC''D＝90°，∴S△MC''D
1，∵∠CC''H＝90°﹣60°＝30°，∴CHCC''，∴△MCD的面积＝S△DCC''+S△MDC''﹣S△MCC''1，故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1） ＝2；（2） ＝4×2＝8．18．（8分）
在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
，∴AB＝CD，AB∥CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝BEAB，DFCD，∴BE＝DF．∴四边形EBFD是平行四边形
；19．（8分）我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形ABC，
三边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC于D，AD为Rt△ADC，Rt△ADB的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方
程，求出BD，再求出高AD，从而求出三角形ABC的面积．请你用这一方法，解决下列问题：已知△ABC，AB＝13，AC＝15，BC＝
14，求△ABC的面积．【解答】解：设BD的长为x，则CD的长为14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD2＝A
B2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣
x）2，解得x＝5，∴BD＝5，CD＝14﹣x＝9，∴AD2＝132﹣52，解得AD＝12，∴S△ABC84，即△ABC的面积是8
4．20．（8分）如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，A，B在三角形的顶点处，且AB＝3，按照要求用无刻度直尺作
图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）．（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为；（2）过
（1）中的点C作AB的平行线段CD，使其长度为3；（3）作一个平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D（C，D为（2
）中的点）．【解答】解：（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为，作图如下：（2）过点C作AB的平行线段CD，使其长度为3，如图
：（3）作平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D，如图：21．（8分）如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两端
分别延长至点E和点F，使得BE＝DF，若AF＝FC，求证：四边形AFCE为菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD
∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF与△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝
CE，同理可得：CF＝AE，∵AF＝FC，∴AF＝FC＝AE＝EC，∴四边形AECF是菱形．22．（10分）如图，在△ABC，△A
DE中，∠BCA＝∠DEA＝90°，A，C，E在一条直线上，且BC＝DE，连接BD，M，N分别为AB，CE的中点，连MN．（1）求
证：AD＝2MN；（2）若∠ABC＝45°，∠ADE＝60°，BD＝2，求MN的长．【解答】（1）证明：延长AE至G，使NG＝AN
，连接BG，∵AM＝MB，AN＝NG，∴MNBG，MN∥BG，∵N为CE的中点，∴CN＝NE，∴AE＝GC，在△DAE和△BGC中
，，∴△DAE≌△BGC（SAS），∴AD＝BG，∴AD＝2MN；（2）解：设BC＝DE＝x，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝x，∵BC＝DE，BC∥DE，∴四边形BCED为矩形，∴CE＝BD＝2，∴AE＝x+2，在Rt△ADE中，∠ADE＝
60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝2x，由勾股定理得：AEx，则x＝x+2，解得：x1，∴AD＝2x＝22，∴MNAD1
．23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为动点．（1）如图1，当点E在线段AB上，且∠CEN＝60°时，求证：CE
＝EN；（2）如图2，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时，求证：CN⊥AD．【解答】证明：如图，在BC上截取BF
＝BE，连接FE，∵BF＝BE，∠B＝60°，∴△BFE是等边三角形，∴∠B＝∠BFE＝∠BEF＝60°，∴∠EFC＝120°，∵
四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC，∠A＝120°＝∠EFC，∴AE＝FC，∵∠CEN＝∠B＝60°，∠AEC＝∠B
+∠BCE＝∠CEN+∠AEN，∴∠BCE＝∠AEN，在△AEN和△FCE中，，∴△AEN≌△FCE（ASA），∴EN＝EC；（2
）如图2，连接AC，设AD与CN的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，∠ABD＝30°，∴△ABC是
等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△AEN是等边三角形，∴AN＝AE，∠NAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAN
，在△ABE和△ACN中，，∴△ABE≌△ACN（SAS），∴∠ABE＝∠ACN＝30°，∵∠BAC＝∠CAD＝60°，∴∠AOC
＝90°，∴CN⊥AD．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．（1）求点D到直
线AC的距离；（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；（3
）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ 2 ．（直接写出结果）【解答】解：（1）如
图1，作DG⊥AC于点G，∵四边形AOCD是矩形，A（0，2），C（2，0），∴∠ADC＝90°，AD＝OC＝2，CD＝OA＝2，
∴AC4，∵S△ADCAC?DGAD?CD，∴4DG22，∴DG，∴点D到直线AC的距离是．（2）如图2，连接AF、DF，∵∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，∠AOC＝90°，∴∠COE＝∠AOE∠AOC＝45°，∵∠OCE＝90°，∴∠E＝∠COE＝45°，∴CE＝OC，∴CE＝AD，∵∠BDE＝180°﹣∠ADC＝90°，∴∠DBE＝∠E＝45°，∴DB＝DE，∵F为BE的中点，∴∠ADF＝∠EDF∠DBE＝45°，EF＝DFBE，DF⊥BE，∴∠E＝∠ADF，∴△CEF≌△ADF（SAS），∴CF＝AF，∠CFE＝∠AFD，∴∠AFC＝∠AFD﹣∠CFD＝∠CFE﹣∠CFD＝∠DFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°．（3）如图3，连接OD交AC于点Q，∵OD＝AC＝4，∴QD＝QC＝CD＝AQ＝OQ＝OA＝2，∴△QCD和△QOA都是等边三角形，过CD中点R作RP⊥CD，CP∥OD交RP于点P，连接OP、MP，∵∠CRP＝90°，∠PCR＝∠CDQ＝60°，CR＝DRCD＝1，∴∠RPC＝30°，∴PC＝2CR＝2，∴PR，∴P（3，1），∴OP2，∵OM+PM≥OP，∴当点M在OP上时，OM+PM＝2，此时OM+PM的值最小，∵PC＝OA＝1，∠PCM＝∠OAN＝60°，CM＝AN，∴△PCM≌△OAN（SAS），∴PM＝ON，∴OM+ON的最小值为2，故答案为：2．第1页（共1页） |
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