2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八校联考八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若在实数范围内有意义，
则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≠﹣1D．a≤﹣12．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（ ）A．B．
C．D．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，则满
足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）A．a＝3、b＝2、c＝1B．a2：b2：c2＝4：3：1C．∠A：∠B：∠C＝1：
2：3D．∠A＝2∠B＝3∠C5．（3分）下列说法正确的是（ ）A．对角线相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱
形C．平行四边形的对角线互相平分D．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形6．（3分）如图，平行四边形ABCD中
，E、F是对角线AC上的两点，如果添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）A．DE＝BFB．AE＝CF
C．AF＝CED．∠ADE＝∠CBF7．（3分）如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（ ）A．7.5尺B．8尺C．8.5尺D．9尺8．
（3分）如图，矩形AEFG的顶点E、F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG、CF，若EG＝5，则CF的长为（ ）A
．4B．5C．D．9．（3分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥D
E，交直线BC于F点，G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．若AE＝6，CH＝10，则边AC的长为（ ）A．16B．1
1C．14D．1310．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD为AC边上的高，E为BC边的中点，点F在AB边上，∠EDF＝
60°，若AF＝2，BF，则BC边的长为（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算： ．12
．（3分）设长方形的面积为S，相邻的两边长分别为a、b，若S＝4，a，则b＝ ．13．（3分）如图，点D、E、F分别是直角△A
BC各边的中点，∠C＝90°，EF＝6cm，DE＝7.5cm，则DF的长为 ．14．（3分）如图，把菱形ABCD沿AE折叠，
点B落在BC边上的F处，若∠BAE＝15°，则∠FDC的大小为 ．15．（3分）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，高AD＝4
，则底边BC的长是 ．16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若
， ．三、解答题（共8个小题，共72分）17．（8分）计算：（1）； （2）．18．（8分）如图，四边形ABCD中，若∠B＝9
0°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；（2）求∠A+∠C的度数．19．（8分）
如图，在四边形ABCD中，点E、F在BD上，且AE∥FC，AB∥CD，BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若
BH⊥CD，∠DBC＝90°，BC＝3，CD＝5，则BH＝ ．20．（8分）如图，矩形ABCD内三个相邻的正方形的边长分别为m
、n和1．（1）求：图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；（2）若m，n，且，求阴影部分的面积．21．（8分）如图，是一个1
7×6的网格图，图中已画出了线段AB和线段EG，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：（1）画出以AB
为边的正方形ABCD；（2）画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH（点F在EG的左侧），且面积与（1）中正方形的面积相等；（3）在
（1）和（2）的条件下，连接CF，DF，请直接写出△CDF的周长．22．（10分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC
边上的点F处，AE是折痕．（1）如图1，若AB＝4，AD＝5，求折痕AE的长；（2）如图2，若AE，且EC：FC＝3：4，求矩形A
BCD的周长．23．（10分）已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，AP交DC于C，PE⊥PA交BC于E，PF⊥BC，垂足为F点
，求证：（1）EF＝FC；（2）BC+BEBP；（3）PE2﹣PG2＝EG?GC．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边
形AOCB为正方形．（1）点E、F分别在边OC、BC上，若OE＝BF，∠EAF＝60°，①若AE＝2，求EC的长；②点G在线段FC
上，∠AGC＝120°，求证：AG＝EG+FG；（2）如图2，在平面直角坐标系中，OC＝3，点E、F分别是边OC、BC上的动点，且
OE＝CF，AE与OF相交于点P．若点M为边OC的中点，点N为边BC上任意一点，则MN+PN的最小值等于 ．2021-202
2学年湖北省武汉市武昌区八校联考八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若在实数范
围内有意义，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≠﹣1D．a≤﹣1【解答】解：∵a+1≥0，∴a≥﹣1．故选：A
．2．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A：原式＝2，故A不符合题意．B、原式，故B不符合
题意．C、原式，故C不符合题意．D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．【
解答】解：A.23，故此选项不合题意；B.43，故此选项不合题意；C.52＝5×2×（）＝10×3＝30，故此选项不合题意；D.，
故此选项符合题意．故选：D．4．（3分）△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，则满足下列条件的△ABC不是直角三角
形的是（ ）A．a＝3、b＝2、c＝1B．a2：b2：c2＝4：3：1C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝2∠B＝3∠C【
解答】解：A、12+（2）2＝32，故本选项不符合题意．B、1+3＝4，故本选项不符合题意．C、∠C＝180°÷（1+2+3）×3
＝90°．故本选项不符合题意．D、最大角不为90°，故本选项符合题意．故选：D．5．（3分）下列说法正确的是（ ）A．对角线相等
的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．平行四边形的对角线互相平分D．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的
四边形是矩形【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四
边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；C、平行四边形的对角线互相平分，本选项说法正确，符合题意；D、顺次连接对角线相等的四边形
各边的中点所得到的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；故选：C．6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC
上的两点，如果添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）A．DE＝BFB．AE＝CFC．AF＝CED．∠
ADE＝∠CBF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；又∵DE＝BF，不能得出△ADE≌△C
BF，∴不能得出四边形DEBF是平行四边形，故A错误；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；又∵AE＝C
F，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，∴∠DEF＝∠BFE；∴DE∥BF；∴四边形DEBF是平行四
边形，故B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF
（SAS），∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，∴∠DEF＝∠BFE；∴DE∥BF；∴四边形DEBF是平行四边形，故C正确；∵四边形
ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；又∵∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝CF，∠A
ED＝∠BFC；∴∠DEF＝∠BFE；∴DE∥CF；∴四边形DEBF是平行四边形，故D正确；故选：A．7．（3分）如图，有一个水池
，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这
根芦苇的长度是（ ）A．7.5尺B．8尺C．8.5尺D．9尺【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB为（x﹣1）尺，根据勾股定理得
：（x﹣1）2+（）2＝x2，解得：x＝8.5，芦苇的长度＝8.5尺，故选：C．8．（3分）如图，矩形AEFG的顶点E、F分别在菱
形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG、CF，若EG＝5，则CF的长为（ ）A．4B．5C．D．【解答】解：连接AF，∵四边
形ABCD是菱形，∴∠ABF＝∠CBF，AB＝BC，又∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∵四边形DEFG
AEFG为矩形，∴EG＝AF，∴EG＝CF，∵EG＝5，∴CF＝5，故选：B．9．（3分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90
°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．
若AE＝6，CH＝10，则边AC的长为（ ）A．16B．11C．14D．13【解答】解：连接DG，如图所示：∵DF⊥DE，∴∠E
DF＝90°，∵∠ACB＝90°，G是EF的中点，∴CG＝DG，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，且CD为边AB上的中线
，∴CD⊥AB，CD＝AD，∴∠CDG+∠HDG＝90°，∠DCH+∠DHC＝90°，∵CG＝DG，∴∠HCD＝∠CDG，∴∠CH
D＝∠HDG，∴GH＝GD，∴H是CH的中点，∵CH＝10，∴CG＝5，∴EF＝10，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝45
°，∠ACD＝45°，∠DCF＝45°，∴∠A＝∠DCF，∵∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF
（ASA），∴CF＝AE＝6，在△ECF中，根据勾股定理得CE＝8，∴AC＝AE+CE＝6+8＝14，故选：C．10．（3分）如图
，在△ABC中，∠A＝60°，BD为AC边上的高，E为BC边的中点，点F在AB边上，∠EDF＝60°，若AF＝2，BF，则BC边的
长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：过点D作DM⊥AB，垂足为M，取AB的中点H，连接EH，DH，∵AF＝2，BF，∴AB＝A
F+BF，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝30°，∴ADAB，∵点H是AB的
中点，∴AH＝BHAB，∴AD＝AH，∴△ADH是等边三角形，∴AD＝DH，∠ADH＝∠AHD＝60°，∴AM＝MHAH，∴DMA
M，∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2，∴DF，∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠
DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠A
DF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF，∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE，故选：D．二、填空题（每小题3分
，共18分）11．（3分）计算： 5 ．【解答】解：原式5．故答案为：5．12．（3分）设长方形的面积为S，相邻的两边长分别为a、
b，若S＝4，a，则b＝ ．【解答】解：∵S＝ab，∴4b，∴b．故答案为：．13．（3分）如图，点D、E、F分别是直角△ABC
各边的中点，∠C＝90°，EF＝6cm，DE＝7.5cm，则DF的长为 4.5cm ．【解答】解：∵点D、E、F分别是直角△AB
C各边的中点，∴DF∥BC，EF∥CD．∴四边形CDFE是平行四边形．∵∠C＝90°，∴四边形CDFE是矩形．∴∠DFE＝90°．
∵EF＝6cm，DE＝7.5cm，∴DF4.5（cm）．故答案是：4.5cm．14．（3分）如图，把菱形ABCD沿AE折叠，点B落
在BC边上的F处，若∠BAE＝15°，则∠FDC的大小为 22.5° ．【解答】解：∵菱形ABCD沿AE折叠，B落在BC边上的点
F处，∴AD＝AB＝AF，∠AEB＝90°＝∠AEF，∠FAE＝∠BAE＝15°，∴∠B＝∠AFE＝75°，在菱形ABCD中，AB
∥CD，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFE＝75°，∠C＝180°﹣∠B＝105°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD52.5°，∴
∠DFB＝∠AFE+∠AFD＝127.5°，∴∠FDC＝∠DFB﹣∠B＝22.5°，故答案为：22.5°．15．（3分）在△ABC
中，AB＝4，AC＝5，高AD＝4，则底边BC的长是 11或5 ．【解答】解：分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角
形，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD8；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD3，此时BC＝BD+DC＝8+3＝11；如图2
所示，此时△ABC为钝角三角形，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD8；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD3，此时BC＝BD
﹣DC＝8﹣3＝5，综上，BC的长为11或5．故答案为：11或5．16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是
BC边上一点，△ADE是等边三角形，若， ．【解答】解：如图：作∠BAM＝∠CDN＝30°，交CB的延长线于点，交BC的延长线于
点N，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABM＝∠DCN＝90°，∴∠M＝90°﹣∠BAM＝60°，∠N＝90°﹣∠CDN＝60°
，∴∠MAE+∠AEM＝180°﹣∠M＝120°，∵△AED是等边三角形，∴∠AED＝60°，AE＝DE，∴∠AEM+∠DEN＝1
80°﹣∠AED＝120°，∴∠MAE＝∠DEN，∵∠M＝∠N＝60°，∴△AME≌△END（AAS），∴AM＝EN，ME＝DN，
∵，∴设AB＝n，CD＝m，在Rt△AMB中，BMn，AMn，∴AM＝ENn，在Rt△DCN中，CNm，DNm，∴ME＝DNm，∴
CE＝EN﹣CNnm，BE＝EM﹣BMmn，∴，∴，故答案为：．三、解答题（共8个小题，共72分）17．（8分）计算：（1）； （
2）．【解答】解：（1） ；（2） 2．18．（8分）如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，A
D＝24．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；（2）求∠A+∠C的度数．【解答】解：（1）∠D是直角，理由见解答：连接AC．∵A
B＝20，BC＝15，∠B＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625．又∵CD＝7，AD＝24，∴CD2+AD2＝6
25，∴AC2＝CD2+AD2，∴∠D＝90°；（2）∠BAD+∠BCD＝360°﹣180°＝180°．19．（8分）如图，在四边
形ABCD中，点E、F在BD上，且AE∥FC，AB∥CD，BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若BH⊥CD，
∠DBC＝90°，BC＝3，CD＝5，则BH＝ ．【解答】（1）证明：∵AE∥FC，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AEB＝∠CFD，
∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行
四边形；（2）解：∵∠DBC＝90°，BC＝3，CD＝5，∴BD，∵BH⊥CD，∴，即BH，故答案为：．20．（8分）如图，矩形A
BCD内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1．（1）求：图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；（2）若m，n，且，求阴影部
分的面积．【解答】解：（1）∵矩形的长为（m+n+1），宽为m，∴矩形的面积为：m（m+n+1），∴图中阴影部分的面积为：m（m+
n+1）﹣m2﹣n2﹣12＝﹣n2+mn+m﹣1，（2）∵m，n，，∴n2＝（）2＝（）2＝6，∴m2＝（）2＝（）2+4＝10，
∴m或m（舍去），∴﹣n2+mn+m﹣1＝﹣61＝27，∴阴影部分的面积为27．21．（8分）如图，是一个17×6的网格图，图中已
画出了线段AB和线段EG，其端点A，B，E，G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：（1）画出以AB为边的正方形ABCD；
（2）画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH（点F在EG的左侧），且面积与（1）中正方形的面积相等；（3）在（1）和（2）的条件下
，连接CF，DF，请直接写出△CDF的周长．【解答】解：（1）如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）如图所示，菱形EFGH即为所
求；（3）∵由勾股定理可得，CD＝2，DF＝2，而CF＝2，∴△CDF的周长为2+22．22．（10分）如图，折叠矩形ABCD的一
边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．（1）如图1，若AB＝4，AD＝5，求折痕AE的长；（2）如图2，若AE，且EC：
FC＝3：4，求矩形ABCD的周长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，
由折叠可知，AD＝AF＝5，DE＝EF，∴BF3，∴FC＝BC﹣BF＝5﹣3＝2，设EF＝DE＝x，则CE＝4﹣x，∵CF2+CE
2＝EF2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得：x，∴DE，∴AE；（2）∵EC：FC＝3：4，∴设EC＝3x，则FC＝4x，∴EF
5x，∴DE＝5x，∴AB＝CD＝8x，设AF＝AD＝y，则BF＝y﹣4x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，∴（8x）2
+（y﹣4x）2＝y2，解得y＝10x，在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，∴（10x）2+（5x）2＝（）2，解得x或x（
舍去），∴AD＝10x＝2，AB＝8x，∴矩形ABCD的周长为（2）×2．23．（10分）已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，
AP交DC于C，PE⊥PA交BC于E，PF⊥BC，垂足为F点，求证：（1）EF＝FC；（2）BC+BEBP；（3）PE2﹣PG2＝
EG?GC．【解答】证明：（1）过点P作PH⊥AB于点H，连接CP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝4
5°，∵PF⊥BC，PH⊥AB，∴PH＝PF，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠HPF＝90°，∴∠APH＝∠EPF，在△PHA和△PF
E中，，∴△PHA≌△PFE（ASA），∴PA＝PE，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∴P
E＝PC，∵PF⊥EC，∴EF＝FC；（2）∵∠PHB＝∠HBF＝∠PFB＝90°，∴四边形PHBF是矩形，∵PH＝PF，∴四边形
PHBF是正方形，∴BH＝BF，PBBH，∵△PHA≌△PFE，∴AH＝EF，∵BH＝BF，∴BC+BC＝BC+AB＝BF﹣EF+
BH+AH＝2BHPB；（3）如图2中，设PF交EG于点J，过点P作PL⊥EG于点L，GK⊥PF于点K，连接CJ．∵PF⊥BC，E
F＝FC，∴JE＝JC，∴∠JEC＝∠JCE，∵∠JEC+∠CGJ＝90°，∠JCE+∠JCG＝90°，∴∠JCG＝∠JGC，∴J
C＝JG，∴JE＝JG，∵∠EPG＝90°，∴PJ＝JE＝JG，∴∠JEP＝∠JPE，∠JPG＝∠JGP，∵PL⊥GJ，GK⊥JP
，∴∠PLG＝∠PKG＝90°，在△PKG和△GLP中，，∴△PKG≌△GLP（AAS），∴PL＝GK，PK＝GL，∵∠GCF＝∠
CFK＝∠GKF＝90°，∴四边形FCGK是矩形，∴GK＝CF＝EF，CG＝FK，在△PFE和△ELP中，，∴△PFE≌△ELP（
AAS），∴PF＝EL，∵PE2﹣PG2＝（PF2+EF2）﹣（PK2+KG2）＝PF2﹣PK2＝（PF+PK）（PF﹣PK）＝（
EL+GL）?CG＝EG?CG．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为正方形．（1）点E、F分别在边OC、B
C上，若OE＝BF，∠EAF＝60°，①若AE＝2，求EC的长；②点G在线段FC上，∠AGC＝120°，求证：AG＝EG+FG；（
2）如图2，在平面直角坐标系中，OC＝3，点E、F分别是边OC、BC上的动点，且OE＝CF，AE与OF相交于点P．若点M为边OC的
中点，点N为边BC上任意一点，则MN+PN的最小值等于 ．【解答】（1）①解：在正方形AOCB中，AB＝AO，∠B＝∠AOC，
在△ABF和△AOE中，，∴△ABF≌△AOE（SAS），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF＝AE＝
2，∵OE＝BF，BC＝OC，∴BC﹣BF＝OC﹣OE，即CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴ECEF2；②证明：在AG上截取GH＝FG，连接FH，∵∠AGC＝120°，∴∠AGF＝60°，∴△FGH是等边三角形，∴FH＝FG，∠FHG＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，AF＝EF，∴∠AFE＝∠GFH＝60°，∴∠AFE﹣∠EFH＝∠GFH﹣∠EFH，即∠AFH＝∠EFG，在△AFH和△EFG中，，∴△AFH≌△EFG（SAS），∴AH＝GE，∴AG＝AH+GH＝EG+FG，即AG＝EG+FG；（2）解：作M关于BC的对称点Q，取OA的中点H，连接PQ与BC交于点N''，连接PH，HQ，则MN''＝QN''，∵四边形AOCB是正方形，∴OA＝OC，OA∥BC，∠AOC＝∠OCB＝90°，在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（SAS），∴∠AEO＝∠OFC，∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠OFC＝∠AEO，∵∠OAE+∠AEO＝90°，∴∠OAE+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴PHOA，∵M点是OC的中点，∴OM＝MC＝CQOC，∴OQ，∵PH+PQ≥HQ，∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ的值最小，∴PQ的最小值为，此时，若N与N''重合时，MN+PN＝MN''+PN''＝QN''+PN''＝PQ的值最小，故答案为：．第1页（共1页） |
|
