2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街三校联考八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在二
次根式中，m的取值范围是（ ）A．m≠3B．m＞3C．m≥3D．m≥﹣32．（3分）下列各式计算正确的是（ ）A．8B．3C．
（）2＝10D．（）2＝﹣33．（3分）如图，在?ABCD中，∠ABC＝140°，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则∠E的度
数为（ ）A．30°B．35°C．20°D．25°4．（3分）有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”，例如边长为3，4
，5的Rt△和边长为5，12，13的Rt△．下列给定的数组中，不能构成“双生直角三角形”边长的是（ ）A．3，4，5，12，13
B．5，6，8，10，5C．5，8，12，13，4D．2，3，4，5，35．（3分）已知，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从
给定四个条件①AB＝CD；②AD∥BC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO中选择两个，使得四边形ABCD可判定为平行四边形，你的选
择是（ ）A．①②B．②④C．①③D．①④6．（3分）菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形B
EFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（ ）A．B．2C．1D．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞
AB且均为定长，如果E、F分别是AD、BC上的动点且直线EF平分AC，G，H是对角线AC上的点．下列判断：①在AC上存在无数组G，
H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形E
GFH是菱形；④在AC上有且只有一组G，H，使得四边形EGFH是正方形．其中正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②
③④8．（3分）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形
EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：7，则的值为（ ）A．B．C．D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2
，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单
位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）A．1B．4C．D．10．（3分）如图，边长为2的正方形E
FGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的
长为（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算： ．12．（3分）已知n是
正整数，是整数，则n的最小值是 ．13．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D是边AC的中
点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，∠E＝30°，则CE的长为 ．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝9
0°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC，OC＝2，则另一直角边BC的长为 ．1
5．（3分）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE
，则BM的长为 ．16．（3分）已知，如图：一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，E为AD边上一动点，将矩形沿BE折叠，要
使点A落在BC上，则折痕BE的长度是 ；若点A落在AC上，则折痕BE与AC的位置关系是 ；若翻折后A点的对应点是A''点，连
接DA''，则在点E运动的过程中，DA''的最小值是 ．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算：（1）（）；（2）8x．
18．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝12，AC＝6，求DF的长．19．（8分）如图，
在正方形ABCD中，点E在边CD上（点E与点C、D不重合），过点E作FG⊥BE，FG与边AD相交于点F，与边BC的延长线相交于点G
．（1）线段DF，CE和CG有什么样的数量关系？并证明你所得到的结论．（2）如果正方形的边长是2，FG＝3，求点A到直线BE的距离
．20．（8分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作
EG∥AF交CD于点G，连接FG，DE．（1）求证：四边形DEGF是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四边形DEGF的面
积．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．（1）如图1，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；（
2）如图2，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝6，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．
22．（10分）在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图．（1）如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为
；（2）在图①中画出以AM为一边的正方形MABC；（3）如图②，线段NF与图①中的线段AM平行且相等并经过格点O，在图②中画
出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方形）．23．（10分）菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点
G．（1）如图1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；（2）如图2，若DE＝CF．试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？
并证明你的结论；（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，求
的值．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，
n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n满足关系式|m﹣n|＝0．（1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论．（2）在
图1中，若∠ABC＝60°，BD交y轴于点F，点P为线段FD上一点，连接PA，且点E与点B关于y轴对称，连接PE，若PE＝PA，①
试求∠APE的度数；②试求的值．（3）如图2，在（2）的条件下，若PE与CD交于点M，且∠CME＝45°，请直接写出的值 ．
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街三校联考八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分
，共30分）1．（3分）在二次根式中，m的取值范围是（ ）A．m≠3B．m＞3C．m≥3D．m≥﹣3【解答】解：∵m﹣3≥0，∴
m≥3．故选：C．2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）A．8B．3C．（）2＝10D．（）2＝﹣3【解答】解：A、原式，故A不
符合题意．B、原式3，故B符合题意．C、原式＝5，故C不符合题意．D、原式＝3，故D不符合题意．故选：B．3．（3分）如图，在?A
BCD中，∠ABC＝140°，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）A．30°B．35°C．20°D．25°
【解答】解：∵∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴∠DCF＝
∠E，∴∠E＝∠BCE，∵∠ABC＝140°，∴∠E＝20°，故选：C．4．（3分）有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形
”，例如边长为3，4，5的Rt△和边长为5，12，13的Rt△．下列给定的数组中，不能构成“双生直角三角形”边长的是（ ）A．3
，4，5，12，13B．5，6，8，10，5C．5，8，12，13，4D．2，3，4，5，3【解答】解：A．∵32+42＝52，5
2+122＝132，∴能构成“双生直角三角形”，故本选项不符合题意；B．∵62+82＝102，2，52+（5）2≠＝102，∴能构
成“双生直角三角形”，故本选项不符合题意；C．∵52+122＝132，82+（4）2＝122，∴能构成“双生直角三角形”，故本选项
不符合题意；D．∵22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，（3）2＝18，∴32+42＝52，∴不能构成“双生直角三角形”，故
本选项符合题意；故选：D．5．（3分）已知，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件①AB＝CD；②AD∥BC；③∠B
AD＝∠BCD；④BO＝DO中选择两个，使得四边形ABCD可判定为平行四边形，你的选择是（ ）A．①②B．②④C．①③D．①④【
解答】解：选择②③或②④，理由如下：选择②③时，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD+∠
ABC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；选择②④时，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△OAD和△OCD
中，，∴△OAD≌△OCD（AAS），∴OA＝OC，又∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．6．（3分）菱形ABC
D的边长为4，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（
）A．B．2C．1D．【解答】解：如图，连接BF、BD，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵∠A＝60°，∴△BC
D是等边三角形，∴BD＝BC＝4，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝60°，∵点G为AB的中点，∴菱形BEFG的边长为2，即BE＝EF
＝BG＝2，∵点E在CB的延长线上，∠GBE＝60°，∴∠FBG＝30°，连接EG，交BF于O，∵四边形BEFG是菱形，∴EG⊥F
B，∠OBG＝30°，OB＝OF，∴OGBG＝1，∴OBOG，∴FB＝2OB＝2，∵∠DBF＝∠DBA+∠FBG＝90°，∴DF2
，∵点P为FD的中点，∴PBDF．故选：A．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB且均为定长，如果E、F分别是AD、BC上
的动点且直线EF平分AC，G，H是对角线AC上的点．下列判断：①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC
上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④在AC上有且只有一组G，H，
使得四边形EGFH是正方形．其中正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【解答】解：①在AC上存在无数组G，H，
使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无
数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④如图，当GH＝EF时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，在AC上有
且只有一组G，H，使得四边形EGFH是正方形，说法正确；故选：D．8．（3分）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚
线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：7，则的值为（ ）A．B
．C．D．【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，∵正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：7，设正方形EFG
H与五边形MCNGF的面积为4x2，7x2，∴GF2＝4x2，∴GF＝2x，∴HF2x，由折叠可知：正方形ABCD的面积为：4x2
+4×7x2＝32x2，∴PM2＝32x2，∴PM＝4x，∴FM＝PH（PM﹣HF）（4x﹣2x）x，∴．故选：B．9．（3分）如
图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直
于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）A．1B．4C．D．
【解答】解：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点H，如图所示：则∠EHF＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADE＝90°，∴∠A
DE＝∠EHF，在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠AED+∠HEF＝90°，∵∠HEF+∠EFH＝90°，∴∠
AED＝∠EFH，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴EH＝AD＝2，∵AB＝8，根据题意，得t+2t＝2+8，∴t，故选：C．10
．（3分）如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点
为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：连接EH，AH，取AH的中点P，连接MP、NP，过N作N
Q⊥MP于点Q，如图，∵M、N分别是BH、AF的中点，∴MP∥AB，NP∥FH，MP，NP，∵AB∥EF∥GH，∴MP∥GH，∴∠
MPN＝∠GHF＝45°，∴NQ＝PQPN＝1，∴MN．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分
）计算： 5 ．【解答】解：原式5．故答案为：5．12．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 3 ．【解答】解：n为正
整数，是整数，则5n+1是一个完全平方数，所以n最小值为3．故答案为：3．13．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝
90°，AB＝2，点D是边AC的中点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，∠E＝30°，则CE的长为 ．【解答】解：
∵△ABC是等腰三角形，∴BA＝BC＝2，∴AC，∵D是边AC的中点，∴BD⊥AC，BD＝AD＝CD，∴BD⊥DE，∵∠E＝30°
，∴BE＝2BD＝2，∴DE，∴CE＝DE﹣DC，故答案为：．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外
作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC，OC＝2，则另一直角边BC的长为 ．【解答】解：过O作OF⊥BC
于F，过A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四边形ACF
M是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，∵∠A
MO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中，，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM
＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝2，由勾股定理得：CF＝OF＝2，∴BF
＝OM＝OF﹣FM＝2，∴BC＝2．故答案为：．15．（3分）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE
上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．【解答】解：如图，当BF如图位置时，∵AB＝AB，∠BAF＝
∠ABE＝90°，AE＝BF，∴△ABE≌△BAF（HL），∴∠ABM＝∠BAM，∴AM＝BM，AF＝BE＝6，∵AB＝8，BE＝
6，∴AE10，过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS＝4，SM是△ABF的中位线，∴SMBE6＝3，∴
BMAE10＝5，当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG＝AE＝10，∠AEB＝∠BGC，∴△BHE∽△BCG
，∴BH：BC＝BE：BG，∴BH．16．（3分）已知，如图：一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，E为AD边上一动点，将矩形
沿BE折叠，要使点A落在BC上，则折痕BE的长度是 6 ；若点A落在AC上，则折痕BE与AC的位置关系是 AC⊥BE ；若翻折后A
点的对应点是A''点，连接DA''，则在点E运动的过程中，DA''的最小值是 4 ．【解答】解：若将矩形沿BE折叠，点A落在BC上，∴A
B＝AE＝6，∴BE＝6，若将矩形沿BE折叠，点A落在AC上，∴AC⊥BE，如图，连接BD，∵AB＝6，AD＝8，∴BD10，若翻
折后A点的对应点是A''点，∴BA＝BA''＝6，∴点A''在以点B为圆心，6为半径的圆上，∴当点A''在线段BD上时，DA''有最小值＝1
0﹣6＝4，故答案为：6；AC⊥BE；4．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算：（1）（）；（2）8x．【解答】解：（
1）原式＝32＝23；（2）原式38x?＝24＝5．18．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，A
B＝12，AC＝6，求DF的长．【解答】解：延长CF交AB于G，∵AE是角平分线，∴∠GAF＝∠CAF，在△GAF和△CAF中，，
∴△GAF≌△CAF（ASA），∴AG＝AC＝6，CF＝FG，∴BG＝AB﹣AG＝6，∵CF＝FG，CD＝DB，∴DFBG＝3．1
9．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（点E与点C、D不重合），过点E作FG⊥BE，FG与边AD相交于点F，与边BC
的延长线相交于点G．（1）线段DF，CE和CG有什么样的数量关系？并证明你所得到的结论．（2）如果正方形的边长是2，FG＝3，求点
A到直线BE的距离．【解答】解：（1）DF+CG＝CE，理由如下：∵FH∥DC，AD∥BC，∠BCD＝90°，∴四边形FHCD为矩
形，∴DF＝HC，如图，过点F作FH∥DC交BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，AD∥BC，∵FH
∥DC，∴∠FHG＝90°，FH＝CD，∵∠BCD＝90°，FG⊥BE，∴∠EBC+∠BEC＝90°，∠EBC+∠G＝90°，∴∠
G＝∠BEC，在△BEC和△FGH中，，∴△BEC≌△FGH（AAS），∴BE＝FG，HG＝CE，∵HG＝HC+CG＝DF+CG，
∴DF+CG＝CE；（2）如图，连接AE，过点A作AP⊥BE于P，∵△BEC≌△FGH，∴BE＝FG＝3，∵正方形的边长为2，∴△
ABE的面积AB?AD2×2＝2，则BE×AP＝2，即3×AP＝2，解得，AP，即点A到直线BE的距离为．（此时点E在CD延长线上
）．20．（8分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E
作EG∥AF交CD于点G，连接FG，DE．（1）求证：四边形DEGF是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四边形DEGF的
面积．【解答】证明：（1）∵点E与点F关于直线 CD对称，∴FD＝ED，FG＝EG，且DG＝DG，∴△FDG≌△EDG（SSS），
∴∠EDG＝∠FDG，∵EG∥AF，∴∠EGD＝∠FDG，∴∠EGD＝∠EDG，∴ED＝EG，∴FD＝ED＝FG＝EG，∴四边形D
EGF是菱形；（2）连接FC，EC，∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥CB，且AF＝BC＝8，∴四边形ABCF是平行四边形，且∠A＝9
0°，∴四边形ABCF是矩形，∴CF＝AB＝10，∵点E与点F关于直线 CD对称，∴CE＝CF＝10，∴BE＝6，∴AE＝4，设F
D＝ED＝FG＝EG＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5．∴S＝5×4＝20．21．（8分）
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．（1）如图1，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；（2）如图2，设AE
与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝6，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．【解答】（2）证明
：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD＝BC＝CD，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在
△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，∴∠CEF＝∠CBD（180°﹣
∠C），∴EF∥BD；（3）解：连接CG，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADG＝∠CDG，AD＝CD，在△ADG和△CDG
中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG，△ADG和△CDG的面积相等，∴S1﹣S2＝S△CGE，AB＝BC＝CE+BE
＝6+4＝10，∵AE⊥BC，∴AE8，设EG＝x，则AG＝CG＝8﹣x，∵AE⊥BC，∴EG2+EC2＝CG2，即：x2+42＝
（8﹣x）2，解得：x＝3，即EG＝3，∴S1﹣S2＝S△CGECE?EG4×3＝6．22．（10分）在每个小正方形的边长为1的网
格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图．（1）如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为 ；（2）在图①中画出以AM为一边的正方形
MABC；（3）如图②，线段NF与图①中的线段AM平行且相等并经过格点O，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方
形）．【解答】解：（1）AM，故答案为：；（2）如图①中，正方形MABC即为所求；（3）如图②中，菱形FNPQ即为所求．23．（1
0分）菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．（1）如图1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF
；（2）如图2，若DE＝CF．试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到
MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，求的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝90°
，∴四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠FCD+∠GDC＝90°＝∠GDC+∠AD
E，∴∠FCD＝∠ADE，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF；（2）解：∠EAF+∠EGF＝180°；证明如下：过D作D
R⊥AB于R，过C作CS⊥AD于S，如图：∵S菱形ABCD＝AB?DR＝AD?CS，AB＝AD，∴DR＝CS，∵DE＝CF，∴Rt
△DRE≌Rt△CSF（HL），∴∠CFS＝∠RED，∵∠CFS+∠AFG＝180°，∴∠RED+∠AFG＝180°，∴∠EAF+
∠EGF＝180°；（3）解：连接FM，过H作TK∥AB交AD于T，交BC于K，连接CH，如图：由（1）知MN⊥CF，又G为CF中
点，∴MN是CF的垂直平分线，∴MF＝CM，CH＝FH，∴∠MFC＝∠MCF＝15°，∴∠FMD＝30°，设DF＝x，则MF＝CM
＝2x，DMx，∴AB＝CD＝（2）x，∵AE＝DF＝x，EN＝DMx，∴BN＝AB﹣AE﹣EN＝x，∵BN∥DM，∴，∵DT∥B
K，∴，HK+TK＝AB＝（2）x，∴HKx，TKx，∵正方形ABCD，∴∠HBK＝45°，∴BK＝HKx，BHHKx，∴CK＝B
C﹣BK＝（2）xxx，∴tan∠HCK，∴∠HCK＝30°，∴CH＝2HK＝（1）x＝FH，∴．24．（12分）如图1，在平面直
角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c
，d，m，n满足关系式|m﹣n|＝0．（1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论．（2）在图1中，若∠ABC＝60°，BD交y轴
于点F，点P为线段FD上一点，连接PA，且点E与点B关于y轴对称，连接PE，若PE＝PA，①试求∠APE的度数；②试求的值．（3）
如图2，在（2）的条件下，若PE与CD交于点M，且∠CME＝45°，请直接写出的值 ．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形．
证明：∵∵|m﹣n|＝0．∴d﹣a﹣c+b＝0，m﹣n＝0，∴d﹣a＝c﹣b，m＝n，∴AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是
平行四边形，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴?
ABCD是菱形．（2）①如图1，连接PC，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠APB＝∠CPB，∵PE＝PA，∴PC＝PE，∵PQ⊥CE，∴∠CPQ＝∠EPQ，∵∠ABC＝60°，∴∠PBC＝30°，∵∠BQP＝90°，∴∠BPQ＝60°，即∠BPC+∠CPQ＝60°，∴∠APE＝∠APB+∠BPC+∠CPQ+∠EPQ＝2（∠BPC+∠CPQ）＝120°；②如图1，连接AC交BD于点S，则AC⊥BD，BD＝2BS，∵B（b，0），C（c，0），∴BC＝c﹣b，∵∠CBS＝30°，∠BSC＝90°，∴CSBC（c﹣b），∵BS（c﹣b），∴BD（c﹣b），在Rt△BFO中，OFBF，BF2﹣OF2＝OB2，∴BFb，在Rt△BPQ中，PQBP，BQ＝BCCE＝c﹣b，BP2﹣PQ2＝BQ2，∴BP（c﹣3b），∴PF＝BP﹣BF（c﹣3b）﹣（b）（c﹣b），∴BF+PD＝BD﹣PF（c﹣b）（c﹣b）（c﹣b），∴．（3）∵点E与点B关于y轴对称，∴E（﹣b，0），∴BE＝﹣b﹣b＝﹣2b，∵∠CME＝45°，∴∠DMP＝45°，∵∠BDC＝30°，∴∠BPE＝∠BDC+∠DMP＝30°+45°＝75°，∵∠DCE＝∠ABC＝60°，∴∠BEP＝180°﹣∠DCE﹣∠CME＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠BPE＝∠BEP，∴BP＝BE＝﹣2b，∵∠DBC＝30°，PQ⊥x轴，∴PQBP＝﹣b，∴BQb，由（2）②知：BQ，∴b，∴c＝（3﹣2）b，∴，故答案为：．第1页（共1页） |
|
