中考数学《圆的切线的证明》专题练习（附答案）一、综合题1．如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 的中点， 为 延长线上一点
，且 ， 与 交于点 ，与 交于点 ． （1）求证： 是 的切线；（2）若 ， ，求直径 的长．2．如图，
已知△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AB与⊙O相切于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若∠B=33°，⊙O
的半径为1，求BD的长．（结果精确到0.01） 3．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O
与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE= ∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sinB
= ，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）． 4．如图，在半径为5cm的 中，AB是 的直径，CD是过
上点C的直线，且 于点D，AC平分 ，E是BC的中点， . （1）求证：CD是 的切线；（2）求AD的长，5．如图，AB
是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO
+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径。6．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，弧AC=弧BD，A
E与弦CD的延长线垂直，垂足为E．（1）求证：AE与半圆O相切；（2）若DE=2，AE= ，求图中阴影部分的面积7．如图，AB为
⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CDB=60°，A
B=18，求 的长．8．已知在 中， ， ． （1）如图①，点B、C在 上，边 、 分别交 于D、E两点，点B是
弧 的中点，求 的度数； （2）如图②，以点B为圆心的圆与边 相切于点F，与 交于点G，求 的度数． 9．已知二次函
数y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3（m是常数）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）如果二次函数的图象经过
原点．①求m的值；②若m＜0，点C是一次函数y＝﹣x+b（b＞0）图象上的一点，且∠ACB＝90°，求b的取值范围；（2）当﹣3≤
x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．10．已知：如图，在 中， ，D是 中点， 平分 交AC于点E，点O是 上一点，
过B，E两点，交 于点G，交 于点F． （1）求证： 与 相切； （2）当 ， 时，求 的半径． 11．如
图，点 M在矩形 ABCD的边 AD延长线上，以AM为直径作⊙O 交AC于点F，点E在 CD边上，且 EC=EF.（1）求证∶ E
F是⊙O的切线;（2）若cos∠CAD= ，AF=6，MD=2，求FC的长. 12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交⊙O于点E
．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC=PF；（3）若AC=8，tan∠ABC= ，求线段BE的长． 13．如图，△A
BC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明
字母．（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于
点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证
：DE2=DF?DA．15．如图，直径为10的半圆O，tan∠DBC= ，∠BCD的平分线交⊙O于F，E为CF延长线上一点，且∠
EBF=∠GBF．（1）求证：BE为⊙O切线；（2）求证：BG2=FG?CE；（3）求OG的值．16．在屏幕上有如下内容:如图，△
ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答。（1）在屏幕内容
中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答。（2）以下是小明、小思的对话:小明:我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长。小聪:
你这样太简单了，我加的是∠A=30°，连结OC，就可证明△ACB与△DCO全等。参考此对话:在屏幕内容中添加条件，编制一道题（可以
添线、添字母），并解答。参考答案1．【答案】（1）证明：∵ 是 的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是
的切线（2）解：∵ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴设 ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ，∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，设
，∴ ，∵ ，∴ ，解得： ，∴ ，∴直径 的长为20．2．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是
⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线（2）解：在Rt△BDO中，BD= ≈1.54．
3．【答案】（1）证明：连接OE， ∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG
=∠A，∴∠OFE= ∠OFG，∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，∴OE∥FG，∴
OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB= ，⊙O的半径为r， ∴OB= r，BE= r，∴B
F=OB+OF= r，∴FG=BF?sinB= r，∴BG= = r，∴EG=BG﹣BE= r，∴S△FGE= EG?
FG= r2，EG：FG=1：2，∵BC是切线，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，∴ =（ ）
2= ，∴S△EHG= S△FGE= r24．【答案】（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵A
C平分∠DAO，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴ ，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的
切线（2）解：如图，连接BC，OE， ∵E是BC的中点， ，∴ ，∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径 ，∴∠ADC＝∠ACB
＝90°， ，又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，则 ，∴5．【答案】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，∴
∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°， ∵EO⊥AB∴∠A+∠AEO=90°∴∠AEO=∠ABC∵OC=OB∴∠ABC=∠O
CB∴∠AEO=∠OCB∵CD与⊙O相切，∴∠OCD=90°，∠AEO+∠BCD=90°．（2）解：∵OA=OC， ∴∠A=∠AC
O∵AC=CD，∴∠A=∠D ∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD=180°．∴3∠A+90°=180°∴∠A=30°，∵AC=3，∴
AB= ∴⊙O半径为 ．6．【答案】（1）证明：连接AC， （2）解：连接AD，取AD的中点F，连接EF、OD， ∵F是AD
的中点，∴ED=EF=DF=2，∴△DEF是等边三角形，∴∠EDA=60°，由（1）知：AB∥CF∴∠DAO=∠EDA=60°，∵
OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，OA=AD=4， 7．【答案】（1）证明：连接OD， ∵BD平分 ，
． ， ， ． ， ， ，即 ， ，∴CD是⊙O的切线；（2）解： ， ， ， ． ， ， ．8．【答案】（1）解：连接
DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是弧CD的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90
°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°- 32°＝ 58°，∴∠ACD＝∠ACB -∠BCD＝58°- 45°＝ 13°，故∠ABE
＝∠ACD＝13°；（2）解：连接BF，∵AC与⊙B相切于点F，∴BF⊥AC，∴∠BFA＝∠BFC＝90°，∵∠BAC＝32°，∴
∠ABF＝58°，∴∠CBF＝90°- 58°＝32°，∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠BGF＝74°， ∴∠GFC＝90°- ∠BF
G＝90°- 74°＝16°．9．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过原点， ∴m2﹣2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣1，m2＝
3．②∵m＜0，∴m＝﹣1．把m＝﹣1代入y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3中，得：y＝x2﹣4x．当y＝x2﹣4x＝0时，
x1＝0，x2＝4，∴AB＝4． 以AB为直径作⊙P，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与圆
相交时，可得∠ACB＝90°． 如图， 一次函数y＝﹣x+b（b＞0）的图象与⊙P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接
PC，易得∠PCF＝90°．当x＝0时，y＝﹣x+b＝b，∴点E（0，b）；当y＝﹣x+b＝0时，x＝b，∴点F（b，0）．∴AE
＝AF＝b，∴∠PFC＝45°． 又∵∠PCF＝90°，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝ PC＝2 ，∴b＝AF＝2+2
．∴b的取值范围为0＜b≤2+2 （2）解：∵y＝x2+（2m﹣2）x+m2﹣2m﹣3＝（x+m﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴
为x＝1﹣m．①当1﹣m≤﹣0.5，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，∴（2+m﹣1）2﹣
4＝5，解得：m＝2或m＝﹣4（舍去）；②当1﹣m＞﹣0.5，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝﹣3时，函数最大
值为5，∴（﹣3+m﹣1）2﹣4＝5，解得：m＝1或m＝7（舍去）．综上所述，m＝2或m＝1．10．【答案】（1）证明：连接 ，
∵ 且D是 中点，∴ ，∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ 为 半径，∴ 与 相切．（2）解：∵
， ， ， ∴ ，∴ ，设 的半径为r，则 ，∵ ，∴∴ ，∴∴ ，答：⊙O的半径是 ．11．【答案】（1）解：证明
：连接OF， ∵在矩形ABCD中，∠ADC= 90°，∴∠CAD+∠DCA=90° ∵EC=EF，∴∠EFC=∠DCA，∵OF=O
A，∴∠OFA=∠CAD，∴∠EFC+∠OFA= 90°， ∴∠OFE=90°，即EF⊥OF，又OF是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线
；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM=90°， 在Rt△AMF中，cos∠CAD= ∴AF=6， ，∴AM=10，∵MD=
2，∴AD=8，在Rt△ACD中，cos∠CAD= ，∴ ，∴AC= ， ∴FC= -6= 12．【答案】（1）证明：连接O
C， ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又AD⊥P
D，∴OC⊥PD，∴PC与⊙O相切；（2）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠ECB
，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵∠BCP+∠OCB=
90°，∴∠BCP=∠BAC，∵∠BAC=∠BEC，∴∠BCP=∠BEC，∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠B
CP，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：连接AE， 在Rt△ACB中，tan∠ABC= ，AC=8，∴BC=6，由勾
股定理得，AB= =10，∵弧AE=弧BE，∴AE=BE，则△AEB为等腰直角三角形，∴BE= ．13．【答案】（1）解：如图
，⊙C为所求（2）解：∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠B
CD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴CD=3cos30°=，∴的长==π．14．【答案】（1）
证明：如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG； ∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∵∠G
＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直
线DM是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接BE． ∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD
＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，
∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．∴DE2＝DF·DA．15．【答案】（1）证明：由同弧所对的圆周角
相等得∠FBD=∠DCF，又∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，已知∠EBF=∠GBF，∴∠EBF=∠∠BCF，∵BC为⊙O
直径，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC+∠EBF=90°，∴BE⊥BC，∴BE为⊙O切线（2）证明：由
（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，∴△BEF∽△CEB，∴BE2=EF?CE，又∠EBF=∠GBF，BF⊥E
G，∴∠BFE=∠BFG=90°，在△BEF与△BGF中， ，∴△BEF≌△BGF，∴BE=BG，EF=FG，∴BG2=FG?C
E（3）解：如图，过G作GH⊥BC于H， ∵CF平分∠BCD，∴GH=GD，∵tan∠DBC= ，∴sin∠DBC= ，∵BC
=10，∴BD=8，BG=BD﹣GD=8﹣GD，∴ = ，∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，∵BC=10，∴OH=OB﹣BH=1，在Rt△OGH中，由勾股定理得OG= ．16．【答案】（1）解:连结OC.∵CD与⊙O相切，∵∠OCD=90°又∵∠ADC=30°∴OD=2OC=2，∴AD=OA+OD=3（2）解:一类:通过几何，代数方法的综合运用，解得所编制题目的答案。 如:加条件CP是直径，连结PD，设BD=x，PD=y，求y关于x的关系式.解答略。二类:通过三角形全等、三角形相似，解得所编制题目的香案。如:加条件∠ABC=60°，求证:△ACB≌△DCO解答略。三类，通过线段、角度等的加减，解得所编制题目的答案.如:加条件∠ABC=60°，求BC的长。解答略。 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 23 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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