中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)1．如图，：AB是的直径：BC是弦，于点E，交于点．(1)请写出三个不同类型的正确结论(2)连结CD
，设 试找出与之间的一种关系式并给予证明．2．如图，，在中 以为直径的交于点 交的延长线于点．(1)求证点为线段的中点．(2)
若 求的半径及阴影部分的面积．3．如图，为的直径 点在上 延长至点 使．延长与的另一个交点为 连结．(1)求证(2)若 求的长．
4．请仅用无刻度的直尺完成下列作图 不写作法 保留作图痕迹(1)如图1， 与是圆内接三角形 画出圆的一条直径．(2)如图2 ，
是圆的两条弦 且不相互平行 画出圆的一条直径．5．如图，是的直径 点D在的延长线上 点C在上 ．(1)求证是的切线(2)若的半径
为6 求点A到所在直线的距离．6．如图， 点C在以为直径的上 过C作的切线交的延长线于E 于D 连接．(1)求证(2)若 求直径
的长．7．如图，已知以的直角边为直径作交斜边于点 连接并延长交的延长线于点 连接 点为的中点 连接．(1)求证是的切线(2)若的半
径为6 求的长．8．如图，是半圆的直径 为半圆上的点(不与 重合) 连接 点为的中点 过点作 交的延长线于点 连接 交于点．(1
)求证是半圆的切线(2)若 求半圆的半径及的长．9．如图，AB为的直径 C为BA延长线上一点 CD是的切线 D为切点 于点E 交
CD于点F．(1)求证(2)若 求EF的长．10．如图，所示 是的直径 点在上 点在上 的延长线交于点．(1)在的延长线上取一
点 使 求证是的切线(2)若 求图中阴影部分的面积．11．如图，内接于 为的直径 为延长线上一点 连接 过作交于点 交于点 ．(
1)求证为圆的切线(2)若 求的长．12．如图，四边形是的内接四边形 ．(1)求的度数(2)求的度数．13．如图，四边形是的
内接四边形 且对角线为的直径 过点A作 与的延长线交于点E 且平分．(1)求证是的切线(2)若的半径为5 求的长．14．如图，在
正方形中有一点P 连接 旋转到的位置．(1)若正方形的边长是8 ．求阴影部分面积(2)若 求的长．15．如图，是的直径 垂直
于弦于点E 且交于点D F是延长线上一点 若．(1)求证 是的一条切线(2)若 求的长．16．如图，是的外接圆 切于点 与直径的
延长线相交于点．(1)如图，① 若 求的大小(2)如图，② 若 求的大小．17．已知 如图，直线交于A B两点 是直径 平分交于D
过D作于E．(1)求证是的切线(2)若 求的半径．18．已知四边形内接于 是的中点 于 与及的延长线分别交于点 且．(1)求证
(2)如果 求的值．参考答案与解析1．(1)见解析(2)关系式为 证明见解析【分析】（1）是的直径 是弦 于 本题满足垂径定理．（
2）连接 根据四边形为圆内接四边形 可以得到．【解析】（1）解不同类型的正确结论有①②③④⑤⑥⑦⑧⑨是等腰三角形⑩等等．（2）如图
，连接与之间的关系式为证明为圆的直径①又四边形为圆内接四边形②②①得∵即∴．【点评】本题考查了圆的一些基本性质 且有一定的开放性
垂径定理 圆内接四边形的性质 掌握圆的相关知识．2．(1)见解析(2)半径为3 【分析】（1）连结 可得 已知 根据等腰三角形三线
合一的性质即可得证点为线段的中点（2）根据已知条件可证 得到 且是等腰三角形 进而得到 设 则 解方程即可求得的半径 连接 可证
是等边三角形 再根据即可求出阴影部分的面积【解析】（1）连结∵为的直径∴∵∴即点为线段的中点．（2）∵ ∴∴∵∴∴∴∴设 则解得（
舍去） ∴的半径为3连接∴∴是等边三角形∴边上的高为∴【点评】本题主要考查等腰三角形的性质 相似三角形的判定和性质 不规则图形面积
的计算 熟练掌握相关知识点是解题的关键．3．(1)见解析(2)的长为【分析】（1）由为的直径得 通过证明 得到 又由 从而得到（2
）设 则 在中 由勾股定理可得 即 解一元二次方程得到的长 由（1）知 从而得到 又由 得到．【解析】（1）证明为的直径在和中（2
）解设在中 由勾股定理可得即解得 （舍去）由（1）得 的长为．【点评】本题主要考查了圆周角定理 三角形全等的判定与性质 等腰三角形
的性质 勾股定理解直角三角形 熟练掌握圆周角定理 三角形全等的判定与性质 等腰三角形的性质是解题的关键．4．(1)见解析(2)见解
析【分析】（1）设 交于点G 连接 交圆于点F 即可作答（2）连接 交于点F 延长 两线交于点E 作直线 交圆于点M N 即可
作答．【解析】（1）如图，设 交于点G 连接并延长 交圆于点F线段即为所求证明如图， 交于点Q 交于点P 连接 交于点H∵ ∴
∴∴∴∵∴∵ ∴∴∵∴∵ ∴∴∵ ∴∴∵∴∵ ∴∴ ∴垂直平分弦∴是圆的直径（2）如图，连接 交于点F 延长 两线交于点E 作
直线 交圆于点M N线段即为所求．证明方法同（1）．【点评】本题主要考查了垂径定理 圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识 掌
握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键．5．(1)见解析(2)9【分析】（1）已知点C在上 先连接 由已知 得 所以得到 根
据三角形内角和定理得 即能判断直线与的位置关系．（2）要求点A到所在直线的距离 先作 垂足为E 由 得 在中 半径 所以 从而求
出．【解析】（1）∵是等腰三角形 ∴．连接∵∴是等腰三角形∴∴在中 又∵∴∴是的切线 即直线与相切．（2）过点A作 垂足为E．在中
∵∴在中∵∴点A到边的距离为．【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质 解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的
性质．6．(1)见解析(2)．【分析】（1）连接 由为的切线 得到 再由 得到 得到 根据 利用等边对等角得到 等量代换得到 由为
的直径 可知 最后根据等角的余角相等可得结论（2）在中 利用锐角三角函数定义求出的长 根据勾股定理求出的长 由（1）易证 得到 即
可求出的长．【解析】（1）解连接由题意可知与的相切于C为的直径（2）在中 由（1）可知【点评】此题考查了切线的性质 以及解直角三角
形 熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．7．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接 可根据三角形中位线的性质可判断 然后根据
直径所对的圆周角是直角 可得 进而知 然后根据垂径定理可得 再通过可知 因此可证为的切线（2）根据题意可先在中求出 然后在中求出
最终在中求解即可．【解析】（1）证连接 则由题意为的中位线∴∵是的直径∴∵∴∴由垂径定理知 所在直线垂直平分∴ ∴ ∵即∴即∴是
的切线（2）解∵的半径为6 ∴为直角三角形 ∴ 由（1）知 为直角三角形 且∴设 则∴由勾股定理 即 解得即∵点为的中点∴∵∴
在中 ∴．【点评】本题考查切线的证明 圆的基本性质 以及勾股定理解三角形等 掌握切线的证明方法 熟练运用圆中的基本性质是解题关键．
8．(1)见解析(2)半径为 【分析】（1）根据点为弧的中点 得出 然后得出 根据平行线的性质得出 进而即可求解（2）连接 设与相
交于点 证明 得出 证明得出 进而证明 根据相似三角形的性质列出比例式 进而即可求解．【解析】（1）证明连接 如图，点为弧的中点又
又是半圆的切线．（2）解连接 如图，是半圆的直径又 即半圆的半径为．设与相交于点 即即．【点评】本题考查了切线的性质与判定 相似三
角形的性质与判定 掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．(1)见解析(2)【分析】（1）连接 根据是的切线
证明 利用等腰三角形三线合一性质 证明．（2） 利用平行线分线段成比例定理 计算 证明 计算 两线段作差即可求解．【解析】（1）
如图，连接是的切线 ．（2）如图，连接是的切线设 则是的直径 ．【点评】本题考查了切线的性质 等腰三角形的三线合一性质 平
行线分线段成比例定理 相似三角形的性质与判定 熟练掌握切线的性质 相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．(1)证明过程见解析(
2)【分析】（1）是的直径 可求出 由此即可求证（2）如图，所示（见解析） 连接 可得 可证 根据扇形面积的计算方法即可求
解．【解析】（1）证明∵是的直径∴∴∵∴∵∴∵∴∴∴∴ 且是的半径∴是的切线．（2）解如图，所示 连接∵∴∵∴ ∴∴∴∴图中阴影部
分的面积为．【点评】本题主要考查圆的基础知识 掌握圆的切线的证明方法 扇形面积的计算方法是解题的关键．11．(1)见解析(2)3【
分析】（1）连接 根据可得 根据直径所对的圆周角为直角可得 再根据得出 最后证明即可（2）根据中位线定理得出 证明 根据相似三角形
对应边成比例 即可求解．【解析】（1）证明连接∵∴∵为的直径∴ 则∴∵∴∵∴ 即∴为圆的切线（2）∵为的直径∴点O为中点∵∴为中位
线∴∵ ∴ 则∵∴∴ 即解得∴．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质 圆周角定理 相似三角形的判定和性质以及解直角三角形 解题的
关键是掌握切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．12．(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 再由 可得 即可求
解（2）根据圆周角定理可得 从而得到 再由圆内接四边形的性质 即可求解．【解析】（1）解∵∴∵∴（2）解由圆周角定理得∴∵四边形是
的内接四边形∴．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质 圆周角定理等知识 熟练掌握圆内接四边形的性质 圆周角定理是解题的关键．1
3．(1)见解析(2)的长是．【分析】（1）连接 根据已知条件证明即可解决问题（2）作 则四边形是矩形 且 由此可求得的长 在中
勾股定理求出 即的长 在中 利用勾股定理求．【解析】（1）证明如图，连接∵∴．∵平分∴又∵∴∴∴∴是的切线（2）解过点O作于F．∵
∴四边形是矩形∴．∵∴∴在中 ∴在中 ∴的长是．【点评】本题考查了切线的判定与性质 垂径定理 圆周角定理 勾股定理 解决本题的关键
是掌握切线的判定与性质．14．(1)(2)9【分析】(1) 根据题意 根据公式计算即可．(2) 连接 根据题意 根据勾股定
理计算即可．【解析】（1）如图，∵正方形 旋转到的位置∴ ∵∴∵∴．（2）连接根据题意 ∴∵ ∴∴解得．【点评】本题考查了正
方形的性质 旋转的性质 阴影面积的计算 扇形面积公式 勾股定理 熟练掌握旋转的性质 阴影面积的计算 扇形面积公式 勾股定理是解题的
关键．15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）因为 所以 即可得出FD∥AC可得得出 进而得出结论（2）利用勾股定理先求解 再
利用垂径定理得出的长 可得的长 证明 再利用相似三角形的判定与性质得出的长．【解析】（1）∵ ∴∴∵垂直于弦于点E∴∴是的一条切线
（2）∵为的直径∴∵ ∴ ∵∴∴∵∴∴∴解得．经检验符合题意.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质 垂径定理 圆周角定理
切线的判定 以及平行线的判定 掌握相似三角形的判定与性质 垂径定理 圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．16．(1)(2)【分
析】（1）连接 先由切线的性质得的度数 求出 进而得 则可求出答案（2）连接OA 根据等腰三角形的性质及切线的性质列方程求解即可．
【解析】（1）连接．如图，①切于点又．（2）连接 如图，②设．．是的切线 即在中 即解得．【点评】本题主要考查了切线的性质 等腰三
角形的性质 圆周角的性质 三角形内角和的性质 用方程思想解决几何问题 关键是熟悉掌握这些性质．17．(1)见解析(2)【分析】(1
)连接 根据平行线的判定与性质可得 又点D在上 即可证得是的切线(2)首先根据勾股定理可得的长 再由 根据相似三角形的性质列出比例
式 代入数据即可求得圆的半径．【解析】（1）证明如图，连接平分 即又点D在上 为的半径是的切线（2）解 如图，连接是直径 得解得
的半径为．【点评】本题考查圆了切线的判定；等边对等角 平行线的判定与性质 圆周角定理 勾股定理 相似三角形的判定和性质等知识 在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．18．(1)见解析(2)【分析】（1）欲证，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明就可以（2）由可得 进而即可得到答案．【解析】（1）证明∵四边形内接于∴．∵∴．∴（2）解∵是的中点∴∵ ∴ 即∴∵∴．【点评】本题考查的是圆的综合题；涉及弧、弦的关系；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 30 页第 1 页 共 30 页 |
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